Inversa generalizada

Elemento algebraico que satisface algunos de los criterios de una inversa.

En matemáticas , y en particular en álgebra , una inversa generalizada (o g-inversa ) de un elemento x es un elemento y que tiene algunas propiedades de un elemento inverso , pero no necesariamente todas. El propósito de construir una inversa generalizada de una matriz es obtener una matriz que pueda servir como inversa en algún sentido para una clase más amplia de matrices que las matrices invertibles . Las inversas generalizadas se pueden definir en cualquier estructura matemática que implique multiplicación asociativa , es decir, en un semigrupo . Este artículo describe las inversas generalizadas de una matriz . ${\displaystyle A}$

Una matriz es una inversa generalizada de una matriz si ^{[1] [2] [3]} Existe una inversa generalizada para una matriz arbitraria, y cuando una matriz tiene una inversa regular, esta inversa es su única inversa generalizada. ^[1] ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.}$

Motivación

Considere el sistema lineal

${\displaystyle Ax=y}$

donde es una matriz y el espacio columna de . Si es no singular (lo que implica ), entonces será la solución del sistema. Tenga en cuenta que, si no es singular, entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n=m}$ ${\displaystyle x=A^{-1}y}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

Ahora supongamos que es rectangular ( ), o cuadrado y singular. Entonces necesitamos un candidato de orden adecuado tal que para todos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\neq m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A),}$

${\displaystyle AGy=y.}$^[4]

Es decir, es una solución del sistema lineal . De manera equivalente, necesitamos una matriz de orden tal que ${\displaystyle x=Gy}$ ${\displaystyle Ax=y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle AGA=A.}$

Por lo tanto, podemos definir la inversa generalizada de la siguiente manera: Dada una matriz , se dice que una matriz es una inversa generalizada de si ‍ [ ^{1] [2] [3]} Algunos autores han denominado a la matriz inversa regular de . ^[5] ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AGA=A.}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Tipos

Los tipos importantes de inversa generalizada incluyen:

• Inverso unilateral (inverso a la derecha o inverso a la izquierda)
  • Inversa derecha: Si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe una matriz llamada inversa derecha de tal que , donde está la matriz identidad . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle AA_{\mathrm {R} }^{-1}=I_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$
  • Inversa izquierda: Si la matriz tiene dimensiones y , entonces existe una matriz llamada inversa izquierda de tal que , donde está la matriz identidad. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}A=I_{m}}$ ${\displaystyle I_{m}}$ ${\displaystyle m\times m}$
• Inversa de Bott-Duffin
• Drazin inversa
• Inversa de Moore-Penrose

Algunas inversas generalizadas se definen y clasifican según las condiciones de Penrose:

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }AA^{\mathrm {g} }=A^{\mathrm {g} }}$
3. ${\displaystyle (AA^{\mathrm {g} })^{*}=AA^{\mathrm {g} }}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g} }A,}$

donde denota transposición conjugada. Si satisface la primera condición, entonces es un inverso generalizado de . Si satisface las dos primeras condiciones, entonces es una inversa generalizada reflexiva de . Si satisface las cuatro condiciones, entonces es la pseudoinversa de , que se denota y también se conoce como la inversa de Moore-Penrose , en honor a los trabajos pioneros de EH Moore y Roger Penrose . ^{[2] [7] [8] [9] [10] [11]} Es conveniente definir una inversa de como una inversa que satisface el subconjunto de las condiciones de Penrose enumeradas anteriormente. Se pueden establecer relaciones, como , entre estas diferentes clases de inversas. ^[1] ${\displaystyle {}^{*}}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$ ${\displaystyle A^{(1,4)}AA^{(1,3)}=A^{+}}$ ${\displaystyle I}$

Cuando es no singular, cualquier inversa generalizada y por tanto es única. Para un singular , algunas inversas generalizadas, como la inversa de Drazin y la inversa de Moore-Penrose, son únicas, mientras que otras no están necesariamente definidas de forma única. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }=A^{-1}}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Inverso reflexivo generalizado

Dejar

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Dado que , es singular y no tiene inversa regular. Sin embargo, y satisface las condiciones de Penrose (1) y (2), pero no (3) o (4). Por tanto, es una inversa generalizada reflexiva de . ${\displaystyle \det(A)=0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$

Inverso unilateral

Dejar

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

Como no es cuadrado, no tiene inversa regular. Sin embargo, es el inverso derecho de . La matriz no tiene inversa izquierda. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Inverso de otros semigrupos (o anillos)

El elemento b es un inverso generalizado de un elemento a si y sólo si , en cualquier semigrupo (o anillo , ya que la función de multiplicación en cualquier anillo es un semigrupo). ${\displaystyle a\cdot b\cdot a=a}$

Los inversos generalizados del elemento 3 en el anillo son 3, 7 y 11, ya que en el anillo : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 3\cdot 3\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

${\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

Los inversos generalizados del elemento 4 en el anillo son 1, 4, 7 y 10, ya que en el anillo : ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

${\displaystyle 4\cdot 1\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 4\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

${\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

Si un elemento a en un semigrupo (o anillo) tiene un inverso, el inverso debe ser el único inverso generalizado de este elemento, como los elementos 1, 5, 7 y 11 en el anillo . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$

En el anillo , cualquier elemento es un inverso generalizado de 0, sin embargo, 2 no tiene inverso generalizado, ya que no hay b en tal que . ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$

Construcción

Las siguientes caracterizaciones son fáciles de verificar:

• La inversa derecha de una matriz no cuadrada viene dada por , siempre que tenga el rango de fila completo. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$ ${\displaystyle A}$
• La inversa izquierda de una matriz no cuadrada viene dada por , siempre que tenga el rango de columna completo. ^[6] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$ ${\displaystyle A}$
• Si es una factorización de rango , entonces es una g-inversa de , donde es una inversa derecha de y una inversa izquierda de . ${\displaystyle A=BC}$ ${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ ${\displaystyle B}$
• Si para cualquier matriz no singular y , entonces es una inversa generalizada de para arbitraria y . ${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}}Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle G=Q^{-1}{\begin{bmatrix}I_{r}&U\\W&V\end{bmatrix}}P^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle W}$
• Sea de rango . Sin pérdida de generalidad, dejemos ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$
  $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix}},}$$
  ¿Dónde está la submatriz no singular de ? Entonces, ${\displaystyle B_{r\times r}}$ ${\displaystyle A}$
  $${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$
  es un inverso generalizado de si y solo si . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E=DB^{-1}C}$

Usos

Cualquier inversa generalizada se puede utilizar para determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene alguna solución y, de ser así, darlas todas. Si existe alguna solución para el sistema lineal n × m

${\displaystyle Ax=b}$,

con vector de incógnitas y vector de constantes, todas las soluciones están dadas por ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\left[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w}$,

paramétrico en el vector arbitrario , donde es cualquier inverso generalizado de . Las soluciones existen si y sólo si es una solución, es decir, si y sólo si . Si A tiene rango de columna completo, la expresión entre corchetes en esta ecuación es la matriz cero y, por lo tanto, la solución es única. ^[12] ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$ ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }b=b}$

Inversas generalizadas de matrices.

Las inversas generalizadas de matrices se pueden caracterizar de la siguiente manera. deja , y ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$

$${\displaystyle A=U{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}&0\\0&0\end{bmatrix}}V^{\operatorname {T} }}$$

sea ​​su descomposición en valores singulares . Entonces, para cualquier inversa generalizada , existen matrices ^[1] , y tales que ${\displaystyle A^{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

$${\displaystyle A^{g}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&X\\Y&Z\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Por el contrario, cualquier elección de , y para una matriz de esta forma es una inversa generalizada de . ^[1] Los inversos son exactamente aquellos para los cuales , los inversos son exactamente aquellos para los cuales y los inversos son exactamente aquellos para los cuales . En particular, la pseudoinversa viene dada por : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle Z=Y\Sigma _{1}X}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \{1,4\}}$ ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle X=Y=Z=0}$

$${\displaystyle A^{+}=V{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}U^{\operatorname {T} }.}$$

Propiedades de consistencia de transformación

En aplicaciones prácticas es necesario identificar la clase de transformaciones matriciales que deben preservarse mediante una inversa generalizada. Por ejemplo, la inversa de Moore-Penrose satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a transformaciones que involucran matrices unitarias U y V : ${\displaystyle A^{+},}$

${\displaystyle (UAV)^{+}=V^{*}A^{+}U^{*}}$.

La inversa de Drazin satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a transformaciones de similitud que involucran una matriz no singular S : ${\displaystyle A^{\mathrm {D} }}$

${\displaystyle \left(SAS^{-1}\right)^{\mathrm {D} }=SA^{\mathrm {D} }S^{-1}}$.

La inversa unitariamente consistente (UC), ^[13] satisface la siguiente definición de consistencia con respecto a transformaciones que involucran matrices diagonales no singulares D y E : ${\displaystyle A^{\mathrm {U} },}$

${\displaystyle (DAE)^{\mathrm {U} }=E^{-1}A^{\mathrm {U} }D^{-1}}$.

El hecho de que la inversa de Moore-Penrose proporcione coherencia con respecto a las rotaciones (que son transformaciones ortonormales) explica su uso generalizado en física y otras aplicaciones en las que se deben preservar las distancias euclidianas. La inversa UC, por el contrario, es aplicable cuando se espera que el comportamiento del sistema sea invariante con respecto a la elección de unidades en diferentes variables de estado, por ejemplo, millas versus kilómetros.

Ver también

• Pseudoinversa de matriz de bloques
• Semigrupo regular

Citas

1. Ben-Israel y Greville 2003, págs.2, 7
2. Nakamura 1991, págs.
3. Rao y Mitra 1971, págs. vii, 20
4. Rao y Mitra 1971, pág. 24
5. Rao y Mitra 1971, págs. 19-20
6. Rao y Mitra 1971, pag. 19
7. Rao y Mitra 1971, págs.20, 28, 50–51
8. Ben-Israel y Greville 2003, pág. 7
9. Campbell y Meyer 1991, pág. 10
10. James 1978, pag. 114
11. Nakamura 1991, pág. 42
12. James 1978, págs. 109-110
13. Uhlmann 2018

Fuentes

Libro de texto

• Ben-Israel, Adi ; Greville, Thomas Nall Edén (2003). Inversas generalizadas: teoría y aplicaciones (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. doi :10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). Inversas generalizadas de transformaciones lineales . Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Cuerno, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985). Análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-38632-6.
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Robótica avanzada: redundancia y optimización . Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Inversa Generalizada de Matrices y sus Aplicaciones . Nueva York: John Wiley & Sons. págs.240. ISBN 978-0-471-70821-6.

Publicación

• James, M. (junio de 1978). "La inversa generalizada". La Gaceta Matemática . 62 (420): 109-114. doi :10.2307/3617665. JSTOR  3617665.
• Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "Una matriz inversa generalizada que es consistente con respecto a las transformaciones diagonales" (PDF) . Revista SIAM sobre Análisis y Aplicaciones de Matrices . 239 (2): 781–800. doi :10.1137/17M113890X.
• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "Inversa generalizada A (2) T, S y una ecuación de rango". Matemáticas Aplicadas y Computación . 155 (2): 407–415. doi :10.1016/S0096-3003(03)00786-0.