Sobrecategoría

Concepto de teoría de categorías

En matemáticas, específicamente en teoría de categorías , una sobrecategoría (también llamada categoría de porción), así como una subcategoría (también llamada categoría de coslice), es una clase distinguida de categorías utilizadas en múltiples contextos, como en los espacios de cobertura (espace étale) . Se introdujeron como un mecanismo para realizar un seguimiento de los datos que rodean a un objeto fijo en alguna categoría . Existe una noción dual de subcategoría, que se define de manera similar. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Definición

Sea una categoría y un objeto fijo de ^{[1] pág. 59.} La sobrecategoría (también llamada categoría de porción ) es una categoría asociada cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, un morfismo entre objetos viene dado por un morfismo en la categoría tal que el siguiente diagrama conmuta ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ ${\displaystyle (A,\pi )}$ ${\displaystyle \pi :A\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:(A,\pi )\to (A',\pi ')}$ ${\displaystyle f:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}}$

Existe una noción dual llamada subcategoría (también llamada categoría de coslice ) cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, los morfismos en están dados por morfismos en tales que el siguiente diagrama conmuta ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (B,\psi )}$ ${\displaystyle \psi :X\to B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle g:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}}$

Estas dos nociones tienen generalizaciones en la teoría de dos categorías ^[2] y en la teoría de categorías superiores ^{[3] pág. 43} , con definiciones análogas o esencialmente iguales.

Propiedades

Muchas propiedades categóricas de son heredadas por las subcategorías y sobrecategorías asociadas para un objeto . Por ejemplo, si tiene productos y coproductos finitos , es inmediato que las categorías y tengan estas propiedades ya que el producto y el coproducto pueden construirse en , y a través de propiedades universales, existe un morfismo único ya sea hacia o desde . Además, esto también se aplica a límites y colímites . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}/X}$ ${\displaystyle X/{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Sobrecategorías en un sitio

Recordemos que un sitio es una generalización categórica de un espacio topológico introducido por primera vez por Grothendieck . Uno de los ejemplos canónicos proviene directamente de la topología, donde la categoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico y los morfismos están dados por funciones de inclusión. Entonces, para un subconjunto abierto fijo , la sobrecategoría es canónicamente equivalente a la categoría para la topología inducida en . Esto se debe a que cada objeto en es un subconjunto abierto contenido en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle {\text{Open}}(X)/U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Categoría de álgebras como subcategoría

La categoría de álgebras conmutativas es equivalente a la subcategoría de la categoría de anillos conmutativos. Esto se debe a que la estructura de una álgebra en un anillo conmutativo está codificada directamente por un morfismo de anillo . Si consideramos la categoría opuesta, es una sobrecategoría de esquemas afines, o simplemente . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A/{\text{CRing}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}_{A}}$

Sobrecategorías de espacios

Otra sobrecategoría común considerada en la literatura son las sobrecategorías de espacios, como esquemas, variedades suaves o espacios topológicos. Estas categorías codifican objetos relativos a un objeto fijo, como la categoría de esquemas sobre , . Los productos de fibra en estas categorías pueden considerarse intersecciones, dado que los objetos son subobjetos del objeto fijo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$

Véase también

• Categoría de coma

Referencias

1. Leinster, Tom (29 de diciembre de 2016). "Teoría básica de categorías". arXiv : 1612.09375 [math.CT].
2. "Sección 4.32 (02XG): Categorías sobre categorías: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 16 de octubre de 2020 .
3. Lurie, Jacob (31 de julio de 2008). "Teoría de topos superiores". arXiv : math/0608040 .