En matemáticas , el concepto de elemento inverso generaliza los conceptos de opuesto ( − x ) y recíproco ( 1/ x ) de números.
Dada una operación denotada aquí ∗ , y un elemento identidad denotado e , si x ∗ y = e , se dice que x es una inversa izquierda de y , y que y es una inversa derecha de x . (Un elemento de identidad es un elemento tal que x * e = x y e * y = y para todos los x e y para los cuales se definen los lados izquierdos. [1] )
Cuando la operación ∗ es asociativa , si un elemento x tiene tanto una inversa izquierda como una inversa derecha, entonces estas dos inversas son iguales y únicas; se les llama elemento inverso o simplemente inverso . A menudo se agrega un adjetivo para especificar la operación, como en inverso aditivo , inverso multiplicativo e inverso funcional . En este caso (operación asociativa), un elemento invertible es un elemento que tiene una inversa. En un anillo , un elemento invertible , también llamado unidad , es un elemento que es invertible mediante multiplicación (esto no es ambiguo, ya que todo elemento es invertible mediante suma).
Las inversas se usan comúnmente en grupos (donde cada elemento es invertible) y los anillos (donde los elementos invertibles también se llaman unidades ). También se usan comúnmente para operaciones que no están definidas para todos los operandos posibles, como matrices inversas y funciones inversas . Esto se ha generalizado a la teoría de categorías , donde, por definición, un isomorfismo es un morfismo invertible .
La palabra "inversa" se deriva del latín : inversus que significa "al revés", "volcado". Esto puede tener su origen en el caso de las fracciones , donde el inverso (multiplicativo) se obtiene intercambiando el numerador y el denominador (el inverso de is ).
Los conceptos de elemento inverso y elemento invertible se definen comúnmente para operaciones binarias que están definidas en todas partes (es decir, la operación se define para dos elementos cualesquiera de su dominio ). Sin embargo, estos conceptos también se usan comúnmente con operaciones parciales , es decir, operaciones que no están definidas en todas partes. Ejemplos comunes son la multiplicación de matrices , la composición de funciones y la composición de morfismos en una categoría . De ello se deduce que las definiciones comunes de asociatividad y elemento de identidad deben extenderse a operaciones parciales; este es el objeto de los primeros subapartados.
En esta sección, X es un conjunto (posiblemente una clase adecuada ) en el que se define una operación parcial (posiblemente total), que se denota con
Una operación parcial es asociativa si
para cada x , y , z en X para el cual uno de los miembros de la igualdad está definido; la igualdad significa que el otro miembro de la igualdad también debe definirse.
Ejemplos de operaciones asociativas no totales son la multiplicación de matrices de tamaño arbitrario y la composición de funciones .
Sea una operación asociativa posiblemente parcial en un conjunto X .
Un elemento de identidad , o simplemente una identidad, es un elemento e tal que
para cada xey para los cuales se definen los lados izquierdos de las igualdades.
Si e y f son dos elementos de identidad tales que se definen, entonces (Esto resulta inmediatamente de la definición, por )
De ello se deduce que una operación total tiene como máximo un elemento de identidad, y si e y f son identidades diferentes, entonces no está definida.
Por ejemplo, en el caso de la multiplicación de matrices , hay una matriz identidad n × n para cada entero positivo n , y dos matrices identidad de diferente tamaño no se pueden multiplicar juntas.
De manera similar, las funciones de identidad son elementos de identidad para la composición de funciones y la composición de las funciones de identidad de dos conjuntos diferentes no está definida.
Si donde e es un elemento identidad, se dice que x es una inversa izquierda de y , y y es una inversa derecha de x .
Las inversas izquierda y derecha no siempre existen, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, la suma es una operación asociativa total sobre números enteros no negativos , que tiene 0 como identidad aditiva , y 0 es el único elemento que tiene un inverso aditivo . Esta falta de inversos es la principal motivación para extender los números naturales a los enteros.
Un elemento puede tener varias inversas izquierdas y varias inversas derechas, incluso cuando la operación es total y asociativa. Por ejemplo, considere las funciones de números enteros a números enteros. La función de duplicación tiene infinitas inversas izquierdas en la composición de funciones , que son las funciones que dividen por dos los números pares y dan cualquier valor a los números impares. De manera similar, cada función que asigna n a o es una inversa derecha de la función de piso que asigna n a o dependiendo de si n es par o impar.
De manera más general, una función tiene una inversa izquierda para la composición de funciones si y solo si es inyectiva , y tiene una inversa derecha si y solo si es sobreyectiva .
En la teoría de categorías , las inversas derechas también se denominan secciones y las inversas izquierdas se denominan retracciones .
Un elemento es invertible bajo una operación si tiene una inversa izquierda y una inversa derecha.
En el caso común de que la operación sea asociativa, las inversas izquierda y derecha de un elemento son iguales y únicas. De hecho, si l y r son respectivamente una inversa izquierda y una inversa derecha de x , entonces
La inversa de un elemento invertible es su única inversa izquierda o derecha.
Si la operación se denota como una suma, se denota la inversa, o inversa aditiva , de un elemento x . En caso contrario, generalmente se denota la inversa de x o, en el caso de una multiplicación conmutativa , cuando puede haber una confusión entre varias operaciones, el símbolo de la operación se puede agregar antes del exponente, como en La notación no se usa comúnmente para la composición de funciones , ya que se puede usar para el inverso multiplicativo .
Si x e y son invertibles y están definidos, entonces es invertible y su inversa es
Un homomorfismo invertible se llama isomorfismo . En teoría de categorías , un morfismo invertible también se llama isomorfismo .
Un grupo es un conjunto con una operación asociativa que tiene un elemento identidad y para el cual cada elemento tiene una inversa.
Así, la inversa es una función del grupo hacia sí mismo que también puede considerarse como una operación de aridad . También es una involución , ya que la inversa de la inversa de un elemento es el elemento mismo.
Un grupo puede actuar sobre un conjunto como transformaciones de este conjunto. En este caso, la inversa de un elemento de grupo define una transformación que es la inversa de la transformación definida por es decir, la transformación que "deshace" la transformación definida por
Por ejemplo, el grupo del cubo de Rubik representa las secuencias finitas de movimientos elementales. La inversa de dicha secuencia se obtiene aplicando la inversa de cada movimiento en orden inverso.
Un monoide es un conjunto con operación asociativa que tiene un elemento identidad .
Los elementos invertibles en un monoide forman un grupo bajo operación monoide.
Un anillo es un monoide para la multiplicación de anillos. En este caso, los elementos invertibles también se denominan unidades y forman el grupo de unidades del anillo.
Si un monoide no es conmutativo , pueden existir elementos no invertibles que tengan una inversa izquierda o una inversa derecha (no ambas, ya que, de lo contrario, el elemento sería invertible).
Por ejemplo, el conjunto de funciones de un conjunto a sí mismo es un monoide bajo composición de funciones . En este monoide, los elementos invertibles son las funciones biyectivas ; los elementos que tienen inversas izquierdas son las funciones inyectivas , y los que tienen inversas derechas son las funciones sobreyectivas .
Dado un monoide, es posible que deseemos ampliarlo añadiendo inversa a algunos elementos. Esto generalmente es imposible para monoides no conmutativos, pero, en un monoide conmutativo, es posible agregar inversas a los elementos que tienen la propiedad de cancelación (un elemento x tiene la propiedad de cancelación si implica e implica ). Esta extensión de un monoide está permitida por la construcción del grupo Grothendieck . Este es el método que se utiliza comúnmente para construir números enteros a partir de números naturales , números racionales a partir de números enteros y, más en general, el cuerpo de fracciones de un dominio integral , y localizaciones de anillos conmutativos .
Un anillo es una estructura algebraica con dos operaciones, suma y multiplicación , que se denotan como las operaciones habituales con números.
Bajo la suma, un anillo es un grupo abeliano , lo que significa que la suma es conmutativa y asociativa ; tiene una identidad, llamada identidad aditiva y denotada como 0 ; y cada elemento x tiene un inverso, llamado inverso aditivo y denotado − x . Debido a la conmutatividad, los conceptos de inversas izquierda y derecha no tienen sentido ya que no difieren de las inversas.
En la multiplicación, un anillo es un monoide ; esto significa que la multiplicación es asociativa y tiene una identidad llamada identidad multiplicativa y denotada por 1 . Un elemento invertible para la multiplicación se llama unidad . Se denota el inverso o inverso multiplicativo (para evitar confusión con inversos aditivos) de una unidad x o, cuando la multiplicación es conmutativa,
La identidad aditiva 0 nunca es una unidad, excepto cuando el anillo es el anillo cero , que tiene 0 como elemento único.
Si 0 es la única no unidad, el anillo es un campo si la multiplicación es conmutativa, o un anillo de división en caso contrario.
En un anillo no conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación no es conmutativa), un elemento no invertible puede tener una o varias inversas izquierda o derecha. Éste es, por ejemplo, el caso de las funciones lineales de un espacio vectorial de dimensión infinita hacia sí mismo.
Un anillo conmutativo (es decir, un anillo cuya multiplicación es conmutativa) se puede ampliar sumando inversos a elementos que no son divisores de cero (es decir, su producto con un elemento distinto de cero no puede ser 0 ). Este es el proceso de localización , que produce, en particular, el campo de los números racionales a partir del anillo de los números enteros y, más generalmente, el campo de las fracciones de un dominio integral . La localización también se utiliza con divisores cero, pero en este caso el anillo original no es un subanillo de la localización; en cambio, se asigna de forma no inyectiva a la localización.
La multiplicación de matrices se define comúnmente para matrices sobre un campo y se extiende directamente a matrices sobre anillos , anillos y semianillos . Sin embargo, en esta sección sólo se consideran matrices sobre un anillo conmutativo , debido al uso del concepto de rango y determinante .
Si A es una matriz m × n (es decir, una matriz con m filas y n columnas), y B es una matriz p × q , el producto AB se define si n = p , y solo en este caso. Una matriz identidad , es decir, un elemento identidad para la multiplicación de matrices, es una matriz cuadrada (mismo número para filas y columnas) cuyas entradas de la diagonal principal son todas iguales a 1 y todas las demás entradas son 0 .
Una matriz invertible es un elemento invertible bajo multiplicación de matrices. Una matriz sobre un anillo conmutativo R es invertible si y sólo si su determinante es una unidad en R (es decir, es invertible en R. En este caso, su matriz inversa se puede calcular con la regla de Cramer .
Si R es un cuerpo, el determinante es invertible si y sólo si no es cero. Como el caso de los campos es más común, a menudo se ven matrices invertibles definidas como matrices con un determinante distinto de cero, pero esto es incorrecto en el caso de los anillos.
En el caso de matrices enteras (es decir, matrices con entradas enteras), una matriz invertible es una matriz que tiene una inversa que también es una matriz entera. Tal matriz se llama matriz unimodular para distinguirla de las matrices que son invertibles sobre los números reales . Una matriz de enteros cuadrados es unimodular si y sólo si su determinante es 1 o −1 , ya que estos dos números son las únicas unidades en el anillo de los números enteros.
Una matriz tiene inversa izquierda si y sólo si su rango es igual a su número de columnas. Esta inversa izquierda no es única excepto en el caso de matrices cuadradas donde la inversa izquierda es igual a la matriz inversa. De manera similar, existe una inversa derecha si y sólo si el rango es igual al número de filas; no es única en el caso de una matriz rectangular y es igual a la matriz inversa en el caso de una matriz cuadrada.
La composición es una operación parcial que se generaliza a homomorfismos de estructuras algebraicas y morfismos de categorías en operaciones que también se denominan composición y comparten muchas propiedades con la composición de funciones.
En todo caso, la composición es asociativa .
Si y la composición se define si y sólo si o, en los casos de función y homomorfismo, En los casos de función y homomorfismo, esto significa que el codominio de es igual a o está incluido en el dominio de g . En el caso del morfismo, esto significa que el codominio de es igual al dominio de g .
Hay una identidad para cada objeto X ( conjunto , estructura algebraica u objeto ), que también se denomina función identidad en el caso de la función.
Una función es invertible si y sólo si es una biyección . Un homomorfismo o morfismo invertible se llama isomorfismo. Un homomorfismo de estructuras algebraicas es un isomorfismo si y sólo si es una biyección. La inversa de una biyección se llama función inversa . En los demás casos, se habla de isomorfismos inversos .
Una función tiene inversa izquierda o inversa derecha si y solo es inyectiva o sobreyectiva , respectivamente. Un homomorfismo de estructuras algebraicas que tiene una inversa izquierda o una inversa derecha es respectivamente inyectiva o sobreyectiva, pero lo contrario no es cierto en algunas estructuras algebraicas. Por ejemplo, lo contrario es cierto para los espacios vectoriales pero no para los módulos sobre un anillo: un homomorfismo de módulos que tiene una inversa izquierda de una inversa derecha se denomina respectivamente epimorfismo dividido o monomorfismo dividido . Esta terminología también se utiliza para morfismos en cualquier categoría.
Sea un magma unital , es decir, un conjunto con operación binaria y elemento identidad . Si, para , tenemos , entonces se llama inversa izquierda de y inversa derecha de . Si un elemento es tanto inverso izquierdo como inverso derecho de , entonces se llama inverso de dos lados , o simplemente inverso de . Un elemento con una inversa de dos lados se llama invertible . Un elemento con un elemento inverso solo en un lado es invertible a la izquierda o invertible a la derecha .
Los elementos de un magma unitario pueden tener múltiples inversas izquierdas, derechas o bilaterales. Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley
los elementos 2 y 3 tienen cada uno dos inversos de dos lados.
Un magma unital en el que todos los elementos son invertibles no tiene por qué ser un bucle . Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley
cada elemento tiene un inverso único de dos lados (es decir, él mismo), pero no es un bucle porque la tabla de Cayley no es un cuadrado latino .
De manera similar, un bucle no necesita tener inversos de dos lados. Por ejemplo, en el bucle dado por la tabla Cayley
el único elemento con inverso de dos lados es el elemento identidad 1.
Si la operación es asociativa , entonces si un elemento tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unital asociativo) cada elemento tiene como máximo una inversa (como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles es un grupo , llamado grupo de unidades de y denotado por o H 1 .
La definición de la sección anterior generaliza la noción de inverso en grupo en relación con la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de inversa eliminando el elemento identidad pero manteniendo la asociatividad; es decir, en un semigrupo .
En un semigrupo S un elemento x se llama (von Neumann) regular si existe algún elemento z en S tal que xzx = x ; A z a veces se le llama pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) inverso de x si xyx = x e y = yxy . Todo elemento regular tiene al menos una inversa: si x = xzx entonces es fácil verificar que y = zxz es una inversa de x como se define en esta sección. Otro hecho fácil de probar: si y es una inversa de x entonces e = xy y f = yx son idempotentes , es decir, ee = e y ff = f . Por lo tanto, cada par de elementos (mutuamente) inversos da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , y e actúa como una identidad izquierda en x , mientras que f actúa como una identidad derecha, y la izquierda/ Los roles correctos se invierten para y . Esta simple observación se puede generalizar usando las relaciones de Green : cada idempotente e en un semigrupo arbitrario es una identidad izquierda para R e y una identidad derecha para L e . [2] Una descripción intuitiva de este hecho es que cada par de elementos mutuamente inversos produce una identidad local de izquierda y, respectivamente, una identidad local de derecha.
En un monoide, la noción de inversa tal como se define en la sección anterior es estrictamente más limitada que la definición dada en esta sección. Sólo los elementos de la clase H 1 de Green tienen una inversa desde la perspectiva del magma unital, mientras que para cualquier e idempotente , los elementos de H e tienen una inversa como se define en esta sección. Según esta definición más general, las inversas no tienen por qué ser únicas (o existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular y cada elemento tiene al menos un inverso. Si cada elemento tiene exactamente un inverso como se define en esta sección, entonces el semigrupo se llama semigrupo inverso . Finalmente, un semigrupo inverso con un solo idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo puede no tenerlo.
Fuera de la teoría de semigrupos, una inversa única, tal como se define en esta sección, a veces se denomina cuasi-inversa . Esto generalmente se justifica porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos de este artículo) se mantiene la asociatividad, lo que hace que esta noción sea una generalización de la inversa izquierda/derecha en relación con una identidad (consulte Inversa generalizada ).
Una generalización natural del semigrupo inverso es definir una operación unaria (arbitraria) ° tal que ( a °)° = a para todo a en S ; esto le da a S un álgebra de tipo ⟨2,1⟩. Un semigrupo dotado de tal operación se llama semigrupo U. Aunque pueda parecer que a ° será el inverso de a , este no es necesariamente el caso. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación de semigrupo. Se han estudiado dos clases de semigrupos U : [3]
Claramente un grupo es a la vez un semigrupo I y un semigrupo *. Una clase de semigrupos importante en la teoría de semigrupos son los semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigrupos en los que además se tiene aa ° = a ° a ; en otras palabras, cada elemento tiene un pseudoinverso de conmutación a °. Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; la mayoría son semigrupos completamente simples . Por el contrario, una subclase de *-semigrupos, los *-semigrupos regulares (en el sentido de Drazin), producen uno de los ejemplos más conocidos de un pseudoinverso (único), el inverso de Moore-Penrose . Sin embargo, en este caso la involución a * no es la pseudoinversa. Más bien, la pseudoinversa de x es el elemento único y tal que xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx . Dado que los semigrupos *-regulares generalizan los semigrupos inversos, el elemento único definido de esta manera en un semigrupo *-regular se llama inverso generalizado o inverso de Moore-Penrose .
Todos los ejemplos de esta sección involucran operadores asociativos.
Los adjuntos inferior y superior en una conexión de Galois (monótona) , L y G son casi inversos entre sí; es decir, LGL = L y GLG = G y uno determina de forma única al otro. Sin embargo, no son inversas izquierda o derecha entre sí.
Una matriz cuadrada con entradas en un campo es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, bajo multiplicación de matrices ) si y sólo si su determinante es diferente de cero. Si el determinante de es cero, es imposible que tenga una inversa unilateral; por lo tanto una inversa izquierda o una inversa derecha implica la existencia del otro. Consulte matriz invertible para obtener más información.
De manera más general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y sólo si su determinante es invertible en .
Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varias inversas unilaterales: [4]
La inversa izquierda se puede utilizar para determinar la solución de norma mínima de , que también es la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión y está dada por
Ninguna matriz de rango deficiente tiene inversa (incluso unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.
Como ejemplo de inversas de matrices, considere:
Entonces, como m < n , tenemos una inversa derecha. Por componentes se calcula como
La inversa izquierda no existe, porque
que es una matriz singular y no se puede invertir.
![{\displaystyle {\begin{aligned}AA^{\text{T}}&={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}\\[3pt]\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={ \begin{bmatrix}14&32\\32&77\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{54}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}} \\[3pt]A^{\text{T}}\left(AA^{\text{T}}\right)^{-1}&={\frac {1}{54}}{\begin{ bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}77&-32\\-32&14\end{bmatrix}}={\frac {1}{18}}{\begin{bmatrix }-17&8\\-2&2\\13&-4\end{bmatrix}}=A_{\text{right}}^{-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6860eb1d9bb3e399d72b7703f74b919f8945c8d8)
