En teoría de conjuntos , un semiconjunto es una clase propia que es una subclase de un conjunto . En los fundamentos típicos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , los semiconjuntos son imposibles debido al esquema axiomático de especificación .
La teoría de semiconjuntos fue propuesta y desarrollada por los matemáticos checos Petr Vopěnka y Petr Hájek (1972). Se basa en una modificación de la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel ; en la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel estándar, la existencia de semiconjuntos está excluida por el axioma de separación .
El concepto de semiconjunto abre la vía a la formulación de una teoría de conjuntos alternativa . En particular, la teoría de conjuntos alternativa de Vopěnka (1979) axiomatiza el concepto de semiconjunto, complementado con varios principios adicionales.
Los semiconjuntos se pueden utilizar para representar conjuntos con límites imprecisos. Novák (1984) estudió la aproximación de semiconjuntos mediante conjuntos difusos , que suelen ser más adecuados para aplicaciones prácticas de modelado de la imprecisión.
La "Teoría de conjuntos alternativa" de Vopěnka se basa en algunas ideas de la teoría de semiconjuntos, pero también introduce cambios más radicales: por ejemplo, todos los conjuntos son "formalmente" finitos , lo que significa que los conjuntos en AST satisfacen la ley de inducción matemática para fórmulas de conjuntos (más precisamente: la parte de AST que consiste en axiomas relacionados solo con conjuntos es equivalente a la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (o ZF), en la que el axioma de infinito se reemplaza por su negación). Sin embargo, algunos de estos conjuntos contienen subclases que no son conjuntos, lo que los hace diferentes de los conjuntos finitos de Cantor (ZF) y se llaman infinitos en AST.