Objeto básico en la teoría de la medida; conjunto y un álgebra sigma
En matemáticas , un espacio medible o espacio de Borel [1] es un objeto básico en la teoría de la medida . Consta de un conjunto y una σ-álgebra , que define los subconjuntos que se medirán.
Definición
Considere un conjunto y un σ-álgebra . Entonces la tupla se llama espacio mensurable. [2]
![{\displaystyle {\mathcal {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que, a diferencia de un espacio de medidas , no se necesita ninguna medida para un espacio mensurable.
Ejemplo
Mira el conjunto:
![{\displaystyle X=\{1,2,3\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
potencia puesta![{\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Espacios comunes medibles
Si es finito o infinitamente numerable, el álgebra suele ser la potencia establecida en so. Esto conduce al espacio mensurable![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X)).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si es un espacio topológico , el álgebra es más comúnmente el álgebra de Borel , por lo que esto conduce al espacio medible que es común a todos los espacios topológicos, como los números reales.![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {B}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ambigüedad con los espacios de Borel
El término espacio de Borel se utiliza para diferentes tipos de espacios medibles. Puede referirse a
- cualquier espacio mensurable, por lo que es sinónimo de espacio mensurable como se define anteriormente [1]
- un espacio mensurable que es Borel isomorfo a un subconjunto mensurable de los números reales (nuevamente con el álgebra de Borel) [3]
![{\displaystyle \sigma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ ab Sazonov, VV (2001) [1994], "Espacio mensurable", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- ^ Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 18. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
- ^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelización estocástica. vol. 77. Suiza: Springer. pag. 15. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.