En lógica matemática , se dice que una fórmula es absoluta para alguna clase de estructuras (también llamadas modelos), si tiene el mismo valor de verdad en cada uno de los miembros de esa clase. También se puede hablar de absolutismo de una fórmula entre dos estructuras, si es absoluta para alguna clase que las contiene a ambas. [ aclaración necesaria ] Los teoremas sobre el carácter absoluto suelen establecer relaciones entre el carácter absoluto de las fórmulas y su forma sintáctica.
Existen dos formas más débiles de absolutismo parcial. Si la verdad de una fórmula en cada subestructura N de una estructura M se sigue de su verdad en M , la fórmula es absoluta hacia abajo . Si la verdad de una fórmula en una estructura N implica su verdad en cada estructura M que extiende N , la fórmula es absoluta hacia arriba .
Las cuestiones de absolutismo son particularmente importantes en la teoría de conjuntos y la teoría de modelos , campos en los que se consideran múltiples estructuras simultáneamente. En la teoría de modelos, varios resultados y definiciones básicos están motivados por el absolutismo. En la teoría de conjuntos, la cuestión de qué propiedades de los conjuntos son absolutas está bien estudiada. El teorema de absolutismo de Shoenfield, debido a Joseph Shoenfield (1961), establece el absolutismo de una gran clase de fórmulas entre un modelo de teoría de conjuntos y su universo construible , con importantes consecuencias metodológicas. También se estudia el absolutismo de grandes axiomas cardinales , con resultados positivos y negativos conocidos.
En la teoría de modelos , existen varios resultados y definiciones generales relacionados con la absolutidad. Un ejemplo fundamental de absolutidad descendente es que las oraciones universales (aquellas con solo cuantificadores universales) que son verdaderas en una estructura también lo son en cada subestructura de la estructura original. Por el contrario, las oraciones existenciales son absolutas ascendentes desde una estructura a cualquier estructura que la contenga.
Se define que dos estructuras son elementalmente equivalentes si coinciden en el valor de verdad de todas las oraciones en su lenguaje compartido, es decir, si todas las oraciones en su lenguaje son absolutas entre las dos estructuras. Se define que una teoría es modelo completo si, siempre que M y N sean modelos de la teoría y M sea una subestructura de N , entonces M sea una subestructura elemental de N .
Una parte importante de la teoría de conjuntos moderna implica el estudio de diferentes modelos de ZF y ZFC . Es crucial para el estudio de dichos modelos saber qué propiedades de un conjunto son absolutas para diferentes modelos. Es común comenzar con un modelo fijo de teoría de conjuntos y solo considerar otros modelos transitivos que contengan los mismos ordinales que el modelo fijo.
Ciertas propiedades son absolutas para todos los modelos transitivos de la teoría de conjuntos, incluidas las siguientes (véase Jech (2003 sec. I.12) y Kunen (1980 sec. IV.3)).
Otras propiedades no son absolutas:
La paradoja de Skolem es la aparente contradicción de que, por un lado, el conjunto de números reales es incontable (y esto es demostrable a partir de ZFC, o incluso a partir de un pequeño subsistema finito ZFC' de ZFC), mientras que, por otro lado, hay modelos transitivos contables de ZFC' (esto es demostrable en ZFC), y el conjunto de números reales en tal modelo será un conjunto contable. La paradoja se puede resolver observando que la contabilizabilidad no es absoluta para los submodelos de un modelo particular de ZFC. Es posible que un conjunto X sea contable en un modelo de teoría de conjuntos pero incontable en un submodelo que contenga X , porque el submodelo puede no contener biyección entre X y ω, mientras que la definición de contabilizabilidad es la existencia de tal biyección. El teorema de Löwenheim–Skolem , cuando se aplica a ZFC, muestra que esta situación ocurre.
El teorema de absolutismo de Shoenfield muestra que las oraciones y en la jerarquía analítica son absolutas entre un modelo V de ZF y el universo construible L del modelo, cuando se interpretan como afirmaciones sobre los números naturales en cada modelo. El teorema se puede relativizar para permitir que la oración use conjuntos de números naturales de V como parámetros, en cuyo caso L debe reemplazarse por el submodelo más pequeño que contenga esos parámetros y todos los ordinales. El teorema tiene corolarios de que las oraciones son absolutas hacia arriba (si tal oración se cumple en L, entonces se cumple en V ) [1] y las oraciones son absolutas hacia abajo (si se cumplen en V, entonces se cumplen en L ). Debido a que dos modelos transitivos cualesquiera de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales tienen el mismo universo construible, el teorema de Shoenfield muestra que dos de esos modelos deben estar de acuerdo sobre la verdad de todas las oraciones.
Una consecuencia del teorema de Shoenfield se relaciona con el axioma de elección . Gödel demostró que el universo construible L siempre satisface ZFC, incluido el axioma de elección, incluso cuando solo se supone que V satisface ZF. El teorema de Shoenfield muestra que si hay un modelo de ZF en el que una afirmación dada φ es falsa, entonces φ también es falsa en el universo construible de ese modelo. En contraposición, esto significa que si ZFC prueba una oración, entonces esa oración también es demostrable en ZF. El mismo argumento se puede aplicar a cualquier otro principio que siempre se cumpla en el universo construible, como el principio combinatorio ◊ . Incluso si estos principios son independientes de ZF, cada una de sus consecuencias ya es demostrable en ZF. En particular, esto incluye cualquiera de sus consecuencias que se pueda expresar en el lenguaje (de primer orden) de la aritmética de Peano .
El teorema de Shoenfield también muestra que hay límites a los resultados de independencia que se pueden obtener al forzar . En particular, cualquier oración de la aritmética de Peano es absoluta para los modelos transitivos de la teoría de conjuntos con los mismos ordinales. Por lo tanto, no es posible usar el forzamiento para cambiar el valor de verdad de las oraciones aritméticas, ya que el forzamiento no cambia los ordinales del modelo al que se aplica. Muchos problemas abiertos famosos, como la hipótesis de Riemann y el problema P = NP , se pueden expresar como oraciones (u oraciones de menor complejidad) y, por lo tanto, no se puede demostrar que sean independientes de ZFC mediante el forzamiento.
Hay ciertos cardinales grandes que no pueden existir en el universo construible ( L ) de ningún modelo de teoría de conjuntos. Sin embargo, el universo construible contiene todos los números ordinales que contiene el modelo original de teoría de conjuntos. Esta "paradoja" se puede resolver observando que las propiedades definitorias de algunos cardinales grandes no son absolutas para los submodelos.
Un ejemplo de un axioma de cardinal grande no absoluto es el de los cardinales mensurables : para que un ordinal sea un cardinal mensurable debe existir otro conjunto (la medida) que satisfaga ciertas propiedades. Se puede demostrar que ninguna medida de ese tipo es construible.
