Teoría de conjuntos ingenua

La teoría de conjuntos ingenua es una de varias teorías de conjuntos utilizadas en la discusión de los fundamentos de las matemáticas . ^[3] A diferencia de las teorías de conjuntos axiomáticas , que se definen utilizando la lógica formal , la teoría de conjuntos ingenua se define de manera informal, en lenguaje natural . Describe los aspectos de los conjuntos matemáticos familiares en las matemáticas discretas (por ejemplo, los diagramas de Venn y el razonamiento simbólico sobre su álgebra de Boole ), y es suficiente para el uso cotidiano de los conceptos de teoría de conjuntos en las matemáticas contemporáneas. ^[4]

Los conjuntos son de gran importancia en matemáticas; en los tratamientos formales modernos, la mayoría de los objetos matemáticos ( números , relaciones , funciones , etc.) se definen en términos de conjuntos. La teoría de conjuntos ingenua es suficiente para muchos propósitos, al tiempo que sirve como un trampolín hacia tratamientos más formales.

Método

Una teoría ingenua en el sentido de "teoría ingenua de conjuntos" es una teoría no formalizada, es decir, una teoría que utiliza el lenguaje natural para describir conjuntos y operaciones sobre conjuntos. Dicha teoría trata a los conjuntos como objetos absolutos platónicos. Las palabras y , o , si ... entonces , no , para algunos , para cada se tratan como en las matemáticas ordinarias. Por conveniencia, el uso de la teoría ingenua de conjuntos y su formalismo prevalece incluso en las matemáticas superiores, incluso en entornos más formales de la propia teoría de conjuntos.

El primer desarrollo de la teoría de conjuntos fue una teoría de conjuntos ingenua. Fue creada a finales del siglo XIX por Georg Cantor como parte de su estudio de los conjuntos infinitos ^[5] y desarrollada por Gottlob Frege en su Grundgesetze der Arithmetik .

La teoría de conjuntos ingenua puede referirse a varias nociones muy distintas. Puede referirse a:

Presentación informal de una teoría de conjuntos axiomática, por ejemplo, en Teoría de conjuntos ingenua de Paul Halmos .
Versiones tempranas o posteriores de la teoría de Georg Cantor y otros sistemas informales.
Teorías decididamente inconsistentes (sean axiomáticas o no), como la teoría de Gottlob Frege ^[6] que produjo la paradoja de Russell , y las teorías de Giuseppe Peano ^[7] y Richard Dedekind .

Paradojas

La suposición de que cualquier propiedad puede utilizarse para formar un conjunto, sin restricciones, conduce a paradojas . Un ejemplo común es la paradoja de Russell : no existe ningún conjunto formado por "todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos". Por lo tanto, los sistemas consistentes de teoría de conjuntos ingenua deben incluir algunas limitaciones a los principios que pueden utilizarse para formar conjuntos.

La teoría de Cantor

Algunos creen que la teoría de conjuntos de Georg Cantor no estaba realmente implicada en las paradojas de la teoría de conjuntos (véase Frápolli 1991). Una dificultad para determinar esto con certeza es que Cantor no proporcionó una axiomatización de su sistema. En 1899, Cantor era consciente de algunas de las paradojas que se derivaban de la interpretación sin restricciones de su teoría, por ejemplo la paradoja de Cantor ^[8] y la paradoja de Burali-Forti [ ^9] y no creía que desacreditaran su teoría. ^[10] La paradoja de Cantor en realidad se puede derivar de la suposición (falsa) anterior: que cualquier propiedad $P (x)$ puede usarse para formar un conjunto, usando para $P (x)$ " $x$ es un número cardinal ". Frege axiomatizó explícitamente una teoría en la que se puede interpretar una versión formalizada de la teoría de conjuntos ingenua, y es esta teoría formal a la que Bertrand Russell en realidad abordó cuando presentó su paradoja, no necesariamente una teoría que Cantor —quien, como se mencionó, estaba al tanto de varias paradojas— presumiblemente tenía en mente.

Teorías axiomáticas

La teoría de conjuntos axiomáticos se desarrolló en respuesta a estos primeros intentos de comprender los conjuntos, con el objetivo de determinar con precisión qué operaciones estaban permitidas y cuándo.

Consistencia

Una teoría de conjuntos ingenua no es necesariamente inconsistente si especifica correctamente los conjuntos que se pueden considerar. Esto se puede hacer por medio de definiciones, que son axiomas implícitos. Es posible enunciar todos los axiomas explícitamente, como en el caso de la teoría de conjuntos ingenua de Halmos , que en realidad es una presentación informal de la teoría de conjuntos axiomática habitual de Zermelo-Fraenkel . Es "ingenua" en el sentido de que el lenguaje y las notaciones son los de las matemáticas informales ordinarias y en el sentido de que no se ocupa de la consistencia o completitud del sistema de axiomas.

De la misma manera, una teoría de conjuntos axiomáticos no es necesariamente consistente: no necesariamente libre de paradojas. De los teoremas de incompletitud de Gödel se deduce que un sistema lógico de primer orden suficientemente complicado (que incluye la mayoría de las teorías de conjuntos axiomáticos comunes) no puede demostrarse que sea consistente desde dentro de la teoría misma, incluso si realmente lo es. Sin embargo, generalmente se cree que los sistemas axiomáticos comunes son consistentes; por sus axiomas excluyen algunas paradojas, como la paradoja de Russell . Con base en el teorema de Gödel , simplemente no se sabe –y nunca se podrá saber– si no hay paradojas en absoluto en estas teorías o en cualquier teoría de conjuntos de primer orden.

El término teoría de conjuntos ingenua todavía se utiliza hoy en día en alguna literatura ^[11] para referirse a las teorías de conjuntos estudiadas por Frege y Cantor, en lugar de a las contrapartes informales de la teoría de conjuntos axiomática moderna.

Utilidad

La elección entre un enfoque axiomático y otros enfoques es en gran medida una cuestión de conveniencia. En las matemáticas cotidianas, la mejor opción puede ser el uso informal de la teoría axiomática de conjuntos. Las referencias a axiomas particulares suelen ocurrir entonces solo cuando lo exige la tradición, por ejemplo, el axioma de elección se menciona a menudo cuando se utiliza. Del mismo modo, las demostraciones formales ocurren solo cuando lo justifican circunstancias excepcionales. Este uso informal de la teoría axiomática de conjuntos puede tener (dependiendo de la notación) precisamente la apariencia de una teoría ingenua de conjuntos como se describe a continuación. Es considerablemente más fácil de leer y escribir (en la formulación de la mayoría de los enunciados, demostraciones y líneas de discusión) y es menos propenso a errores que un enfoque estrictamente formal.

Conjuntos, pertenencia e igualdad

En la teoría de conjuntos ingenua, un conjunto se describe como una colección bien definida de objetos. Estos objetos se denominan elementos o miembros del conjunto. Los objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, otros conjuntos, etc. Por ejemplo, 4 es un miembro del conjunto de todos los números pares . Claramente, el conjunto de números pares es infinitamente grande; no existe ningún requisito de que un conjunto sea finito.

La definición de conjuntos se remonta a Georg Cantor . Escribió en su artículo de 1915 Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre :

Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von M genannt werden) zu einem Ganzen.
—Georg Cantor

Un conjunto es una reunión en un todo de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o de nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto.
—Georg Cantor

Nota sobre la coherencia

De esta definición no se desprende cómo se pueden formar los conjuntos ni qué operaciones sobre los conjuntos producirán a su vez un conjunto. El término "bien definido" en "colección bien definida de objetos" no puede, por sí mismo, garantizar la coherencia y la inequívoca determinación de lo que constituye exactamente un conjunto y lo que no lo constituye. Intentar lograr esto sería el ámbito de la teoría axiomática de conjuntos o de la teoría axiomática de clases .

El problema, en este contexto, con las teorías de conjuntos formuladas informalmente, que no se derivan de (e implican) ninguna teoría axiomática particular, es que puede haber varias versiones formalizadas muy diferentes, que tienen conjuntos diferentes y diferentes reglas para cómo se pueden formar nuevos conjuntos, que todas se ajustan a la definición informal original. Por ejemplo, la definición textual de Cantor permite una libertad considerable en lo que constituye un conjunto. Por otro lado, es poco probable que Cantor estuviera particularmente interesado en conjuntos que contienen gatos y perros, sino más bien solo en conjuntos que contienen objetos puramente matemáticos. Un ejemplo de tal clase de conjuntos podría ser el universo de von Neumann . Pero incluso cuando se fija la clase de conjuntos en consideración, no siempre está claro qué reglas para la formación de conjuntos se permiten sin introducir paradojas.

Para el propósito de fijar la discusión que sigue, el término "bien definido" debería interpretarse en cambio como una intención , con reglas implícitas o explícitas (axiomas o definiciones), de descartar inconsistencias. El propósito es mantener las cuestiones de consistencia, a menudo profundas y difíciles, alejadas del contexto, generalmente más simple, en cuestión. De todos modos, no se puede lograr una exclusión explícita de todas las inconsistencias concebibles (paradojas) para una teoría de conjuntos axiomática, debido al segundo teorema de incompletitud de Gödel, por lo que esto no obstaculiza en absoluto la utilidad de la teoría de conjuntos ingenua en comparación con la teoría de conjuntos axiomática en los contextos simples considerados a continuación. Simplemente simplifica la discusión. De ahora en adelante, la consistencia se da por sentada a menos que se mencione explícitamente.

Afiliación

Si x es un miembro de un conjunto A , entonces también se dice que x pertenece a A , o que x está en A . Esto se denota por x ∈ A . El símbolo ∈ es una derivación de la letra griega minúscula épsilon , "ε", introducida por Giuseppe Peano en 1889 y es la primera letra de la palabra ἐστί (que significa "es"). El símbolo ∉ se utiliza a menudo para escribir x ∉ A , que significa "x no está en A".

Igualdad

Dos conjuntos A y B se definen como iguales cuando tienen exactamente los mismos elementos, es decir, si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es un elemento de A (véase axioma de extensionalidad ). Por lo tanto, un conjunto está completamente determinado por sus elementos; la descripción es irrelevante. Por ejemplo, el conjunto con los elementos 2, 3 y 5 es igual al conjunto de todos los números primos menores que 6. Si los conjuntos A y B son iguales, esto se denota simbólicamente como A = B (como es habitual).

Conjunto vacío

El conjunto vacío , denotado como y a veces como , es un conjunto sin ningún miembro. Debido a que un conjunto está determinado completamente por sus elementos, solo puede haber un conjunto vacío. (Véase axioma del conjunto vacío ). ^[12] Aunque el conjunto vacío no tiene miembros, puede ser miembro de otros conjuntos. Por lo tanto , porque el primero no tiene miembros y el segundo tiene un miembro. ^[13] $\varnothing$ ${\estilo de visualización \{\}}$ $\varnothing \neq \{\varnothing \}$

Especificación de conjuntos

La forma más sencilla de describir un conjunto es enumerar sus elementos entre llaves (lo que se conoce como definir un conjunto de manera extensional ). Por lo tanto, ${1, 2}$ denota el conjunto cuyos únicos elementos son1 y2. (Véase el axioma de emparejamiento .) Tenga en cuenta los siguientes puntos:

El orden de los elementos es irrelevante; por ejemplo, ${1, 2} = {2, 1}$ .
La repetición ( multiplicidad ) de elementos es irrelevante; por ejemplo, ${1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2}$ .

(Éstas son consecuencias de la definición de igualdad de la sección anterior.)

Esta notación puede ser abusada informalmente diciendo algo como ${perros}$ para indicar el conjunto de todos los perros, pero este ejemplo normalmente sería leído por los matemáticos como "el conjunto que contiene el único elemento perros ".

Un ejemplo extremo (pero correcto) de esta notación es ${}$ , que denota el conjunto vacío.

La notación ${x : P (x)}$ , o a veces ${x | P (x)}$ , se utiliza para denotar el conjunto que contiene todos los objetos para los que se cumple la condición $P$ (lo que se conoce como definir un conjunto intencionalmente ). Por ejemplo, ${x | x \in R}$ denota el conjunto de números reales , ${x | x tiene cabello rubio}$ denota el conjunto de todo lo que tiene cabello rubio .

Esta notación se denomina notación de construcción de conjuntos (o " notación de comprensión de conjuntos ", en particular en el contexto de la programación funcional ). Algunas variantes de la notación de construcción de conjuntos son:

${x \in A | P (x)}$ denota el conjunto de todos $los x$ que ya son miembros de $A$ de modo que la condición $P$ se cumple para $x$ . Por ejemplo, si $Z$ es el conjunto de los números enteros , entonces ${x \in Z | x es par}$ es el conjunto de todos los números enteros pares . (Véase axioma de especificación .)
${F (x) | x \in A}$ denota el conjunto de todos los objetos obtenidos al poner los miembros del conjunto $A$ en la fórmula $F$ . Por ejemplo, ${2 x | x \in Z}$ es nuevamente el conjunto de todos los números enteros pares. (Véase axioma de reemplazo .)
${F (x) | P (x)}$ es la forma más general de notación de constructor de conjuntos. Por ejemplo, ${x' s owner | x is a dog}$ es el conjunto de todos los dueños de perros.

Subconjuntos

Dados dos conjuntos A y B , A es un subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B . En particular, cada conjunto B es un subconjunto de sí mismo; un subconjunto de B que no es igual a B se denomina subconjunto propio .

Si A es un subconjunto de B , entonces también se puede decir que B es un superconjunto de A , que A está contenido en B o que B contiene a A . En símbolos, $A \subseteq B$ significa que A es un subconjunto de B y $B \supseteq A$ significa que B es un superconjunto de A . Algunos autores usan los símbolos ⊂ y ⊃ para subconjuntos, y otros usan estos símbolos solo para subconjuntos propios . Para mayor claridad, se pueden usar explícitamente los símbolos ⊊ y ⊋ para indicar no igualdad.

A modo de ejemplo, sea R el conjunto de números reales, sea Z el conjunto de números enteros, sea O el conjunto de números enteros impares y sea P el conjunto de presidentes actuales o anteriores de los Estados Unidos . Entonces O es un subconjunto de Z , Z es un subconjunto de R y (por lo tanto) O es un subconjunto de R , donde en todos los casos subconjunto puede leerse incluso como subconjunto propio . No todos los conjuntos son comparables de esta manera. Por ejemplo, no es el caso ni de que R sea un subconjunto de P ni de que P sea un subconjunto de R.

De la definición de igualdad de conjuntos anterior se sigue inmediatamente que, dados dos conjuntos A y B , $A = B$ si y solo si $A \subseteq B$ y $B \subseteq A$ . De hecho, esto se da a menudo como la definición de igualdad. Por lo general, cuando se intenta demostrar que dos conjuntos son iguales, se intenta demostrar estas dos inclusiones. El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto (la afirmación de que todos los elementos del conjunto vacío también son miembros de cualquier conjunto A es vacuamente verdadera ).

El conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado A se denomina conjunto potencia de A y se denota por o ; la " $P$ " a veces está en una fuente de escritura : ⁠ ⁠ . Si el conjunto A tiene n elementos, entonces tendrá elementos. ${\estilo de visualización 2^{A}}$ ${\estilo de visualización P(A)}$ $\wp (A)$ ${\estilo de visualización P(A)}$ $Estilo de visualización 2^{n}}$

Conjuntos universales y complementos absolutos

En ciertos contextos, se puede considerar que todos los conjuntos considerados son subconjuntos de un determinado conjunto universal . Por ejemplo, al investigar las propiedades de los números reales R (y de los subconjuntos de R ), R puede tomarse como el conjunto universal. Un verdadero conjunto universal no está incluido en la teoría de conjuntos estándar (ver Paradojas más abajo), pero sí en algunas teorías de conjuntos no estándar.

Dado un conjunto universal U y un subconjunto A de U , el complemento de A (en U ) se define como

A C := {x \in U | x \notin A}

En otras palabras, A ^C (" A-complemento "; a veces simplemente A' , " A-primo ") es el conjunto de todos los miembros de U que no son miembros de A. Por lo tanto, con R , Z y O definidos como en la sección sobre subconjuntos, si Z es el conjunto universal, entonces O ^C es el conjunto de los números enteros pares, mientras que si R es el conjunto universal, entonces O ^C es el conjunto de todos los números reales que son enteros pares o no son enteros en absoluto.

Uniones, intersecciones y complementos relativos

Dados dos conjuntos A y B , su unión es el conjunto formado por todos los objetos que son elementos de A o de B o de ambos (véase axioma de unión ). Se denota por $A \cup B$ .

La intersección de A y B es el conjunto de todos los objetos que están tanto en A como en B. Se denota por $A \cap B.$

Finalmente, el complemento relativo de B con respecto a A , también conocido como diferencia teórica de conjuntos de A y B , es el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A pero no a B. Se escribe como $A \ B$ o $A - B.$

Simbólicamente, estos son respectivamente

A \cup B := {x | (x \in A) \lor (x \in B)}

;

A \cap B := {x | (x \in A) \land (x \in B)} = {x \in A | x \in B} = {x \in B | x \in A}

;

A \ B  := { x | ( x ∈ A ) ∧ ¬ ( x ∈ B ) } = { x ∈ A | ¬ ( x ∈ B )}

El conjunto B no tiene que ser un subconjunto de A para que $A \ B$ tenga sentido; esta es la diferencia entre el complemento relativo y el complemento absoluto ( $A C = U \ A$ ) de la sección anterior.

Para ilustrar estas ideas, sea A el conjunto de personas zurdas y sea B el conjunto de personas con cabello rubio. Entonces $A \cap B$ es el conjunto de todas las personas zurdas de cabello rubio, mientras que $A \cup B$ es el conjunto de todas las personas que son zurdas o rubias o ambas cosas. $A \ B$ , por otro lado, es el conjunto de todas las personas que son zurdas pero no rubias, mientras que $B \ A$ es el conjunto de todas las personas que tienen cabello rubio pero no son zurdas.

Sea ahora E el conjunto de todos los seres humanos y sea F el conjunto de todos los seres vivos de más de 1000 años. ¿Cuál es $E \cap F$ en este caso? Ningún ser humano vivo tiene más de 1000 años , por lo que $E \cap F$ debe ser el conjunto vacío {}.

Para cualquier conjunto A , el conjunto potencia es un álgebra de Boole bajo las operaciones de unión e intersección. ${\estilo de visualización P(A)}$

Pares ordenados y productos cartesianos

Intuitivamente, un par ordenado es simplemente una colección de dos objetos tales que uno puede distinguirse como el primer elemento y el otro como el segundo elemento , y que tiene la propiedad fundamental de que dos pares ordenados son iguales si y solo si sus primeros elementos son iguales y sus segundos elementos son iguales.

Formalmente, un par ordenado con primera coordenada a y segunda coordenada b , usualmente denotada por ( a , b ), se puede definir como el conjunto $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

De ello se deduce que dos pares ordenados ( a , b ) y ( c , d ) son iguales si y sólo si $a = c$ y $b = d$ .

Alternativamente, un par ordenado puede considerarse formalmente como un conjunto {a,b} con un orden total .

(La notación ( a , b ) también se utiliza para denotar un intervalo abierto en la recta de números reales , pero el contexto debe dejar claro qué significado se pretende. De lo contrario, la notación ] a , b [ puede usarse para denotar el intervalo abierto mientras que ( a , b ) se usa para el par ordenado).

Si A y B son conjuntos, entonces el producto cartesiano (o simplemente producto ) se define como:

A \times B = {(a, b) | a \in A y b \in B}.

Es decir, $A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados cuya primera coordenada es un elemento de A y cuya segunda coordenada es un elemento de B.

Esta definición puede extenderse a un conjunto $A \times B \times C$ de ternas ordenadas y, de manera más general, a conjuntos de n-tuplas ordenadas para cualquier entero positivo n . Incluso es posible definir productos cartesianos infinitos , pero esto requiere una definición más recóndita del producto.

Los productos cartesianos fueron desarrollados por primera vez por René Descartes en el contexto de la geometría analítica . Si R denota el conjunto de todos los números reales , entonces $R 2 := R \times R$ representa el plano euclidiano y $R 3 := R \times R \times R$ representa el espacio euclidiano tridimensional .

Algunos conjuntos importantes

Existen algunos conjuntos ubicuos para los cuales la notación es casi universal. Algunos de ellos se enumeran a continuación. En la lista, a , b y c se refieren a números naturales , y r y s son números reales .

Los números naturales se utilizan para contar. Una N mayúscula en negrita en la pizarra ( ) suele representar este conjunto. $\mathbb {N}$
Los números enteros aparecen como soluciones para x en ecuaciones como x + a = b . Una Z mayúscula en negrita ( ) en la pizarra suele representar este conjunto (del alemán Zahlen , que significa números ). $\mathbb {Z}$
Los números racionales aparecen como soluciones de ecuaciones como a + bx = c . Una Q mayúscula en negrita en la pizarra ( ) suele representar este conjunto (para el cociente , porque R se utiliza para el conjunto de números reales). $\mathbb {Q}$
Los números algebraicos aparecen como soluciones de ecuaciones polinómicas (con coeficientes enteros) y pueden incluir radicales (incluidos ) y otros números irracionales . Una Q con una línea superior ( ) suele representar este conjunto. La línea superior denota la operación de cierre algebraico . $i={\sqrt {-1\,}}$ ${\overline {\mathbb {Q}}}$
Los números reales representan la "recta real" e incluyen todos los números que pueden aproximarse mediante números racionales. Estos números pueden ser racionales o algebraicos, pero también pueden ser números trascendentales , que no pueden aparecer como soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Una R mayúscula en negrita en la pizarra ( ) suele representar este conjunto. $\mathbb {R}$
Los números complejos son sumas de un número real y uno imaginario: . Aquí, o (o ambos) pueden ser cero; por lo tanto, el conjunto de números reales y el conjunto de números estrictamente imaginarios son subconjuntos del conjunto de números complejos, que forman un cierre algebraico para el conjunto de números reales, lo que significa que cada polinomio con coeficientes en tiene al menos una raíz en este conjunto. Una C mayúscula en negrita de pizarra ( ) a menudo representa este conjunto. Tenga en cuenta que, dado que un número se puede identificar con un punto en el plano, es básicamente "lo mismo" que el producto cartesiano ("lo mismo" significa que cualquier punto en uno determina un punto único en el otro y para el resultado de los cálculos, no importa cuál se use para el cálculo, siempre que la regla de multiplicación sea apropiada para ). ${\estilo de visualización r+s\,i}$ ${\estilo de visualización r}$ ${\estilo de visualización s}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ ${\estilo de visualización r+s\,i}$ ${\estilo de visualización (r,s)}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R} \veces \mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Paradojas en la teoría de conjuntos temprana

El principio de formación irrestricta de conjuntos, denominado esquema axiomático de comprensión irrestricta ,

P

es una propiedad, entonces existe un conjunto

Y = {x : P (x)}

, ^[14]

es la fuente de varias paradojas que aparecieron tempranamente:

$Y = {x | x es un ordinal}$ condujo, en el año 1897, a la paradoja de Burali-Forti , la primera antinomia publicada .
$Y = {x | x es un cardinal}$ produjo la paradoja de Cantor en 1897.^[8]
$Y = {x | {} = {}}$ produjo la segunda antinomia de Cantor en el año 1899.^[10] Aquí la propiedad $P$ es verdadera para todo $x$ , cualquiera quesea $x , por lo que$ $Y$ sería un conjunto universal , que contiene todo.
$Y = {x | x \notin x}$ , es decir, el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos, dio lugar a la paradoja de Russell en 1902.

Si el esquema axiomático de comprensión irrestricta se debilita al esquema axiomático de especificación o al esquema axiomático de separación ,

P

es una propiedad, entonces para cualquier conjunto

X

existe un conjunto

Y = {x \in X : P (x)}

, ^[14]

Entonces desaparecen todas las paradojas anteriores. ^[14] Hay un corolario. Con el esquema axiomático de separación como axioma de la teoría, se sigue, como teorema de la teoría:

El conjunto de todos los conjuntos no existe.

O, más espectacularmente (la frase de Halmos ^[15] ): No hay universo . Demostración : supongamos que existe y lo llamamos $U.$ Ahora apliquemos el esquema axiomático de separación con $X = U$ y para $P (x)$ usemos $x \notin x$ . Esto nos lleva de nuevo a la paradoja de Russell. Por lo tanto, $U$ no puede existir en esta teoría. ^[14]

Relacionado con las construcciones anteriores está la formación del conjunto

$Y = {x | (x \in x) \to {} \neq {}}$ ,

donde la afirmación que sigue a la implicación es ciertamente falsa. De la definición de $Y$ , utilizando las reglas de inferencia habituales (y algunas reflexiones posteriores al leer la prueba en el artículo vinculado a continuación), se sigue que $Y \in Y \to {} \neq {}$ y que $Y \in Y$ se cumplen, por lo tanto ${} \neq {}$ . Esta es la paradoja de Curry .

Lo problemático (quizás sorprendentemente) no es la posibilidad de $x \in x$ . Es nuevamente el esquema axiomático de comprensión irrestricta que permite $(x \in x) \to {} \neq {}$ para $P (x)$ . Con el esquema axiomático de especificación en lugar de comprensión irrestricta, la conclusión $Y \in Y$ no se cumple y, por lo tanto, ${} \neq {}$ no es una consecuencia lógica.

Sin embargo, la posibilidad de $x \in x$ a menudo se elimina explícitamente ^[16] o, por ejemplo en ZFC, implícitamente ^[17], al exigir que se cumpla el axioma de regularidad . ^[17] Una consecuencia de esto es

No existe ningún conjunto

X

para el cual

X \in X

o, en otras palabras, ningún conjunto es un elemento de sí mismo. ^[18]

El esquema axiomático de separación es simplemente demasiado débil (mientras que la comprensión irrestricta es un axioma muy fuerte, demasiado fuerte para la teoría de conjuntos) para desarrollar la teoría de conjuntos con sus operaciones y construcciones habituales descritas anteriormente. ^[14] El axioma de regularidad también es de naturaleza restrictiva. Por lo tanto, uno se ve obligado a formular otros axiomas para garantizar la existencia de suficientes conjuntos para formar una teoría de conjuntos. Algunos de ellos se han descrito informalmente anteriormente y muchos otros son posibles. No todos los axiomas concebibles se pueden combinar libremente en teorías consistentes. Por ejemplo, el axioma de elección de ZFC es incompatible con el concebible "todo conjunto de números reales es medible según Lebesgue ". El primero implica que el segundo es falso.

Véase también

Notas

^ "Usos más antiguos conocidos de algunas palabras de las matemáticas (S)". 14 de abril de 2020.
^ Halmos 1960, Teoría ingenua de conjuntos .
^ Jeff Miller escribe que la teoría de conjuntos ingenua (en contraposición a la teoría de conjuntos axiomática) se utilizó ocasionalmente en la década de 1940 y se convirtió en un término establecido en la década de 1950. Aparece en la reseña de Hermann Weyl sobre PA Schilpp, ed. (1946). "La filosofía de Bertrand Russell". American Mathematical Monthly . 53 (4): 210,y en una reseña de Laszlo Kalmar ( Laszlo Kalmar (1946). "La paradoja de Kleene y Rosser". Journal of Symbolic Logic . 11 (4): 136.). ^[1] El término se popularizó posteriormente en un libro de Paul Halmos . ^[2]
^ Mac Lane, Saunders (1971), "Álgebra categórica y fundamentos de la teoría de conjuntos", Teoría de conjuntos axiomática (Proc. Sympos. Pure Math., vol. XIII, parte I, Univ. California, Los Ángeles, Calif., 1967) , Providence, RI: Amer. Math. Soc., págs. 231–240, MR 0282791"Los matemáticos en activo solían pensar en términos de una teoría de conjuntos ingenua (probablemente una más o menos equivalente a ZF)... un requisito práctico [de cualquier nuevo sistema fundacional] podría ser que este sistema pudiera ser utilizado "ingenuamente" por matemáticos no sofisticados en investigación fundacional" (p. 236).
^ Cantor 1874.
^ Frege 1893 En el Volumen 2, Jena 1903. pp. 253-261 Frege analiza la antiononomía en el epílogo.
^ Peano 1889 Axioma 52, capítulo IV produce antinomias.
^ ab Carta de Cantor a David Hilbert el 26 de septiembre de 1897, Meschkowski & Nilson 1991 p. 388.
^ Carta de Cantor a Richard Dedekind el 3 de agosto de 1899, Meschkowski & Nilson 1991 p. 408.
^ ab Cartas de Cantor a Richard Dedekind del 3 de agosto de 1899 y del 30 de agosto de 1899, Zermelo 1932 p. 448 (System aller denkbaren Klassen) y Meschkowski & Nilson 1991 p. 407. (No existe un conjunto de todos los conjuntos).
^ FR Drake, Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales (1974). ISBN 0 444 10535 2.
^ Halmos 1974, pág. 9.
^ Halmos 1974, pág. 10.
^ abcde Jech 2002, pág. 4.
^ Halmos 1974, Capítulo 2.
^ Halmos 1974, Véase la discusión sobre la paradoja de Russell.
^ desde Jech 2002, Sección 1.6.
^ Jech 2002, pág. 61.

Referencias

Bourbaki, N. , Elementos de la historia de las matemáticas , John Meldrum (trad.), Springer-Verlag, Berlín, Alemania, 1994.
Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen", J. Reine Angew. Matemáticas. , 1874 (77): 258–262, doi :10.1515/crll.1874.77.258, S2CID 124035379; ver también la versión pdf
Devlin, KJ , La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea , 2.ª edición, Springer-Verlag, Nueva York, NY, 1993.
María J. Frápolli|Frápolli, María J., 1991, "¿Es la teoría de conjuntos cantoriana una concepción iterativa de conjunto?". Lógica Moderna , v. 1 n. 4, 1991, 302–318.
Frege, Gottlob (1893), Grundgesetze der Arithmetik , vol. 1, Jena{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
Halmos, Paul (1960). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company.
- Halmos, Paul (1974). Teoría de conjuntos ingenua (edición reimpresa). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
- Halmos, Paul (2011). Teoría de conjuntos ingenua (edición de bolsillo). Mansfield Centre, CN: D. Van Nostrand Company. ISBN 978-1-61427-131-4.
Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) . Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kelley, JL , Topología general , Van Nostrand Reinhold, Nueva York, NY, 1955.
van Heijenoort, J. , De Frege a Gödel, un libro de fuentes sobre lógica matemática, 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, 1967. Reimpreso con correcciones, 1977. ISBN 0-674-32449-8 .
Meschkowski, Herbert [en alemán] ; Nilson, Winfried (1991), Georg Cantor: Briefe. Editado por los autores. , Berlín: Springer, ISBN 3-540-50621-7
Peano, Giuseppe (1889), Arithmetices Principies nova Methoda exposita , Turín{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
Zermelo, Ernst (1932), Georg Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. Mit erläuternden Anmerkungen sowie mit Ergänzungen aus dem Briefwechsel Cantor-Dedekind. Editado por el autor. , Berlín: Springer

Enlaces externos

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