La paradoja de Banach-Tarski es un libro de matemáticas sobre la paradoja de Banach-Tarski , el hecho de que una bola unitaria puede dividirse en un número finito de subconjuntos y volver a ensamblarse para formar dos bolas unitarias. Fue escrito por Stan Wagon y publicado en 1985 por Cambridge University Press como volumen 24 de su serie de libros Encyclopedia of Mathematics and its Applications. [1] [2] [3] [4] [5] Una segunda impresión en 1986 agregó dos páginas como apéndice, y una impresión de bolsillo de 1993 agregó un nuevo prefacio. [6] En 2016, Cambridge University Press publicó una segunda edición, agregando a Grzegorz Tomkowicz como coautor, como volumen 163 de la misma serie. [7] [8] El Comité de Lista Básica de Bibliotecas de la Asociación Matemática de Estados Unidos ha recomendado su inclusión en las bibliotecas de matemáticas de pregrado. [8]
La paradoja de Banach-Tarski, demostrada por Stefan Banach y Alfred Tarski en 1924, establece que es posible dividir una esfera tridimensional en un número finito de piezas y volver a ensamblarlas en dos esferas tridimensionales, una esfera única de área mayor o menor, o cualquier otro conjunto acotado con un interior no vacío . Aunque es un teorema matemático, se le llama paradoja porque es muy contraintuitivo; en el prefacio del libro, Jan Mycielski lo llama el resultado más sorprendente en matemáticas. Está estrechamente relacionado con la teoría de la medida y la inexistencia de una medida en todos los subconjuntos del espacio tridimensional, invariante bajo todas las congruencias del espacio, y con la teoría de conjuntos paradójicos en grupos libres y la representación de estos grupos por rotaciones tridimensionales , utilizadas en la prueba de la paradoja. El tema del libro es la paradoja de Banach-Tarski, su prueba y los muchos resultados relacionados que se han conocido desde entonces. [3] [5]
El libro está dividido en dos partes, la primera sobre la existencia de descomposiciones paradójicas y la segunda sobre las condiciones que impiden su existencia. [1] [7] Después de dos capítulos de material de fondo, la primera parte demuestra la paradoja de Banach-Tarski en sí, considera espacios de dimensiones superiores y geometría no euclidiana , estudia el número de piezas necesarias para una descomposición paradójica y encuentra resultados análogos a la paradoja de Banach-Tarski para conjuntos unidimensionales y bidimensionales. La segunda parte incluye un teorema relacionado de Tarski que dice que las medidas finitamente aditivas invariantes de congruencia impiden la existencia de descomposiciones paradójicas, un teorema que dice que la medida de Lebesgue es la única medida de este tipo en los conjuntos medibles de Lebesgue, material sobre grupos amena bles , conexiones con el axioma de elección y el teorema de Hahn-Banach . [3] [7] Tres apéndices describen los grupos euclidianos , la medida de Jordan y una colección de problemas abiertos. [1]
La segunda edición añade material sobre varios resultados recientes en esta área, en muchos casos inspirados en la primera edición del libro. Trevor Wilson demostró la existencia de un movimiento continuo desde el conjunto de una bola al conjunto de dos bolas, manteniendo los conjuntos de la partición disjuntos en todo momento; esta cuestión había sido planteada por de Groot en la primera edición del libro. [7] [9] Miklós Laczkovich resolvió el problema de cuadratura del círculo de Tarski , pidiendo una disección de un disco en un cuadrado de la misma área, en 1990. [7] [8] [10] Y Edward Marczewski había preguntado en 1930 si la paradoja de Banach-Tarski podía lograrse utilizando solo conjuntos de Baire ; una respuesta positiva fue encontrada en 1994 por Randall Dougherty y Matthew Foreman . [8] [11]
El libro está escrito a un nivel accesible para estudiantes de posgrado en matemáticas, pero ofrece un panorama de la investigación en esta área que también debería ser útil para investigadores más avanzados. [3] Las primeras partes del libro, incluida su prueba de la paradoja de Banach-Tarski, también deberían ser legibles para matemáticos de grado. [4]
El crítico Włodzimierz Bzyl escribe que "este hermoso libro está escrito con cuidado y sin duda vale la pena leerlo". [2] El crítico John J. Watkins escribe que la primera edición del libro "se convirtió en el texto clásico sobre matemáticas paradójicas" y que la segunda edición "supera cualquier expectativa posible que pudiera haber tenido para ampliar un libro que ya apreciaba profundamente". [8]
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