Este artículo contiene una discusión sobre las paradojas de la teoría de conjuntos . Como ocurre con la mayoría de las paradojas matemáticas , generalmente revelan resultados matemáticos sorprendentes y contraintuitivos, en lugar de contradicciones lógicas reales dentro de la teoría axiomática de conjuntos moderna .
La teoría de conjuntos tal como la concibió Georg Cantor supone la existencia de conjuntos infinitos. Como esta suposición no puede demostrarse a partir de primeros principios, se ha introducido en la teoría axiomática de conjuntos mediante el axioma del infinito , que afirma la existencia del conjunto N de números naturales. Todo conjunto infinito que puede enumerarse mediante números naturales tiene el mismo tamaño (cardinalidad) que N y se dice que es contable. Ejemplos de conjuntos numerables infinitos son los números naturales, los números pares, los números primos y también todos los números racionales , es decir, las fracciones. Estos conjuntos tienen en común el número cardinal | norte | = (aleph-nada), un número mayor que todo número natural.
Los números cardinales se pueden definir de la siguiente manera. Defina dos conjuntos para que tengan el mismo tamaño por: existe una biyección entre los dos conjuntos (una correspondencia uno a uno entre los elementos). Entonces un número cardinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos del mismo tamaño. Tener el mismo tamaño es una relación de equivalencia , y los números cardinales son las clases de equivalencia .
Además de la cardinalidad, que describe el tamaño de un conjunto, los conjuntos ordenados también forman parte de la teoría de conjuntos. El axioma de elección garantiza que todo conjunto puede estar bien ordenado , lo que significa que se puede imponer un orden total a sus elementos de modo que cada subconjunto no vacío tenga un primer elemento con respecto a ese orden. El orden de un conjunto bien ordenado se describe mediante un número ordinal . Por ejemplo, 3 es el número ordinal del conjunto {0, 1, 2} con el orden habitual 0 < 1 < 2; y ω es el número ordinal del conjunto de todos los números naturales ordenados de la forma habitual. Despreciando el orden nos queda el número cardinal | norte | = |ω| = .
Los números ordinales se pueden definir con el mismo método que se utiliza para los números cardinales. Defina dos conjuntos bien ordenados para que tengan el mismo tipo de orden mediante: existe una biyección entre los dos conjuntos respetando el orden: los elementos más pequeños se asignan a elementos más pequeños. Entonces un número ordinal es, por definición, una clase que consta de todos los conjuntos bien ordenados del mismo tipo de orden. Tener el mismo tipo de orden es una relación de equivalencia en la clase de conjuntos bien ordenados, y los números ordinales son las clases de equivalencia.
Dos conjuntos del mismo tipo de orden tienen la misma cardinalidad. Lo contrario no es cierto en general para conjuntos infinitos: es posible imponer diferentes ordenamientos al conjunto de números naturales que dan lugar a diferentes números ordinales.
Hay un orden natural en los ordinales, que en sí mismo es un buen ordenamiento. Dado cualquier ordinal α, se puede considerar el conjunto de todos los ordinales menores que α. Este conjunto resulta tener número ordinal α. Esta observación se utiliza para una forma diferente de introducir los ordinales, en la que un ordinal se equipara con el conjunto de todos los ordinales más pequeños. Esta forma de número ordinal es, por tanto, un representante canónico de la forma anterior de clase de equivalencia.
Al formar todos los subconjuntos de un conjunto S (todas las posibles elecciones de sus elementos), obtenemos el conjunto potencia P ( S ). Georg Cantor demostró que el conjunto potencia es siempre mayor que el conjunto, es decir, | P ( S )| > | S |. Un caso especial del teorema de Cantor demuestra que el conjunto de todos los números reales R no puede enumerarse mediante números naturales. R es incontable: | R | > | norte |.
En lugar de depender de descripciones ambiguas como "aquello que no puede ampliarse" o "aumentar sin límites", la teoría de conjuntos proporciona definiciones del término conjunto infinito para dar un significado inequívoco a frases como "el conjunto de todos los números naturales es infinito". . Al igual que para los conjuntos finitos , la teoría hace definiciones adicionales que nos permiten comparar consistentemente dos conjuntos infinitos en cuanto a si un conjunto es "mayor que", "menor que" o "del mismo tamaño que" el otro. Pero no todas las intuiciones relativas al tamaño de conjuntos finitos se aplican al tamaño de conjuntos infinitos, lo que lleva a varios resultados aparentemente paradójicos en relación con la enumeración, el tamaño, la medida y el orden.
Antes de que se introdujera la teoría de conjuntos, la noción del tamaño de un conjunto había sido problemática. Había sido discutido por Galileo Galilei y Bernard Bolzano , entre otros. ¿Hay tantos números naturales como cuadrados de números naturales medidos por el método de enumeración?
Definiendo la noción de tamaño de un conjunto en términos de su cardinalidad , la cuestión puede resolverse. Dado que existe una biyección entre los dos conjuntos involucrados, esto se deriva directamente de la definición de cardinalidad de un conjunto.
Véase la paradoja del Gran Hotel de Hilbert para obtener más información sobre las paradojas de la enumeración.
"Lo veo pero no lo creo", escribió Cantor a Richard Dedekind tras comprobar que el conjunto de puntos de un cuadrado tiene la misma cardinalidad que la de los puntos de sólo una arista del cuadrado: la cardinalidad del continuo .
Esto demuestra que el "tamaño" de los conjuntos definido únicamente por la cardinalidad no es la única forma útil de comparar conjuntos. La teoría de la medida proporciona una teoría del tamaño más matizada que se ajusta a nuestra intuición de que la longitud y el área son medidas de tamaño incompatibles.
La evidencia sugiere fuertemente que Cantor tenía bastante confianza en el resultado en sí y que su comentario a Dedekind se refiere más bien a sus preocupaciones, entonces aún persistentes, sobre la validez de su prueba. [1] Sin embargo, la observación de Cantor también serviría muy bien para expresar la sorpresa que tantos matemáticos después de él han experimentado al encontrar por primera vez un resultado tan contrario a la intuición.
En 1904 Ernst Zermelo demostró mediante el axioma de elección (que fue introducido por este motivo) que todo conjunto puede estar bien ordenado. En 1963 Paul J. Cohen demostró que en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección no es posible demostrar la existencia de un buen ordenamiento de los números reales.
Sin embargo, la capacidad de ordenar bien cualquier conjunto permite realizar ciertas construcciones que se han denominado paradójicas. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski , un teorema ampliamente considerado no intuitivo. Afirma que es posible descomponer una bola de un radio fijo en un número finito de piezas y luego mover y volver a ensamblar esas piezas mediante traslaciones y rotaciones ordinarias (sin escala) para obtener dos copias de la copia original. La construcción de estas piezas requiere del axioma de elección; las piezas no son regiones simples de la pelota, sino subconjuntos complicados .
En la teoría de conjuntos, no se considera que un conjunto infinito sea creado mediante algún proceso matemático como "agregar un elemento" que luego se lleva a cabo "un número infinito de veces". En cambio, se dice que un conjunto infinito particular (como el conjunto de todos los números naturales ) ya existe, "por decreto", como una suposición o un axioma. Dado este conjunto infinito, se demuestra que también existen otros conjuntos infinitos, como consecuencia lógica. Pero sigue siendo una cuestión filosófica natural contemplar alguna acción física que en realidad se completa después de un número infinito de pasos discretos; y la interpretación de esta cuestión utilizando la teoría de conjuntos da lugar a las paradojas de la supertarea.
Tristram Shandy , el héroe de una novela de Laurence Sterne , escribe su autobiografía con tal esmero que le lleva un año relatar los acontecimientos de un día. Si es mortal, nunca podrá terminar; pero si viviera para siempre, ninguna parte de su diario quedaría sin escribir, pues a cada día de su vida correspondería un año dedicado a la descripción de ese día.
Una versión ampliada de este tipo de paradoja traslada el fin infinitamente remoto a un tiempo finito. Llene un depósito enorme con las bolas enumeradas con los números del 1 al 10 y retire la bola número 1. Luego agregue las bolas enumeradas con los números del 11 al 20 y retire la número 2. Continúe agregando bolas enumeradas con los números 10 n - 9 a 10 n y para eliminar el número de bola n para todos los números naturales n = 3, 4, 5, .... Deje que la primera transacción dure media hora, deje que la segunda transacción dure un cuarto de hora, y así sucesivamente, de modo que todas las transacciones finalicen después una hora. Evidentemente el conjunto de bolas en el depósito aumenta sin límite. Sin embargo, después de una hora el depósito está vacío porque para cada bola se conoce el tiempo de extracción.
La paradoja se ve agravada aún más por la importancia de la secuencia de eliminación. Si las bolas no se retiran en la secuencia 1, 2, 3, ... sino en la secuencia 1, 11, 21, ... después de una hora, infinitas bolas pueblan el depósito, aunque se haya conservado la misma cantidad de material que antes. sido movido.
A pesar de toda su utilidad para resolver cuestiones relativas a conjuntos infinitos, la teoría ingenua de conjuntos tiene algunos defectos fatales. En particular, es presa de paradojas lógicas como las expuestas por la paradoja de Russell . El descubrimiento de estas paradojas reveló que no se puede decir que todos los conjuntos que pueden describirse en el lenguaje de la ingenua teoría de conjuntos existen sin crear una contradicción. El siglo XX vio una resolución a estas paradojas en el desarrollo de las diversas axiomatizaciones de teorías de conjuntos como ZFC y NBG de uso común en la actualidad. Sin embargo, la brecha entre el lenguaje muy formalizado y simbólico de estas teorías y nuestro típico uso informal del lenguaje matemático da como resultado varias situaciones paradójicas, así como la cuestión filosófica de qué es exactamente de lo que tales sistemas formales realmente proponen hablar.
En 1897, el matemático italiano Cesare Burali-Forti descubrió que no existe ningún conjunto que contenga todos los números ordinales. Como cada número ordinal está definido por un conjunto de números ordinales más pequeños, el conjunto bien ordenado Ω de todos los números ordinales (si existe) se ajusta a la definición y es en sí mismo un ordinal. Por otro lado, ningún número ordinal puede contenerse a sí mismo, por lo que Ω no puede ser un ordinal. Por tanto, el conjunto de todos los números ordinales no puede existir.
A finales del siglo XIX, Cantor era consciente de la inexistencia del conjunto de todos los números cardinales y del conjunto de todos los números ordinales. En cartas a David Hilbert y Richard Dedekind escribió sobre conjuntos inconsistentes, cuyos elementos no pueden considerarse todos juntos, y utilizó este resultado para demostrar que todo conjunto consistente tiene un número cardinal.
Después de todo esto, la versión de la paradoja del "conjunto de todos los conjuntos" concebida por Bertrand Russell en 1903 provocó una grave crisis en la teoría de conjuntos. Russell reconoció que la afirmación x = x es verdadera para todo conjunto y, por tanto, el conjunto de todos los conjuntos está definido por { x | x = x }. En 1906 construyó varios conjuntos paradójicos, el más famoso de los cuales es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. El propio Russell explicó esta idea abstracta mediante algunas imágenes muy concretas. Un ejemplo, conocido como la paradoja del barbero , afirma: El barbero que afeita a todos y sólo a los hombres que no se afeitan tiene que afeitarse solo si no se afeita.
Existen estrechas similitudes entre la paradoja de Russell en la teoría de conjuntos y la paradoja de Grelling-Nelson , que demuestra una paradoja en el lenguaje natural.
En 1905, el matemático húngaro Julius König publicó una paradoja basada en el hecho de que sólo hay un número contable de definiciones finitas. Si imaginamos los números reales como un conjunto bien ordenado, aquellos números reales que pueden definirse de forma finita forman un subconjunto. Por tanto, en este buen orden debería haber un primer número real que no sea finitamente definible. Esto es paradójico, porque este número real acaba de ser definido de forma finita en la última oración. Esto conduce a una contradicción en la ingenua teoría de conjuntos .
Esta paradoja se evita en la teoría de conjuntos axiomática. Aunque es posible representar una proposición sobre un conjunto como un conjunto, mediante un sistema de códigos conocidos como números de Gödel , no existe ninguna fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos que se cumpla exactamente cuando hay un código para una proposición finita sobre un conjunto. es un conjunto y se cumple para . Este resultado se conoce como teorema de indefinibilidad de Tarski ; se aplica a una amplia clase de sistemas formales que incluyen todas las axiomatizaciones de la teoría de conjuntos comúnmente estudiadas.
Ese mismo año, el matemático francés Jules Richard utilizó una variante del método diagonal de Cantor para obtener otra contradicción en la ingenua teoría de conjuntos. Considere el conjunto A de todas las aglomeraciones finitas de palabras. El conjunto E de todas las definiciones finitas de números reales es un subconjunto de A. Como A es contable, también lo es E. Sea p el n- ésimo decimal del n -ésimo número real definido por el conjunto E ; formamos un número N que tiene cero para la parte integral y p + 1 para el enésimo decimal si p no es igual a 8 o 9, y unidad si p es igual a 8 o 9. Este número N no está definido por establezca E porque difiere de cualquier número real finitamente definido, es decir, del enésimo número por el enésimo dígito. Pero N ha sido definido por un número finito de palabras en este párrafo. Por tanto, debería estar en el conjunto E . Eso es una contradicción.
Al igual que con la paradoja de König, esta paradoja no puede formalizarse en la teoría de conjuntos axiomática porque requiere la capacidad de decir si una descripción se aplica a un conjunto particular (o, de manera equivalente, decir si una fórmula es en realidad la definición de un conjunto único).
Basado en el trabajo del matemático alemán Leopold Löwenheim (1915), el lógico noruego Thoralf Skolem demostró en 1922 que toda teoría consistente del cálculo de predicados de primer orden , como la teoría de conjuntos, tiene como máximo un modelo contable . Sin embargo, el teorema de Cantor demuestra que existen conjuntos incontables. La raíz de esta aparente paradoja es que la contabilidad o no contabilidad de un conjunto no siempre es absoluta , sino que puede depender del modelo en el que se mide la cardinalidad. Es posible que un conjunto sea incontable en un modelo de teoría de conjuntos pero contable en un modelo más grande (porque las biyecciones que establecen la contabilización están en el modelo más grande pero no en el más pequeño).
