Cardenal inaccesible

Tipos de números infinitos en la teoría de conjuntos

En teoría de conjuntos , un cardinal incontable es inaccesible si no se puede obtener a partir de cardinales más pequeños mediante las operaciones habituales de la aritmética de cardinales . Más precisamente, un cardinal κ es fuertemente inaccesible si satisface las siguientes tres condiciones: es incontable, no es una suma de menos de κ cardinales menores que κ e implica . ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle 2^{\alpha }<\kappa }$

El término "cardinal inaccesible" es ambiguo. Hasta aproximadamente 1950, significaba "cardinal débilmente inaccesible", pero desde entonces suele significar "cardinal fuertemente inaccesible". Un cardinal incontable es débilmente inaccesible si es un cardinal límite débil regular . Es fuertemente inaccesible, o simplemente inaccesible, si es un cardinal límite fuerte regular (esto es equivalente a la definición dada anteriormente). Algunos autores no requieren que los cardinales débil y fuertemente inaccesibles sean incontables (en cuyo caso ⁠ ⁠ es fuertemente inaccesible). Los cardinales débilmente inaccesibles fueron introducidos por Hausdorff (1908), y los fuertemente inaccesibles por Sierpiński & Tarski (1930) y Zermelo (1930); en este último se los mencionaba junto con Grenzzahlen ( en español, "números límite"). ^[1] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Todo cardinal fuertemente inaccesible es también débilmente inaccesible, como todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil. Si se cumple la hipótesis generalizada del continuo , entonces un cardinal es fuertemente inaccesible si y solo si es débilmente inaccesible.

⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ( aleph-null ) es un cardinal límite fuerte regular. Suponiendo el axioma de elección , cualquier otro número cardinal infinito es regular o un límite (débil). Sin embargo, solo un número cardinal bastante grande puede ser ambos y, por lo tanto, débilmente inaccesible.

Un ordinal es un cardinal débilmente inaccesible si y solo si es un ordinal regular y es un límite de ordinales regulares. (Cero, uno y ω son ordinales regulares, pero no límites de ordinales regulares). Un cardinal que es débilmente inaccesible y también un cardinal límite fuerte es fuertemente inaccesible.

La suposición de la existencia de un cardinal fuertemente inaccesible se aplica a veces en la forma de la suposición de que uno puede trabajar dentro de un universo de Grothendieck , estando ambas ideas íntimamente conectadas.

Modelos y consistencia

Supongamos que es un número cardinal. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con elección (ZFC) implica que el nivel n del universo de Von Neumann es un modelo de ZFC siempre que sea fuertemente inaccesible. Además, ZF implica que el universo de Gödel es un modelo de ZFC siempre que sea débilmente inaccesible. Por lo tanto, ZF junto con "existe un cardinal débilmente inaccesible" implica que ZFC es consistente. Por lo tanto, los cardinales inaccesibles son un tipo de cardinal grande . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$

Si es un modelo estándar de ZFC y es inaccesible en , entonces ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$

1. ${\displaystyle V_{\kappa }}$es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ;
2. ${\displaystyle Def(V_{\kappa })}$es uno de los modelos previstos de la versión de Mendelson de la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel que excluye la elección global, reemplazando la limitación de tamaño por el reemplazo y la elección ordinaria;
3. y es uno de los modelos previstos de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . ${\displaystyle V_{\kappa +1}}$

Aquí, está el conjunto de subconjuntos definibles de X en Δ ₀ (ver universo construible ). Vale la pena señalar que la primera afirmación puede debilitarse: no necesita ser inaccesible, o incluso un número cardinal, para ser un modelo estándar de ZF (ver más abajo). ${\displaystyle Def(X)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ _{${\displaystyle \kappa }$}

Supongamos que es un modelo de ZFC. O bien no contiene ningún inaccesible fuerte o, tomando como el inaccesible fuerte más pequeño en , es un modelo estándar de ZFC que no contiene ningún inaccesible fuerte. Por lo tanto, la consistencia de ZFC implica consistencia de ZFC + "no hay ningún inaccesible fuerte". De manera similar, o bien V no contiene ningún inaccesible débil o, tomando como el ordinal más pequeño que es débilmente inaccesible en relación con cualquier submodelo estándar de , entonces es un modelo estándar de ZFC que no contiene ningún inaccesible débil. Por lo tanto, la consistencia de ZFC implica consistencia de ZFC + "no hay ningún inaccesible débil". Esto muestra que ZFC no puede probar la existencia de un cardinal inaccesible, por lo que ZFC es consistente con la no existencia de ningún cardinal inaccesible. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L_{\kappa }}$

La cuestión de si ZFC es consistente con la existencia de un cardinal inaccesible es más sutil. La prueba esbozada en el párrafo anterior de que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "no hay un cardinal inaccesible" se puede formalizar en ZFC. Sin embargo, suponiendo que ZFC es consistente, no se puede formalizar en ZFC ninguna prueba de que la consistencia de ZFC implica la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible". Esto se desprende del segundo teorema de incompletitud de Gödel , que muestra que si ZFC + "hay un cardinal inaccesible" es consistente, entonces no puede probar su propia consistencia. Debido a que ZFC + "hay un cardinal inaccesible" prueba la consistencia de ZFC, si ZFC probara que su propia consistencia implica la consistencia de ZFC + "hay un cardinal inaccesible", entonces esta última teoría podría probar su propia consistencia, lo cual es imposible si es consistente.

Existen argumentos a favor de la existencia de cardinales inaccesibles que no pueden formalizarse en ZFC. Uno de esos argumentos, presentado por Hrbáček y Jech (1999, p. 279), es que la clase de todos los ordinales de un modelo particular M de teoría de conjuntos sería en sí misma un cardinal inaccesible si existiera un modelo más grande de teoría de conjuntos que extendiera M y preservara el conjunto potencia de elementos de M .

Existencia de una clase propia de inaccesibles

Existen muchos axiomas importantes en la teoría de conjuntos que afirman la existencia de una clase propia de cardinales que satisfacen un predicado de interés. En el caso de la inaccesibilidad, el axioma correspondiente es la afirmación de que para cada cardinal μ , existe un cardinal inaccesible κ que es estrictamente mayor, μ < κ . Por lo tanto, este axioma garantiza la existencia de una torre infinita de cardinales inaccesibles (y ocasionalmente puede denominarse axioma del cardinal inaccesible). Como es el caso de la existencia de cualquier cardinal inaccesible, el axioma del cardinal inaccesible es indemostrable a partir de los axiomas de ZFC. Suponiendo ZFC, el axioma del cardinal inaccesible es equivalente al axioma del universo de Grothendieck y Verdier : cada conjunto está contenido en un universo de Grothendieck . Los axiomas de ZFC junto con el axioma del universo (o equivalentemente el axioma del cardinal inaccesible) se denominan ZFCU (no debe confundirse con ZFC con urelementos ). Este sistema axiomático es útil para demostrar, por ejemplo, que cada categoría tiene una incrustación de Yoneda apropiada .

Este es un axioma cardinal grande relativamente débil, ya que equivale a decir que ∞ es 1-inaccesible en el lenguaje de la siguiente sección, donde ∞ denota el ordinal menos importante que no está en V, es decir, la clase de todos los ordinales en su modelo.

alfa-Cardenales inaccesibles y cardenales hiperinaccesibles

El término " cardinal α -inaccesible" es ambiguo y diferentes autores utilizan definiciones no equivalentes. Una definición es que un cardinal κ se llama α -inaccesible , para cualquier ordinal α , si κ es inaccesible y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ (y por lo tanto de cardinalidad κ , ya que κ es regular). En este caso los cardinales 0-inaccesibles son los mismos que los cardinales fuertemente inaccesibles. Otra definición posible es que un cardinal κ se llama α -débilmente inaccesible si κ es regular y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -débilmente inaccesibles menores que κ es ilimitado en κ. En este caso, los cardenales 0-débilmente inaccesibles son los cardenales regulares y los cardenales 1-débilmente inaccesibles son los cardenales débilmente inaccesibles.

Los cardinales α -inaccesibles también pueden describirse como puntos fijos de funciones que cuentan los inaccesibles inferiores. Por ejemplo, denotemos por ψ ₀ ( λ ) el λ ^-ésimo cardinal inaccesible, entonces los puntos fijos de ψ ₀ son los cardinales 1-inaccesibles. Entonces, siendo ψ _β ( λ ) el λ- ^{ésimo cardinal} β -inaccesible, los puntos fijos de ψ _β son los cardinales ( β +1)-inaccesibles (los valores ψ _{β +1} ( λ )). Si α es un ordinal límite, un α -inaccesible es un punto fijo de cada ψ _β para β < α (el valor ψ _α ( λ ) es el λ - ^ésimo cardinal de ese tipo). Este proceso de tomar puntos fijos de funciones que generan cardinales sucesivamente más grandes se encuentra comúnmente en el estudio de números cardinales grandes .

El término hiperinaccesible es ambiguo y tiene al menos tres significados incompatibles. Muchos autores lo utilizan para significar un límite regular de cardinales fuertemente inaccesibles (1-inaccesible). Otros autores lo utilizan para significar que κ es κ -inaccesible. (Nunca puede ser κ +1 -inaccesible.) Ocasionalmente se utiliza para significar cardinal de Mahlo .

El término α -hiperinaccesible también es ambiguo. Algunos autores lo utilizan para significar α -inaccesible. Otros autores utilizan la definición de que para cualquier ordinal α , un cardinal κ es α -hiperinaccesible si y solo si κ es hiperinaccesible y para cada ordinal β < α , el conjunto de β -hiperinaccesibles menores que κ es ilimitado en κ .

Los cardenales hiper-hiper-inaccesibles, etc., se pueden definir de manera similar y, como es habitual, este término es ambiguo.

Usando "débilmente inaccesible" en lugar de "inaccesible", se pueden hacer definiciones similares para "débilmente α -inaccesible", "débilmente hiperinaccesible" y "débilmente α -hiperinaccesible".

Los cardenales de Mahlo son inaccesibles, hiper-inaccesibles, hiper-hiper-inaccesibles, ... y así sucesivamente.

Dos caracterizaciones de la inaccesibilidad desde el punto de vista teórico

En primer lugar, un cardinal κ es inaccesible si y solo si κ tiene la siguiente propiedad de reflexión : para todos los subconjuntos , existe tal que es una subestructura elemental de . (De hecho, el conjunto de tales α es cerrado no acotado en κ .) Por lo tanto, es - indescriptible para todo n ≥ 0. Por otro lado, no existe necesariamente un ordinal tal que , y si esto se cumple, entonces debe ser el ésimo cardinal inaccesible. ^[2] ${\displaystyle U\subset V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in ,U)}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$ ${\displaystyle \alpha >\kappa }$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

Se puede demostrar en ZF que tiene una propiedad de reflexión algo más débil, donde solo se requiere que la subestructura sea "elemental" con respecto a un conjunto finito de fórmulas. En última instancia, la razón de este debilitamiento es que mientras que la relación de satisfacción teórica del modelo ⊧ se puede definir, la verdad semántica en sí misma (es decir ) no puede, debido al teorema de Tarski . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })}$ ${\displaystyle \vDash _{V}}$

En segundo lugar, bajo ZFC se puede demostrar el teorema de categoricidad de Zermelo , que establece que es inaccesible si y sólo si es un modelo de ZFC de segundo orden . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$

En este caso, por la propiedad de reflexión anterior, existe tal que es un modelo estándar de ZFC ( de primer orden ). Por lo tanto, la existencia de un cardinal inaccesible es una hipótesis más sólida que la existencia de un modelo transitivo de ZFC. ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ ${\displaystyle (V_{\alpha },\in )}$

La inaccesibilidad de es una propiedad sobre , ^[3] mientras que un cardinal que es inaccesible (en algún modelo dado de contener ) es . ^[4] ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \mathrm {ZF} }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$

Véase también

• Cardenal mundano , una noción más débil
• Cardenal Mahlo , una noción más fuerte
• Juego de palos
• Modelo interno
• El universo de von Neumann
• Universo construible

Obras citadas

• Drake, FR (1974), Teoría de conjuntos: Introducción a los grandes cardinales , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas, vol. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
• Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen , 65 (4): 435–505, doi :10.1007/BF01451165, hdl : 10338.dmlcz/100813 , ISSN  0025-5831, S2CID  119 648544
• Hrbáček, Karel ; Jech, Thomas (1999), Introducción a la teoría de conjuntos (3.ª ed.), Nueva York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
• Kanamori, Akihiro (2003), El infinito superior: grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios (2.ª ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
• Sierpiński, Wacław ; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi :10.4064/fm-15-1-292-300, ISSN  0016-2736
• Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi :10.4064/fm-16-1-29-47, ISSN  0016 -2736. Traducción al inglés: Ewald, William B. (1996), "Sobre números de frontera y dominios de conjuntos: nuevas investigaciones sobre los fundamentos de la teoría de conjuntos", De Immanuel Kant a David Hilbert: un libro de consulta sobre los fundamentos de las matemáticas , Oxford University Press, pp. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

Referencias

1. A. Kanamori, "Zermelo and Set Theory", p. 526. Bulletin of Symbolic Logic vol. 10, no. 4 (2004). Consultado el 21 de agosto de 2023.
2. A. Enayat, "Análogos del teorema de MacDowell-Specker para la teoría de conjuntos" (2020), p.10. Consultado el 9 de marzo de 2024.
3. K. Hauser, "Cardinales indescriptibles e incrustaciones elementales". Journal of Symbolic Logic vol. 56, núm. 2 (1991), pp.439--457.
4. KJ Devlin, "Propiedades de indescriptibilidad y cardinales grandes y pequeños" (1974). En ISILC Logic Conference: Proceedings of the International Summer Institute and Logic Colloquium, Kiel 1974 , Lecture Notes in Mathematics, vol. 499 (1974) ${\displaystyle \vDash }$