Principio de reflexión

Tipo de proposición en matemáticas.

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , un principio de reflexión dice que es posible encontrar conjuntos que, con respecto a cualquier propiedad dada, se parezcan a la clase de todos los conjuntos. Hay varias formas diferentes del principio de reflexión dependiendo de lo que se entienda exactamente por "parecerse". Las formas débiles del principio de reflexión son teoremas de la teoría de conjuntos ZF debidos a Montague (1961), mientras que las formas más fuertes pueden ser axiomas nuevos y muy poderosos para la teoría de conjuntos.

El nombre "principio de reflexión" proviene del hecho de que las propiedades del universo de todos los conjuntos se "reflejan" hacia un conjunto más pequeño.

Motivación

Una versión ingenua del principio de reflexión afirma que "para cualquier propiedad del universo de todos los conjuntos podemos encontrar un conjunto con la misma propiedad". Esto lleva a una contradicción inmediata: el universo de todos los conjuntos contiene todos los conjuntos, pero no existe ningún conjunto que tenga la propiedad de contener todos los conjuntos. Para obtener principios de reflexión útiles (y no contradictorios), debemos tener más cuidado con lo que entendemos por "propiedad" y qué propiedades permitimos.

Los principios de reflexión están asociados con intentos de formular la idea de que ninguna noción, idea o afirmación puede capturar nuestra visión completa del universo de conjuntos . ^[1] Kurt Gödel lo describió de la siguiente manera: ^[2]

El universo de todos los conjuntos es estructuralmente indefinible. Una forma posible de precisar esta afirmación es la siguiente: el universo de conjuntos no puede caracterizarse unívocamente (es decir, distinguirse de todos sus segmentos iniciales) por ninguna propiedad estructural interna de la relación de pertenencia en él que sea expresable en cualquier lógica de valores finitos o finitos. tipo transfinito , incluyendo lógicas infinitarias de cualquier número cardinal . Este principio puede considerarse una generalización del principio de cierre .

—  8.7.3, pág. 280

Todos los principios para establecer los axiomas de la teoría de conjuntos deberían ser reducibles al principio de Ackermann : lo Absoluto es incognoscible. La fuerza de este principio aumenta a medida que nos hacemos más y más fuertes los sistemas de teoría de conjuntos. Los demás principios son sólo principios heurísticos. Por tanto, el principio central es el principio de reflexión, que presumiblemente se entenderá mejor a medida que aumente nuestra experiencia. Mientras tanto, ayuda a separar principios más específicos que brindan alguna información adicional o que aún no se ve claramente como derivables del principio de reflexión tal como lo entendemos ahora.

—  8.7.9, pág. 283

En general, creo que, en último análisis, todo axioma de infinito debería ser derivable del principio (extremadamente plausible) de que V es indefinible, donde la definibilidad debe tomarse en [un] sentido cada vez más generalizado e idealizado.

—  8.7.16, pág. 285

Georg Cantor expresó opiniones similares sobre el infinito absoluto : Todas las propiedades de cardinalidad se cumplen en este número, en el que está en manos de un cardinal más pequeño.

Para encontrar principios de reflexión no contradictorios podríamos argumentar informalmente de la siguiente manera. Supongamos que tenemos una colección A de métodos para formar conjuntos (por ejemplo, tomando conjuntos potencia , subconjuntos , el axioma de reemplazo , etc.). Podemos imaginar tomar todos los conjuntos obtenidos aplicando repetidamente todos estos métodos y formar estos conjuntos en una clase X , que puede considerarse como un modelo de alguna teoría de conjuntos. Pero a la luz de este punto de vista, V no es agotable mediante un puñado de operaciones; de lo contrario, sería fácilmente describible desde abajo; este principio se conoce como inagotabilidad (de V ). ^[3] Como resultado, V es mayor que X. La aplicación de los métodos de A al propio conjunto X también daría como resultado una colección más pequeña que V , ya que V no es agotable a partir de la imagen de X bajo las operaciones de A. Luego podemos introducir el siguiente nuevo principio para formar conjuntos: "la colección de todos los conjuntos obtenidos de algún conjunto aplicando repetidamente todos los métodos de la colección A también es un conjunto". Después de agregar este principio a A , V todavía no es agotable mediante las operaciones en este nuevo A . Este proceso puede repetirse cada vez más, agregando más y más operaciones al conjunto A y obteniendo modelos X cada vez más grandes . Cada X se parece a V en el sentido de que comparte con V la propiedad de estar cerrado bajo las operaciones en A.

Podemos utilizar este argumento informal de dos maneras. Podemos intentar formalizarlo en (digamos) la teoría de conjuntos ZF; Al hacer esto obtenemos algunos teoremas de la teoría de conjuntos ZF, llamados teoremas de reflexión. Alternativamente, podemos usar este argumento para motivar la introducción de nuevos axiomas para la teoría de conjuntos, como algunos axiomas que afirman la existencia de cardinales grandes . ^[3]

En ZFC

Al intentar formalizar el argumento a favor del principio de reflexión de la sección anterior de la teoría de conjuntos ZF, resulta necesario agregar algunas condiciones sobre el conjunto de propiedades A (por ejemplo, A podría ser finito). Hacer esto produce varios "teoremas de reflexión" estrechamente relacionados, todos los cuales establecen que podemos encontrar un conjunto que es casi un modelo de ZFC. A diferencia de principios de reflexión más estrictos, estos se pueden demostrar en ZFC.

Uno de los principios de reflexión más comunes para ZFC es un esquema de teorema que se puede describir de la siguiente manera: para cualquier fórmula con parámetros, si es verdadera (en el universo de la teoría de conjuntos ), entonces existe un nivel de jerarquía acumulativa tal que . Esto se conoce como principio de reflexión de Lévy-Montague, ^[4] o principio de reflexión de Lévy, ^[5] investigado principalmente en Lévy (1960) y Montague (1961). ^[6] Otra versión de este principio de reflexión dice que para cualquier número finito de fórmulas de ZFC podemos encontrar un conjunto en la jerarquía acumulativa tal que todas las fórmulas del conjunto sean absolutas para (lo que significa de manera muy aproximada que se cumplen si y sólo si se cumplen en el universo de todos los conjuntos). Entonces esto dice que el conjunto se parece al universo de todos los conjuntos, al menos en lo que respecta al número finito de fórmulas dado. ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }\vDash \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$

Otro principio de reflexión para ZFC es un esquema de teorema que se puede describir de la siguiente manera: ^{[7] [8]} Sea una fórmula con como máximo variables libres . Entonces ZFC demuestra que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle (\forall N)(\exists M{\supseteq }N)(\forall x_{1},\ldots ,x_{n}{\in }M)(\phi (x_{1},\ldots ,x_{n})\leftrightarrow \phi ^{M})}$

donde denota la relativización de to (es decir, reemplazar todos los cuantificadores que aparecen en de la forma y por y , respectivamente). ${\displaystyle \phi ^{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \forall x}$ ${\displaystyle \exists x}$ ${\displaystyle \forall x{\in }M}$ ${\displaystyle \exists x{\in }M}$

Otra forma del principio de reflexión en ZFC dice que para cualquier conjunto finito de axiomas de ZFC podemos encontrar un modelo transitivo contable que satisfaga estos axiomas. (En particular, esto prueba que, a menos que sea inconsistente, ZFC no es finitamente axiomatizable porque si lo fuera probaría la existencia de un modelo de sí mismo y, por lo tanto, probaría su propia consistencia, contradiciendo el segundo teorema de incompletitud de Gödel). Esta versión del teorema de la reflexión Está estrechamente relacionado con el teorema de Löwenheim-Skolem .

Si es un cardinal fuerte e inaccesible , entonces hay un subconjunto cerrado e ilimitado de , tal que para cada , hay una subestructura elemental de . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \alpha \in C}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle V_{\kappa }}$

Como nuevos axiomas

Grandes cardenales

Los principios de reflexión están conectados y pueden usarse para motivar grandes axiomas cardinales. Reinhardt da los siguientes ejemplos: ^[9]

Puede resultar útil dar algunos argumentos informales que ilustren el uso de principios de reflexión.

Quizás la más simple sea: el universo de conjuntos es inaccesible (es decir, satisface el axioma de sustitución), por lo tanto hay un cardinal inaccesible. Esto se puede desarrollar un poco, de la siguiente manera. Enumeremos los cardenales inaccesibles. Por el mismo tipo de razonamiento, no está limitado; el Cantor absoluto (todos los ordinales) es un inaccesible por encima de cualquier límite propuesto , por lo tanto hay un cardinal inaccesible por encima . Es evidente, pues, que hay inaccesibles arriba abajo ; por lo tanto, existe un inaccesible tal que hay inaccesibles debajo de él (es decir, ). ${\displaystyle \theta _{\nu }}$ ${\displaystyle \theta _{\nu }}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =\theta _{\kappa }}$

teoría de clases de bernays

Paul Bernays utilizó un principio de reflexión como axioma para una versión de la teoría de conjuntos (no la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel , que es una teoría más débil). Su principio de reflexión establecía aproximadamente que si es una clase con alguna propiedad, entonces se puede encontrar un conjunto transitivo que tenga la misma propiedad cuando se considera como un subconjunto del "universo" . Este es un axioma bastante poderoso e implica la existencia de varios de los cardenales grandes más pequeños , como los cardenales inaccesibles . (En términos generales, la clase de todos los ordinales en ZFC es un cardinal inaccesible aparte del hecho de que no es un conjunto, y el principio de reflexión puede usarse entonces para demostrar que hay un conjunto que tiene la misma propiedad, en otras palabras ese es un cardenal inaccesible.) Desafortunadamente, esto no se puede axiomatizar directamente en ZFC, y normalmente se debe utilizar una teoría de clases como la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . La coherencia del principio de reflexión de Bernays está implícita en la existencia de un cardinal ω-Erdős . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle A\cap u}$ ${\displaystyle u}$

Más precisamente, los axiomas de la teoría de clases de Bernays son: ^[10]

1. extensionalidad
2. especificación de clase : para cualquier fórmula sin gratis, ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \exists a\forall b(b\in a\leftrightarrow \phi \land b{\text{ is a set}})}$
3. subconjuntos : ${\displaystyle b\subseteq a\land a{\text{ is a set}}\to b{\text{ is a set}}}$
4. reflexión: para cualquier fórmula , ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi (A)\to \exists u(u{\text{ is a transitive set}}\land \phi ^{{\mathcal {P}}u}(A\cap u))}$
5. base
6. elección

donde denota el conjunto de potencias . ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Según Akihiro Kanamori , ^{[11] : 62} en un artículo de 1961, Bernays consideró el esquema de reflexión

${\displaystyle \phi \to \exists x({\text{transitive}}(x)\land \phi ^{x})}$

para cualquier fórmula sin free, donde se afirma que es transitiva . Comenzando con la observación de que los parámetros establecidos pueden aparecer y se puede requerir que los contengan introduciendo cláusulas en , Bernays simplemente con este esquema estableció el emparejamiento , la unión , el infinito y el reemplazo , logrando de hecho una presentación notablemente económica de ZF . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\text{transitive}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \exists y(a_{i}\in y)}$ ${\displaystyle \phi }$

Otros

Algunas formulaciones de la teoría de conjuntos de Ackermann utilizan un principio de reflexión. El axioma de Ackermann establece que, para cualquier fórmula que no mencione , ^[2] ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle a\in V\land b\in V\to \forall x(\phi \to x\in V)\to \exists u{\in }V\forall x(x\in u\leftrightarrow \phi )}$

Peter Koellner demostró que una clase general de principios de reflexión considerados "intrínsecamente justificados" son inconsistentes o débiles, en el sentido de que son consistentes en relación con el cardenal Erdös . ^[12] Sin embargo, existen principios de reflexión más poderosos, que están estrechamente relacionados con los diversos grandes axiomas cardinales. Para casi todos los grandes axiomas cardinales conocidos existe un principio de reflexión conocido que lo implica y, a la inversa, todos los principios de reflexión conocidos, excepto los más poderosos, están implícitos en grandes axiomas cardinales conocidos. ^[10] Un ejemplo de esto es el axioma de totalidad , ^[13] que implica la existencia de cardinales super- n- enormes para todo n finito y su consistencia está implícita en un cardinal I3 rango en rango .

Agregue un axioma que diga que Ord es un cardinal de Mahlo : para cada clase cerrada e ilimitada de ordinales C (definibles mediante una fórmula con parámetros), hay un ordinal regular en C. Esto permite derivar la existencia de cardenales fuertes e inaccesibles y mucho más sobre cualquier ordinal.

Para aritmética

Se pueden considerar principios de reflexión para teorías de la aritmética que generalmente son mucho más débiles que ZFC.

Solvencia

Denotemos la aritmética de Peano y denotemos el conjunto de oraciones verdaderas en el lenguaje de PA que están en la jerarquía aritmética . El teorema de reflexión de Mostowski es que para cada número natural , se demuestra la consistencia de . Como cada conjunto es definible, esto debe expresarse como un esquema de teorema. ^{[14] pág. 4} ${\displaystyle {\mathsf {PA}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle PA}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle {\mathsf {PA}}_{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$

Reflexión modelo

Porque , un modelo es un modelo que tiene los valores de verdad correctos de las declaraciones, donde se encuentra en el nivel ésimo de la jerarquía analítica . Un modelo contable de un subsistema de aritmética de segundo orden consta de un conjunto contable de conjuntos de números naturales, que pueden codificarse como un subconjunto de . La teoría prueba la existencia de un modelo, también conocido como modelo. ^{[15] Teorema VII.2.16} ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{k}^{1}}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Pi _{1}^{1}{\mathsf {-CA}}_{0}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta }$

El principio de reflexión del modelo para fórmulas establece que para cualquier fórmula que tenga como única variable de conjunto libre, para todos , si se cumple, entonces hay un modelo codificado contable donde tal que . Se axioma una extensión de mediante un esquema de elección dependiente. Para cualquiera , el sistema equivale a -reflexión para fórmulas. ^{[15] Teorema VII.7.6} ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle \theta (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta (X)}$ ${\displaystyle \beta _{k}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X\in M}$ ${\displaystyle M\vDash \theta (X)}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA}}_{0}}$ ${\displaystyle 0\leq k}$ ${\displaystyle \Sigma _{k+2}^{1}{\mathsf {-DC}}_{0}}$ ${\displaystyle \beta _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k+4}^{1}}$

${\displaystyle \beta }$La reflexión del modelo tiene conexiones con la reflexión de la teoría de conjuntos, por ejemplo, sobre la teoría de conjuntos débiles KP , agregar el esquema de reflexión de las fórmulas a los conjuntos transitivos ( para todas las fórmulas ) produce las mismas consecuencias que más un esquema de reflexión del modelo para fórmulas. ^[dieciséis] ${\displaystyle \Pi _{n}}$ ${\displaystyle \phi \implies \exists z({\textrm {transitive}}(z)\land \phi ^{z})}$ ${\displaystyle \Pi _{n}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Pi _{4}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathsf {ACA+BI}}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Pi _{n+1}^{1}}$

Referencias

• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos, edición del tercer milenio (revisada y ampliada) , Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-85401-0
• Lévy, Azriel (1960), "Esquemas de axiomas de infinito fuerte en la teoría de conjuntos axiomáticos", Pacific Journal of Mathematics , 10 : 223–238, doi : 10.2140/pjm.1960.10.223 , ISSN  0030-8730, MR  0124205
• Montague, Richard (1961), "La adición de Fraenkel a los axiomas de Zermelo", en Bar-Hillel, Yehoshua; Poznanski, EIJ; Rabin, MO; Robinson, Abraham (eds.), Ensayos sobre los fundamentos de las matemáticas , Universidad Hebrea, Jerusalén: Magnes Press, págs. 91-114, MR  0163840
• Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, cardinales grandes e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomática , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 189–205, SEÑOR  0401475

Citas

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2. Wang, Hao (25 de marzo de 2016). Un viaje lógico: de Gödel a la filosofía. Libros de Bradford. págs. 280–285. ISBN 978-0262529167.
3. P. Maddy, "Creer en los axiomas. I", págs.501-503. Revista de lógica simbólica vol. 53, núm. 2 (1988).
4. Barton, Neil; Caicedo, Andrés Eduardo; Fuchs, Gunter; Hamkins, Joel David; Reitz, Jonás; Schindler, Ralf (2020). "Principios de reflexión del modelo interno". Estudios Lógica . 108 (3): 573–595. arXiv : 1708.06669 . doi :10.1007/s11225-019-09860-7. S2CID  255073980.
5. SD Friedman, Evidencia de la verdad de la teoría de conjuntos y el programa hiperuniverso (2016), p.15. Consultado el 28 de marzo de 2023.
6. A. Kanamori, El infinito superior , p.58. Monografías de Springer en Matemáticas (2003). ISBN 978-3-540-88866-6.
7. "Sección 3.8 (000F): Principio de reflexión". El proyecto Pilas . 2022 . Consultado el 7 de septiembre de 2022 .
8. T. Jech, 'Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada', páginas 168-170. Monografías de Springer en Matemáticas (2006). ISBN 3-540-44085-2
9. Reinhardt, WN (1974), "Observaciones sobre principios de reflexión, cardinales grandes e incrustaciones elementales", Teoría de conjuntos axiomáticos , Proc. Simposios. Matemáticas puras, vol. XIII, Parte II, Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 189–205, SEÑOR  0401475
10. Marshall R., M. Victoria (1989). "Principios de reflexión de orden superior". La revista de lógica simbólica . 54 (2): 474–489. doi :10.2307/2274862. JSTOR  2274862. S2CID  250351126 . Consultado el 9 de septiembre de 2022 .
11. Kanamori, Akihiro (marzo de 2009). "Bernays y la teoría de conjuntos". El Boletín de Lógica Simbólica . 15 (1): 43–69. doi :10.2178/bsl/1231081769. JSTOR  25470304. S2CID  15567244 . Consultado el 9 de septiembre de 2022 .
12. Koellner, Peter (febrero de 2009). "Sobre los principios de la reflexión". Anales de lógica pura y aplicada . 157 (2): 206–219. doi :10.1016/j.apal.2008.09.007.
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14. Joel David Hamkins (2018). "La lógica modal del potencialismo aritmético y el algoritmo universal". arXiv : 1801.04599 [matemáticas.LO].
15. SG Simpson, Subsistemas de aritmética de segundo orden (2009)
16. M. Rathjen, "Teoría de la prueba de la reflexión". Anales de lógica pura y aplicada, vol. 68, número 2 (1994), páginas 181-224.

enlaces externos

• Prueba del sistema Mizar : http://mizar.org/version/current/html/zf_refle.html