En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones en matemáticas , una clase es una colección de conjuntos (o, a veces, otros objetos matemáticos) que pueden definirse sin ambigüedades mediante una propiedad que comparten todos sus miembros. Las clases actúan como una forma de tener colecciones similares a conjuntos y al mismo tiempo se diferencian de los conjuntos para evitar paradojas, especialmente la paradoja de Russell (ver § Paradojas ). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundamental. En el trabajo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , axiomatizan la noción de "clase adecuada", por ejemplo, como entidades que no son miembros de otra entidad.
Una clase que no es un conjunto (informalmente en Zermelo-Fraenkel) se llama clase propia , y una clase que es un conjunto a veces se llama clase pequeña . Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases propias en muchos sistemas formales.
En los escritos de teoría de conjuntos de Quine , la frase "clase última" se usa a menudo en lugar de la frase "clase adecuada", enfatizando que en los sistemas que él considera, ciertas clases no pueden ser miembros y, por lo tanto, son el término final en cualquier cadena de membresía. al que pertenecen.
Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra "clase" a veces se utiliza como sinónimo de "conjunto". Este uso data de un período histórico en el que las clases y los conjuntos no se distinguían como lo hacen en la terminología moderna de la teoría de conjuntos. [1] Muchas discusiones sobre "clases" en el siglo XIX y antes en realidad se refieren a conjuntos, o más bien tal vez tienen lugar sin considerar que ciertas clases pueden no ser conjuntos.
La colección de todas las estructuras algebraicas de un tipo determinado normalmente será una clase adecuada. Los ejemplos incluyen la clase de todos los grupos , la clase de todos los espacios vectoriales y muchos otros. En teoría de categorías , una categoría cuya colección de objetos forma una clase propia (o cuya colección de morfismos forma una clase propia) se denomina categoría grande .
Los números surrealistas son una clase propia de objetos que tienen las propiedades de un campo .
Dentro de la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases adecuadas. Los ejemplos incluyen la clase de todos los conjuntos (la clase universal), la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales .
Una forma de demostrar que una clase es propia es colocarla en biyección con la clase de todos los números ordinales. Este método se utiliza, por ejemplo, para demostrar que no existe una red completa libre en tres o más generadores .
Las paradojas de la teoría ingenua de conjuntos pueden explicarse en términos del supuesto tácito inconsistente de que "todas las clases son conjuntos". Con una base rigurosa, estas paradojas sugieren en cambio pruebas de que ciertas clases son propias (es decir, que no son conjuntos). Por ejemplo, la paradoja de Russell sugiere una prueba de que la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos es adecuada, y la paradoja de Burali-Forti sugiere que la clase de todos los números ordinales es adecuada. Las paradojas no surgen con las clases porque no existe la noción de clases que contengan clases. De lo contrario, se podría, por ejemplo, definir una clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas, lo que conduciría a una paradoja de Russell para las clases. Un conglomerado , por el contrario, puede tener clases propias como miembros, aunque la teoría de los conglomerados aún no está bien establecida. [ cita necesaria ]
La teoría de conjuntos de ZF no formaliza la noción de clases, por lo que cada fórmula con clases debe reducirse sintácticamente a una fórmula sin clases. [2] Por ejemplo, se puede reducir la fórmula a . Semánticamente, en un metalenguaje , las clases pueden describirse como clases de equivalencia de fórmulas lógicas : si es una estructura que interpreta ZF, entonces la "expresión constructora de clases" del lenguaje objeto se interpreta mediante la colección de todos los elementos del dominio de on que sostiene; por tanto, la clase puede describirse como el conjunto de todos los predicados equivalentes a (que se incluye a sí mismo). En particular, se puede identificar la "clase de todos los conjuntos" con el conjunto de todos los predicados equivalente a .
Debido a que las clases no tienen ningún estatus formal en la teoría de ZF, los axiomas de ZF no se aplican inmediatamente a las clases. Sin embargo, si se supone un cardinal inaccesible , entonces los conjuntos de rango más pequeño forman un modelo de ZF (un universo de Grothendieck ), y sus subconjuntos pueden considerarse como "clases".
En ZF, el concepto de función también se puede generalizar a clases. Una función de clase no es una función en el sentido habitual, ya que no es un conjunto; es más bien una fórmula con la propiedad de que para cualquier conjunto no hay más de un conjunto tal que el par satisfaga . Por ejemplo, la función de clase que asigna cada conjunto a su sucesor se puede expresar como la fórmula El hecho de que el par ordenado satisface se puede expresar con la notación abreviada .
Otro enfoque es el de los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG); Las clases son los objetos básicos en esta teoría, y luego se define un conjunto como una clase que es un elemento de alguna otra clase. Sin embargo, los axiomas de existencia de clases de NBG están restringidos de modo que solo cuantifican conjuntos, en lugar de todas las clases. Esto hace que NBG sea una extensión conservadora de ZF.
La teoría de conjuntos de Morse-Kelley admite clases adecuadas como objetos básicos, como NBG, pero también permite la cuantificación de todas las clases adecuadas en sus axiomas de existencia de clases. Esto hace que MK sea estrictamente más fuerte que NBG y ZF.
En otras teorías de conjuntos, como los Nuevos Fundamentos o la teoría de los semiconjuntos , el concepto de "clase propia" todavía tiene sentido (no todas las clases son conjuntos) pero el criterio de condición de conjunto no está cerrado bajo los subconjuntos. Por ejemplo, cualquier teoría de conjuntos con un conjunto universal tiene clases propias que son subclases de conjuntos.
