Categoría de coma

Construcción matemática

En matemáticas , una categoría de coma (un caso especial es una categoría de porción ) es una construcción en la teoría de categorías . Proporciona otra forma de ver los morfismos : en lugar de simplemente relacionar objetos de una categoría entre sí, los morfismos se convierten en objetos por derecho propio. Esta noción fue introducida en 1963 por FW Lawvere (Lawvere, 1963 p. 36), aunque la técnica no ^{se hizo conocida} en general hasta muchos años después. Varios conceptos matemáticos pueden tratarse como categorías de coma. Las categorías de coma también garantizan la existencia de algunos límites y colímites . El nombre proviene de la notación utilizada originalmente por Lawvere, que involucraba el signo de puntuación de coma . El nombre persiste a pesar de que la notación estándar ha cambiado, ya que el uso de una coma como operador es potencialmente confuso, e incluso a Lawvere le desagrada el término poco informativo "categoría de coma" (Lawvere, 1963 p. 13).

Definición

La construcción más general de categorías de coma implica dos funtores con el mismo codominio. A menudo, uno de ellos tendrá el dominio 1 (la categoría de un objeto y un morfismo). Algunas teorías de categorías consideran solo estos casos especiales, pero el término categoría de coma es en realidad mucho más general.

Forma general

Supongamos que , , y son categorías, y y (para origen y destino) son funtores : ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}}$

Podemos formar la categoría de coma de la siguiente manera: ${\displaystyle (S\downarrow T)}$

• Todos los objetos son triples con un objeto en , un objeto en y un morfismo en . ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle h:S(A)\rightarrow T(B)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Los morfismos de a son todos pares donde y son morfismos en y respectivamente, tales que el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle (A',B',h')}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Diagrama de coma

Los morfismos se componen tomando como , siempre que se defina la última expresión. El morfismo identidad de un objeto es . ${\displaystyle (f',g')\circ (f,g)}$ ${\displaystyle (f'\circ f,g'\circ g)}$ ${\displaystyle (A,B,h)}$ ${\displaystyle (\mathrm {id} _{A},\mathrm {id} _{B})}$

Categoría de rebanadas

El primer caso especial ocurre cuando , el funtor es el funtor identidad , y (la categoría con un objeto y un morfismo). Entonces, para algún objeto en . ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle T(*)=A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {A}}\;\;} {\mathcal {A}}\xleftarrow {\;\;A_{*}\;\;} {\textbf {1}}}$

En este caso, la categoría de coma se escribe , y a menudo se denomina categoría de corte sobre o categoría de objetos sobre . Los objetos se pueden simplificar a pares , donde . A veces, se denota por . Un morfismo de a en la categoría de corte se puede simplificar a una flecha haciendo que el siguiente diagrama conmute: ${\displaystyle ({\mathcal {A}}\downarrow A_{*})}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle A_{*}}$ ${\displaystyle (A,*,h)}$ ${\displaystyle (A,h)}$ ${\displaystyle h:A\rightarrow A_{*}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \pi _{A}}$ ${\displaystyle (f,\mathrm {id} _{*})}$ ${\displaystyle (A,\pi _{A})}$ ${\displaystyle (A',\pi _{A'})}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow A'}$

Diagrama de cortes

Categoría Coslice

El concepto dual de una categoría de corte es una categoría de cocorte. Aquí, , tiene dominio y es un funtor identidad. ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\textbf {1}}\xrightarrow {\;\;B_{*}\;\;} {\mathcal {B}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {B}}\;\;} {\mathcal {B}}}$

En este caso, la categoría de coma se escribe a menudo , donde es el objeto de seleccionado por . Se denomina categoría de coslice con respecto a , o la categoría de objetos bajo . Los objetos son pares con . Dados y , un morfismo en la categoría de coslice es una función que hace que el siguiente diagrama conmute: ${\displaystyle (B_{*}\downarrow {\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle B_{*}=S(*)}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle B_{*}}$ ${\displaystyle B_{*}}$ ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ ${\displaystyle \iota _{B}:B_{*}\rightarrow B}$ ${\displaystyle (B,\iota _{B})}$ ${\displaystyle (B',\iota _{B'})}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$

Diagrama de coslice

Categoría de flecha

${\displaystyle S}$y son funtores identidad en (por lo tanto ). ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\xrightarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}\xleftarrow {\;\;\mathrm {id} _{\mathcal {C}}\;\;} {\mathcal {C}}}$

En este caso, la categoría de coma es la categoría de flecha . Sus objetos son los morfismos de , y sus morfismos son cuadrados conmutativos en . ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Diagrama de flechas

Otras variaciones

En el caso de la categoría de rebanada o coslice, el funtor identidad puede ser reemplazado por algún otro funtor; esto produce una familia de categorías particularmente útiles en el estudio de funtores adjuntos . Por ejemplo, si es el funtor olvidadizo que asigna un grupo abeliano a su conjunto subyacente , y es algún conjunto fijo (considerado como un funtor de 1 ), entonces la categoría de coma tiene objetos que son mapas de a un conjunto subyacente a un grupo. Esto se relaciona con el adjunto izquierdo de , que es el funtor que asigna un conjunto al grupo abeliano libre que tiene ese conjunto como base. En particular, el objeto inicial de es la inyección canónica , donde es el grupo libre generado por . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s\rightarrow T(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$

Un objeto de se llama un morfismo de a o una flecha -estructurada con dominio . ^[1] Un objeto de se llama un morfismo de a o una flecha -coestructurada con codominio . ^[1] ${\displaystyle (s\downarrow T)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle (S\downarrow t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$

Otro caso especial ocurre cuando tanto y son funtores con dominio . Si y , entonces la categoría de coma , escrita , es la categoría discreta cuyos objetos son morfismos de a . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\textbf {1}}}$ ${\displaystyle S(*)=A}$ ${\displaystyle T(*)=B}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle (A\downarrow B)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Una categoría de inserción es una subcategoría (no completa) de la categoría de coma donde y son obligatorios. La categoría de coma también puede verse como la categoría de inserción de y , donde y son los dos funtores de proyección que salen de la categoría de producto . ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle S\circ \pi _{1}}$ ${\displaystyle T\circ \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {B}}}$

Propiedades

Para cada categoría de coma existen funciones olvidables a partir de ella.

• Functor de dominio, , que mapea: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {A}}}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto A}$
  • morfismos: ; ${\displaystyle (f,g)\mapsto f}$
• Functor de codominio, , que mapea: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {B}}}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto B}$
  • morfismos: . ${\displaystyle (f,g)\mapsto g}$
• Functor de flecha, , que asigna: ${\displaystyle S\downarrow T\to {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$
  • objetos: ; ${\displaystyle (A,B,h)\mapsto h}$
  • morfismos: ; ${\displaystyle (f,g)\mapsto (Sf,Tg)}$

Ejemplos de uso

Algunas categorías notables

Varias categorías interesantes tienen una definición natural en términos de categorías de coma.

• La categoría de conjuntos puntiagudos es una categoría de coma, en la que (un funtor que selecciona) cualquier conjunto singleton y (el funtor identidad de) la categoría de conjuntos . Cada objeto de esta categoría es un conjunto, junto con una función que selecciona algún elemento del conjunto: el "punto base". Los morfismos son funciones sobre conjuntos que asignan puntos base a puntos base. De manera similar, se puede formar la categoría de espacios puntiagudos . ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\bullet }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )}}$
• La categoría de las álgebras asociativas sobre un anillo es la categoría de coslice , ya que cualquier homomorfismo de anillo induce una estructura de álgebra asociativa sobre , y viceversa. Los morfismos son entonces aplicaciones que hacen conmutar el diagrama. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \scriptstyle {(R\downarrow \mathbf {Ring} )}}$ ${\displaystyle f:R\to S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h:S\to T}$
• La categoría de grafos es , con el funtor tomando un conjunto a . Los objetos constan entonces de dos conjuntos y una función; es un conjunto de indexación, es un conjunto de nodos, y elige pares de elementos de para cada entrada de . Es decir, selecciona ciertas aristas del conjunto de aristas posibles. Un morfismo en esta categoría está formado por dos funciones, una en el conjunto de indexación y otra en el conjunto de nodos. Deben "concordar" según la definición general anterior, lo que significa que deben satisfacer . En otras palabras, la arista correspondiente a un cierto elemento del conjunto de indexación, cuando se traduce, debe ser la misma que la arista para el índice traducido. ${\displaystyle \scriptstyle {(\mathbf {Set} \downarrow D)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {D:\,\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\times s}$ ${\displaystyle (a,b,f)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f:a\rightarrow (b\times b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b\times b}$ ${\displaystyle (g,h):(a,b,f)\rightarrow (a',b',f')}$ ${\displaystyle f'\circ g=D(h)\circ f}$
• Muchas operaciones de "aumento" o "etiquetado" se pueden expresar en términos de categorías de coma. Sea el funtor que lleva cada grafo al conjunto de sus aristas, y sea (un funtor que selecciona) algún conjunto particular: entonces es la categoría de grafos cuyas aristas están etiquetadas por elementos de . Esta forma de categoría de coma se denomina a menudo objetos -sobre - estrechamente relacionada con los "objetos sobre " discutidos anteriormente. Aquí, cada objeto toma la forma , donde es un grafo y una función desde las aristas de hasta . Los nodos del grafo podrían etiquetarse esencialmente de la misma manera. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (S\downarrow A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \pi _{B}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$
• Se dice que una categoría es cartesianamente cerrada localmente si cada una de sus porciones es cartesianamente cerrada (véase más arriba la noción de porción ). Las categorías cartesianas cerradas localmente son las categorías clasificatorias de las teorías de tipo dependiente .

Límites y morfismos universales

Los límites y colímites en categorías de coma pueden ser "heredados". Si y son completos , es un funtor continuo y es otro funtor (no necesariamente continuo), entonces la categoría de coma producida es completa, ^[2] y los funtores de proyección y son continuos. De manera similar, si y son co-completos y es co-continuo , entonces es co-completo y los funtores de proyección son co-continuos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T:{\mathcal {B}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)\rightarrow {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle S:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (S\downarrow T)}$

Por ejemplo, observe que en la construcción anterior de la categoría de grafos como una categoría de coma, la categoría de conjuntos es completa y cocompleta, y el funtor identidad es continuo y cocontinuo. Por lo tanto, la categoría de grafos es completa y cocompleta.

La noción de un morfismo universal hacia un colimite particular, o desde un límite, puede expresarse en términos de una categoría de coma. Esencialmente, creamos una categoría cuyos objetos son conos, y donde el cono limitante es un objeto terminal ; entonces, cada morfismo universal para el límite es solo el morfismo hacia el objeto terminal. Esto funciona en el caso dual, con una categoría de cocones que tiene un objeto inicial. Por ejemplo, sea una categoría con el funtor que lleva cada objeto a y cada flecha a . Un morfismo universal de a consiste, por definición, en un objeto y morfismo con la propiedad universal de que para cualquier morfismo hay un morfismo único con . En otras palabras, es un objeto en la categoría de coma que tiene un morfismo hacia cualquier otro objeto en esa categoría; es inicial. Esto sirve para definir el coproducto en , cuando existe. ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (c,c)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (f,f)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (c,c)}$ ${\displaystyle \rho :(a,b)\rightarrow (c,c)}$ ${\displaystyle \rho ':(a,b)\rightarrow (d,d)}$ ${\displaystyle \sigma :c\rightarrow d}$ ${\displaystyle F(\sigma )\circ \rho =\rho '}$ ${\displaystyle ((a,b)\downarrow F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Adjuntos

William Lawvere demostró que los funtores y son adjuntos si y solo si las categorías de coma y , con y los funtores identidad en y respectivamente, son isomorfos, y los elementos equivalentes en la categoría de coma pueden proyectarse sobre el mismo elemento de . Esto permite que las adjunciones se describan sin involucrar conjuntos y, de hecho, fue la motivación original para introducir las categorías de coma. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F\downarrow id_{\mathcal {D}})}$ ${\displaystyle (id_{\mathcal {C}}\downarrow G)}$ ${\displaystyle id_{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle id_{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}$

Transformaciones naturales

Si los dominios de son iguales, entonces el diagrama que define morfismos en con es idéntico al diagrama que define una transformación natural . La diferencia entre las dos nociones es que una transformación natural es una colección particular de morfismos de tipo de la forma , mientras que los objetos de la categoría de coma contienen todos los morfismos de tipo de dicha forma. Un funtor de la categoría de coma selecciona esa colección particular de morfismos. Esto se describe sucintamente mediante una observación de SA Huq ^[3] de que una transformación natural , con , corresponde a un funtor que asigna cada objeto a y asigna cada morfismo a . Esta es una correspondencia biyectiva entre transformaciones naturales y funtores que son secciones de ambos funtores olvidadizos de . ${\displaystyle S,T}$ ${\displaystyle S\downarrow T}$ ${\displaystyle A=B,A'=B',f=g}$ ${\displaystyle S\to T}$ ${\displaystyle S(A)\to T(A)}$ ${\displaystyle \eta :S\to T}$ ${\displaystyle S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,A,\eta _{A})}$ ${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle S\to T}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)}$ ${\displaystyle S\downarrow T}$

Referencias

1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
2. Rydheard, David E.; Burstall, Rod M. (1988). Teoría de categorías computacionales (PDF) . Prentice Hall.
3. Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo , Textos de posgrado en matemáticas 5 (2.ª ed.), Springer-Verlag, pág. 48, ISBN 0-387-98403-8

• Categoría de coma en el laboratorio n
• Lawvere, W (1963). "Semántica funcional de las teorías algebraicas" y "Algunos problemas algebraicos en el contexto de la semántica funcional de las teorías algebraicas". http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/5/tr5.pdf

Enlaces externos

• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: la alegría de los gatos
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.