Anillo único compuesto por un elemento.
En la teoría de anillos , una rama de las matemáticas , el anillo cero o anillo trivial es el anillo único (hasta el isomorfismo ) que consta de un elemento. (Con menos frecuencia, el término "anillo cero" se utiliza para referirse a cualquier anillo de cero cuadrado , es decir, un anillo en el que xy = 0 para todo x e y . Este artículo se refiere al anillo de un elemento).
En la categoría de anillos , el anillo cero es el objeto terminal , mientras que el anillo de números enteros Z es el objeto inicial .
Definición
El anillo cero, denotado {0} o simplemente 0 , consta del conjunto de un elemento {0} con las operaciones + y · definidas de manera que 0 + 0 = 0 y 0 · 0 = 0.
Propiedades
- El anillo cero es el anillo único en el que coinciden la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1. (Prueba: si 1 = 0 en un anillo R , entonces para todo r en R , tenemos r = 1 r = 0 r = 0. La prueba de la última igualdad se encuentra aquí.)
- El anillo cero es conmutativo.
- El elemento 0 en el anillo cero es una unidad y actúa como su propio inverso multiplicativo .
- El grupo unitario del anillo cero es el grupo trivial {0}.
- El elemento 0 en el anillo cero no es un divisor de cero .
- El único ideal en el anillo cero es el ideal cero {0}, que también es el ideal unitario, igual a todo el anillo. Este ideal no es ni máximo ni primo .
- El anillo cero generalmente se excluye de los campos , aunque ocasionalmente se denomina campo trivial . Excluirlo concuerda con el hecho de que su ideal cero no es máximo. (Cuando los matemáticos hablan del " campo con un elemento ", se refieren a un objeto inexistente, y su intención es definir la categoría que sería la categoría de esquemas sobre este objeto si existiera.)
- El anillo cero generalmente se excluye de los dominios integrales . Si el anillo cero se considera o no un dominio es una cuestión de convención, pero hay dos ventajas al considerarlo como no un dominio. En primer lugar, esto concuerda con la definición de que un dominio es un anillo en el que 0 es el único divisor de cero (en particular, se requiere que 0 sea un divisor de cero, lo que falla en el anillo de cero). En segundo lugar, de esta manera, para un entero positivo n , el anillo Z / n Z es un dominio si y sólo si n es primo, pero 1 no es primo.
- Para cada anillo A , existe un homomorfismo de anillo único desde A hasta el anillo cero. Por tanto, el anillo cero es un objeto terminal en la categoría de anillos .
- Si A es un anillo distinto de cero, entonces no hay homomorfismo de anillo desde el anillo cero hasta A. En particular, el anillo cero no es un subanillo de ningún anillo distinto de cero.
- El anillo cero es el anillo único de la característica 1.
- El único módulo para el anillo cero es el módulo cero. Está libre de rango א para cualquier número cardinal א.
- El anillo cero no es un anillo local . Se trata, sin embargo, de un anillo semilocal .
- El anillo cero es artiniano y (por tanto) noetheriano .
- El espectro del anillo cero es el esquema vacío .
- La dimensión de Krull del anillo cero es −∞.
- El anillo cero es semisimple pero no simple .
- El anillo cero no es un álgebra simple central sobre ningún campo.
- El anillo cociente total del anillo cero es él mismo.
Construcciones
Citas
Referencias
- Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice-Hall
- Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley
- Bosch, Siegfried (2012), Geometría algebraica y álgebra conmutativa , Springer
- Bourbaki, N. , Álgebra I, Capítulos 1-3
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Springer
- Lam, TY (2003), Ejercicios de teoría clásica de anillos , Springer
- Lang, Serge (2002), Álgebra (3ª ed.), Springer
