Proceso estocástico
En matemáticas , un proceso detenido es un proceso estocástico que se ve obligado a asumir el mismo valor después de un tiempo prescrito (posiblemente aleatorio).
Definición
Dejar
ser un espacio de probabilidad ;
ser un espacio mensurable ;
ser un proceso estocástico;
ser un tiempo de parada con respecto a alguna filtración de .![{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}|t\geq 0\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {}{\mathcal {F}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces el proceso detenido se define por y por![{\displaystyle X^{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\geq 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \omega \en \Omega }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X_{t}^{\tau }(\omega ):=X_{\min\{t,\tau (\omega )\}}(\omega ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Juego
Considere un jugador jugando a la ruleta . X t denota las tenencias totales del jugador en el casino en el momento t ≥ 0, que pueden o no ser negativas, dependiendo de si el casino ofrece crédito o no. Sea Y t lo que serían las tenencias del jugador si pudiera obtener crédito ilimitado (de modo que Y pueda alcanzar valores negativos).
- Detenerse en un momento determinista: supongamos que el casino está dispuesto a prestarle al jugador crédito ilimitado y que el jugador decide abandonar el juego en un momento predeterminado T , independientemente del estado del juego. Entonces X es realmente el proceso detenido Y T , ya que la cuenta del jugador permanece en el mismo estado después de abandonar el juego que en el momento en que el jugador abandonó el juego.
- Detenerse en un momento aleatorio: supongamos que el jugador no tiene otras fuentes de ingresos y que el casino no concede crédito a sus clientes. El jugador decide jugar hasta que se arruine. Entonces el tiempo aleatorio
![{\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t\geq 0|Y_{t}(\omega )=0\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es un tiempo de parada para Y , y, dado que el jugador no puede continuar jugando después de haber agotado sus recursos, X es el proceso detenido Y τ .
movimiento browniano
Sea un movimiento browniano estándar unidimensional que comienza en cero.![{\displaystyle B:[0,+\infty )\times \Omega \to \mathbb {R} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Detenerse en un momento determinista : si , entonces el movimiento browniano detenido evolucionará como de costumbre hasta el momento y, a partir de entonces, permanecerá constante: es decir, para todos .
![{\displaystyle T>0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau (\omega )\equiv T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B^{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv B_{T}(\omega )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\geq T}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Detenerse en un momento aleatorio: defina un tiempo de parada aleatorio según el primer momento de llegada de la región :
![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau (\omega ):=\inf\{t>0|B_{t}(\omega )\geq a\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego, el movimiento browniano detenido evolucionará como de costumbre hasta el momento aleatorio y, a partir de entonces, su valor será constante : es decir, para todos .![{\displaystyle B^{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{t}^{\tau }(\omega )\equiv a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\geq \tau (\omega)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Robert G. Gallager. Procesos estocásticos: teoría de aplicaciones. Cambridge University Press, 12 de diciembre de 2013, pág. 450