Conjunto paradójico

La paradoja de Banach-Tarski es que una bola puede descomponerse en un número finito de conjuntos de puntos y volver a ensamblarse en dos bolas idénticas a la original.

En teoría de conjuntos , un conjunto paradójico es un conjunto que tiene una descomposición paradójica . Una descomposición paradójica de un conjunto son dos familias de subconjuntos disjuntos, junto con acciones grupales apropiadas que actúan sobre algún universo (del cual el conjunto en cuestión es un subconjunto), de modo que cada partición se puede mapear de nuevo sobre el conjunto completo utilizando solo un número finito de funciones distintas (o composiciones de las mismas) para lograr la asignación. Un conjunto que admite tal descomposición paradójica donde las acciones pertenecen a un grupo se llama -paradójico o paradójico con respecto a . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Los conjuntos paradójicos existen como consecuencia del Axioma de Infinito . Admitir clases infinitas como conjuntos es suficiente para permitir los conjuntos paradójicos.

Definición

Supóngase que un grupo actúa sobre un conjunto . Entonces es -paradójico si existen algunos subconjuntos disjuntos y algunos elementos del grupo tales que: ^[1] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{1},...,A_{n},B_{1},...,B_{m}\subseteq A}$ ${\displaystyle g_{1},...,g_{n},h_{1},...,h_{m}\in G}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{n}g_{i}(A_{i})}$y ${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{m}h_{i}(B_{i})}$

Ejemplos

Grupo libre

El grupo libre F en dos generadores a,b tiene la descomposición donde e es la palabra identidad y es la colección de todas las palabras (reducidas) que comienzan con la letra i . Esta es una descomposición paradójica porque ${\displaystyle F=\{e\}\cup X(a)\cup X(a^{-1})\cup X(b)\cup X(b^{-1})}$ ${\displaystyle X(i)}$ ${\displaystyle X(a)\cup aX(a^{-1})=F=X(b)\cup bX(b^{-1}).}$

Paradoja de Banach-Tarski

El ejemplo más famoso de conjuntos paradójicos es la paradoja de Banach-Tarski , que divide la esfera en conjuntos paradójicos para el grupo ortogonal especial . Este resultado depende del axioma de elección .

Véase también

• Patológico (matemáticas)

Referencias

1. Carro, Stan; Tomkowicz, Grzegorz (2016). La paradoja de Banach-Tarski (Segunda ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-04259-9.