Categoría completa

Categoría con todos los límites de diagramas (pequeños)

En matemáticas , una categoría completa es una categoría en la que existen todos los límites pequeños . Es decir, una categoría C está completa si todo diagrama F  : J → C (donde J es pequeño ) tiene un límite en C . Dualmente , una categoría cocompleta es aquella en la que existen todos los colimits pequeños . Una categoría bicompleta es una categoría que es a la vez completa y cocompleta.

La existencia de todos los límites (incluso cuando J es una clase adecuada ) es demasiado fuerte para ser prácticamente relevante. Cualquier categoría con esta propiedad es necesariamente una categoría delgada : para dos objetos cualesquiera puede haber como máximo un morfismo de un objeto al otro.

Una forma más débil de completitud es la de completitud finita. Una categoría es finitamente completa si existen todos los límites finitos (es decir, límites de diagramas indexados por una categoría finita J ). Dualmente, una categoría es finitamente cocompleta si existen todos los colimits finitos.

Teoremas

Del teorema de existencia de límites se deduce que una categoría es completa si y sólo si tiene ecualizadores (de todos los pares de morfismos) y todos los productos (pequeños) . Dado que los ecualizadores pueden construirse a partir de retrocesos y productos binarios (considere el retroceso de ( f , g ) a lo largo de la diagonal Δ), una categoría está completa si y sólo si tiene retrocesos y productos.

Dualmente, una categoría es cocompleta si y sólo si tiene coecualizadores y todos los coproductos (pequeños) o, de manera equivalente, expulsiones y coproductos.

La completitud finita se puede caracterizar de varias maneras. Para una categoría C , todos los siguientes son equivalentes:

• C es finitamente completo,
• C tiene ecualizadores y todos los productos finitos,
• C tiene ecualizadores, productos binarios y un objeto terminal ,
• C tiene retrocesos y un objeto terminal.

Las declaraciones duales también son equivalentes.

Una categoría C pequeña está completa si y sólo si es cocompleta. ^[1] Una categoría pequeña y completa es necesariamente delgada.

Una categoría posetal tiene de manera vacía todos los ecualizadores y coecualizadores, de donde es (finitamente) completa si y sólo si tiene todos los productos (finitos), y dualmente para la cocompletitud. Sin la restricción de finitud, una categoría posetal con todos los productos es automáticamente cocompleta y dual, según un teorema sobre redes completas.

Ejemplos y no ejemplos

• Las siguientes categorías son bicompletas:
  • Conjunto , la categoría de conjuntos
  • Arriba , la categoría de espacios topológicos
  • Grp , la categoría de grupos
  • Ab , la categoría de grupos abelianos
  • Anillo , la categoría de anillos.
  • K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K
  • R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R
  • CmptH , la categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff
  • Cat , la categoría de todas las categorías pequeñas
  • Whl , la categoría de ruedas.
  • sSet , la categoría de conjuntos simpliciales ^[2]
• Las siguientes categorías son finitamente completas y finitamente cocompletas, pero ni completas ni cocompletas:
  • La categoría de conjuntos finitos.
  • La categoría de grupos abelianos finitos.
  • La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita.
• Cualquier categoría ( pre ) abeliana es finitamente completa y finitamente cocompleta.
• La categoría de celosías completas es completa pero no cocompleta.
• La categoría de espacios métricos , Met , es finitamente completa pero no tiene coproductos binarios ni productos infinitos.
• La categoría de campos , Field , no es finitamente completa ni finitamente cocompleta.
• Un poset , considerado como una categoría pequeña, es completo (y cocompleto) si y sólo si es un retículo completo .
• La clase parcialmente ordenada de todos los números ordinales es cocompleta pero no completa (ya que no tiene objeto terminal).
• Un grupo, considerado como una categoría con un solo objeto, es completo si y sólo si es trivial . Un grupo no trivial tiene retrocesos y expulsiones, pero no productos, coproductos, ecualizadores, coecualizadores, objetos terminales u objetos iniciales.

Referencias

1. Categorías abstractas y concretas, Jiří Adámek, Horst Herrlich y George E. Strecker, teorema 12.7, página 213
2. Riehl, Emily (2014). Teoría de la homotopía categórica . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 32.ISBN​ 9781139960083. OCLC  881162803.

Otras lecturas

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 ((2ª ed.) ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.