En matemáticas , un elemento identidad o elemento neutro de una operación binaria es un elemento que deja inalterado cada elemento cuando se aplica la operación. [1] [2] Por ejemplo, 0 es un elemento identidad de la adición de números reales . Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento identidad a menudo se abrevia como identidad (como en el caso de la identidad aditiva y la identidad multiplicativa) [3] cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria con la que está asociada.
Sea ( S , ∗) un conjunto S dotado de una operación binaria ∗. Entonces un elemento e de S se denominaidentidad izquierda sie∗s=spara todo sen S, y aidentidad derecha sis∗e=spara todo sen S.[4]Siees tanto una identidad izquierda como una identidad derecha, entonces se llama unaidentidad de dos caras , o simplemente unaidentidad .[5][6][7][8][9]
Una identidad con respecto a la adición se llamaidentidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llamaidentidad multiplicativa (a menudo denotada como 1).[3]No es necesario que sean sumas y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de ungrupo, por ejemplo, el elemento identidad a veces se denota simplemente con el símbolo. La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se usa con mayor frecuencia para conjuntos que admiten ambas operaciones binarias, comoanillos,dominios integralesycuerpos. La identidad multiplicativa a menudo se llamaunidad en el último contexto (un anillo con unidad).[10][11][12]Esto no debe confundirse con unaunidaden la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tenga uninverso multiplicativo. Por su propia definición, la unidad en sí misma es necesariamente una unidad.[13][14]
En el ejemplo S = { e,f } con las igualdades dadas, S es un semigrupo . Esto demuestra la posibilidad de que ( S , ∗) tenga varias identidades izquierdas. De hecho, cada elemento puede ser una identidad izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades derechas. Pero si hay una identidad derecha y una identidad izquierda, entonces deben ser iguales, lo que da como resultado una única identidad bilateral.
Para ver esto, note que si l es una identidad izquierda y r es una identidad derecha, entonces l = l ∗ r = r . En particular, nunca puede haber más de una identidad bilateral: si hubiera dos, digamos e y f , entonces e ∗ f tendría que ser igual a e y f .
También es muy posible que ( S , ∗) no tenga ningún elemento identidad, [15] como el caso de los números enteros pares bajo la operación de multiplicación. [3] Otro ejemplo común es el producto vectorial de vectores , donde la ausencia de un elemento identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto vectorial distinto de cero siempre es ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el original. Otro ejemplo más de estructura sin elemento identidad involucra el semigrupo aditivo de números naturales positivos .
