En matemáticas , la categoría de anillos , denotada por Anillo , es la categoría cuyos objetos son anillos (con identidad) y cuyos morfismos son homomorfismos de anillos (que preservan la identidad). Como muchas categorías en matemáticas, la categoría de anillos es grande , lo que significa que la clase de todos los anillos es adecuada .
La categoría Anillo es una categoría concreta , lo que significa que los objetos son conjuntos con estructura adicional (suma y multiplicación) y los morfismos son funciones que preservan esta estructura. Hay un functor olvidadizo natural.
para la categoría de anillos a la categoría de conjuntos que envía cada anillo a su conjunto subyacente (olvidándose así de las operaciones de suma y multiplicación). Este funtor tiene un adjunto izquierdo.
que asigna a cada conjunto X el anillo libre generado por X .
También se puede ver la categoría de anillos como una categoría concreta sobre Ab (la categoría de grupos abelianos ) o sobre Mon (la categoría de monoides ). Específicamente, hay funtores olvidadizos.
que "olvidan" la multiplicación y la suma, respectivamente. Ambos funtores han dejado adjuntos. El adjunto izquierdo de A es el funtor que asigna a cada grupo abeliano X (considerado como un módulo Z ) el anillo tensor T ( X ). El adjunto izquierdo de M es el funtor que asigna a cada monoide X el anillo monoide integral Z [ X ].
La categoría Ring es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites pequeños y colimites existen en Ring . Como muchas otras categorías algebraicas, el funtor olvidadizo U : Ring → Set crea (y preserva) límites y colimits filtrados , pero no preserva ni los coproductos ni los coecualizadores . Los functores olvidadizos de Ab y Mon también crean y preservan límites.
Ejemplos de límites y colimites en Ring incluyen:
A diferencia de muchas categorías estudiadas en matemáticas, no siempre existen morfismos entre pares de objetos en Ring . Esto es una consecuencia del hecho de que los homomorfismos de anillo deben preservar la identidad. Por ejemplo, no hay morfismos desde el anillo cero 0 hasta ningún anillo distinto de cero. Una condición necesaria para que haya morfismos de R a S es que la característica de S divida a la de R.
Tenga en cuenta que aunque algunos de los hom-sets estén vacíos, la categoría Ring todavía está conectada ya que tiene un objeto inicial.
Algunas clases especiales de morfismos en Ring incluyen:
La categoría de anillos tiene una serie de subcategorías importantes . Éstas incluyen las subcategorías completas de anillos conmutativos , dominios integrales , dominios ideales principales y campos .
La categoría de anillos conmutativos , denominada CRing , es la subcategoría completa de Anillo cuyos objetos son todos anillos conmutativos . Esta categoría es uno de los objetos centrales de estudio en la materia de álgebra conmutativa .
Cualquier anillo puede hacerse conmutativo tomando el cociente entre el ideal generado por todos los elementos de la forma ( xy − yx ). Esto define un funtor Ring → CRing que se deja junto al functor de inclusión, de modo que CRing es una subcategoría reflectante de Ring . El anillo conmutativo libre en un conjunto de generadores E es el anillo polinómico Z [ E ] cuyas variables se toman de E. Esto le da un funtor adjunto izquierdo al funtor olvidadizo de CRing a Set .
CRing tiene límites cerrados en Ring , lo que significa que los límites en CRing son los mismos que en Ring . Los colimites, sin embargo, son generalmente diferentes. Se pueden formar tomando el cociente conmutativo de colimits en Ring . El coproducto de dos anillos conmutativos viene dado por el producto tensorial de los anillos . Nuevamente, el coproducto de dos anillos conmutativos distintos de cero puede ser cero.
La categoría opuesta de CRing es equivalente a la categoría de esquemas afines . La equivalencia viene dada por el funtor contravariante Spec que envía un anillo conmutativo a su espectro , un esquema afín .
La categoría de campos , denominada Campo , es la subcategoría completa de CRing cuyos objetos son campos . La categoría de campos no se comporta tan bien como otras categorías algebraicas. En particular, los campos libres no existen (es decir, no hay ningún adjunto izquierdo para el funtor olvidable Campo → Conjunto ). De ello se deduce que Field no es una subcategoría reflexiva de CRing .
La categoría de campos no es finitamente completa ni finitamente cocompleta. En particular, Field no tiene productos ni coproductos.
Otro aspecto curioso de la categoría de campos es que todo morfismo es un monomorfismo . Esto se desprende del hecho de que los únicos ideales en un campo F son el ideal cero y F mismo. Entonces se pueden ver los morfismos en Field como extensiones de campo .
La categoría de campos no está conectada . No existen morfismos entre campos de diferente característica . Los componentes conectados de Field son las subcategorías completas de la característica p , donde p = 0 o es un número primo . Cada una de estas subcategorías tiene un objeto inicial : el campo primo de la característica p (que es Q si p = 0; en caso contrario, el campo finito F p ).
Existe un funtor natural de Ring a la categoría de grupos , Grp , que envía cada anillo R a su grupo de unidades U ( R ) y cada homomorfismo de anillo a la restricción a U ( R ). Este functor tiene un adjunto izquierdo que envía cada grupo G al anillo de grupo integral Z [ G ].
Otro funtor entre estas categorías envía cada anillo R al grupo de unidades del anillo matriz M 2 ( R ) que actúa sobre la línea proyectiva sobre un anillo P( R ).
Dado un anillo conmutativo R se puede definir la categoría R -Alg cuyos objetos son todos R -álgebras y cuyos morfismos son homomorfismos de R - álgebra .
La categoría de anillos puede considerarse un caso especial. Cada anillo puede considerarse un álgebra Z de forma única. Los homomorfismos de anillo son precisamente los homomorfismos de álgebra Z. La categoría de anillos es, por tanto, isomorfa a la categoría Z-Alg . [1] Muchas afirmaciones sobre la categoría de anillos se pueden generalizar a afirmaciones sobre la categoría de R -álgebras.
Para cada anillo conmutativo R hay un funtor R -Alg → Anillo que olvida la R -estructura del módulo. Este functor tiene un adjunto izquierdo que envía cada anillo A al producto tensorial R ⊗ Z A , considerado como un R -álgebra estableciendo r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Muchos autores no requieren que los anillos tengan un elemento de identidad multiplicativo y, en consecuencia, no requieren homomorfismo de anillo para preservar la identidad (si existe). Esto lleva a una categoría bastante diferente. Para distinguirlas, llamamos a estas estructuras algebraicas rngs y a sus morfismos rng homomorfismos . La categoría de todos los rngs se indicará con Rng .
La categoría de anillos, Ring , es una subcategoría no completa de Rng . No es completo porque hay homomorfismos rng entre anillos que no conservan la identidad y, por lo tanto, no son morfismos en Ring . El funtor de inclusión Ring → Rng tiene un adjunto izquierdo que adjunta formalmente una identidad a cualquier rng. El funtor de inclusión Ring → Rng respeta los límites pero no los colimits.
El anillo cero sirve como objeto inicial y terminal en Rng (es decir, es un objeto cero ). De ello se deduce que Rng , como Grp pero a diferencia de Ring , tiene cero morfismos . Estos son solo los homomorfismos rng que asignan todo a 0. A pesar de la existencia de morfismos cero, Rng todavía no es una categoría preaditiva . La suma puntual de dos homomorfismos ring generalmente no es un homomorfismo ring.
Hay un functor totalmente fiel de la categoría de grupos abelianos a Rng que envía un grupo abeliano al rng asociado del cuadrado cero .
Las construcciones libres son menos naturales en Rng que en Ring . Por ejemplo, el anillo libre generado por un conjunto { x } es el anillo de todos los polinomios integrales sobre x sin término constante, mientras que el anillo libre generado por { x } es solo el anillo polinómico Z [ x ].