Pushout (teoría de categorías)

Most general completion of a commutative square given two morphisms with same domain

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un pushout (también llamado coproducto fibroso o suma fibrosa o cuadrado cocartesiano o suma amalgamada ) es el colímite de un diagrama que consiste en dos morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y con un dominio común . El pushout consiste en un objeto P junto con dos morfismos X → P e Y → P que completan un cuadrado conmutativo con los dos morfismos dados f y g . De hecho, la propiedad universal definitoria del pushout (que se da a continuación) dice esencialmente que el pushout es la forma "más general" de completar este cuadrado conmutativo. Las notaciones comunes para el pushout son y . ${\displaystyle P=X\sqcup _{Z}Y}$ ${\displaystyle P=X+_{Z}Y}$

El pushout es el dual categórico del pullback .

Propiedad universal

Explícitamente, la expulsión de los morfismos f y g consiste en un objeto P y dos morfismos i ₁  : X → P e i ₂  : Y → P tales que el diagrama

conmuta y tal que ( P , i ₁ , i ₂ ) es universal con respecto a este diagrama. Es decir, para cualquier otro triple ( Q , j ₁ , j ₂ ) para el cual conmuta el siguiente diagrama, debe existir un único u  : P → Q haciendo también que el diagrama conmute:

Como ocurre con todas las construcciones universales, el empuje, si existe, es único hasta un isomorfismo único .

Ejemplos de pushouts

A continuación se muestran algunos ejemplos de pushouts en categorías conocidas . Tenga en cuenta que, en cada caso, solo proporcionamos una construcción de un objeto en la clase de isomorfismo de pushouts; como se mencionó anteriormente, aunque puede haber otras formas de construirlo, todas son equivalentes.

• Supóngase que X , Y y Z como arriba son conjuntos , y que f  :  Z  →  X y g  :  Z  →  Y son funciones de conjunto. El empuje de f y g es la unión disjunta de X e Y , donde los elementos que comparten una preimagen común (en Z ) se identifican, junto con los morfismos i ₁ , i ₂ de X e Y , es decir donde ~ es la relación de equivalencia más fina (cf. también this ) tal que f ( z ) ~  g ( z ) para todo z en Z . En particular, si X e Y son subconjuntos de algún conjunto más grande W y Z es su intersección , con f y g las aplicaciones de inclusión de Z en X e Y , entonces el empuje puede identificarse canónicamente con la unión . ${\displaystyle P=(X\sqcup Y)/\!\sim }$ ${\displaystyle X\cup Y\subseteq W}$
  • Un caso específico de esto es el cografo de una función. Si es una función, entonces el cografo de una función es el desplazamiento de f a lo largo de la función identidad de X . En términos elementales, el cografo es el cociente de por la relación de equivalencia generada al identificar con . Una función puede ser recuperada por su cografo porque cada clase de equivalencia en contiene precisamente un elemento de Y . Los cografos son duales a los gráficos de funciones ya que el gráfico puede definirse como el retroceso de f a lo largo de la identidad de Y . ^{[1] [2]} ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$ ${\displaystyle x\in X\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle f(x)\in Y\subseteq X\sqcup Y}$ ${\displaystyle X\sqcup Y}$
• La construcción de espacios de adjunción es un ejemplo de expulsiones en la categoría de espacios topológicos . Más precisamente, si Z es un subespacio de Y y g  : Z → Y es la función de inclusión, podemos "pegar" Y a otro espacio X a lo largo de Z utilizando una "función de unión" f  : Z → X . El resultado es el espacio de adjunción , que es simplemente la expulsion de f y g . De manera más general, todos los espacios de identificación pueden considerarse expulsiones de esta manera. ${\displaystyle X\cup _{f}Y}$
• Un caso especial de lo anterior es la suma de cuñas o unión de un punto; aquí tomamos X e Y como espacios puntiagudos y Z como el espacio de un punto. Entonces, el empuje es , el espacio obtenido al pegar el punto base de X al punto base de Y . ${\displaystyle X\vee Y}$
• En la categoría de grupos abelianos , los pushouts pueden considerarse como " suma directa con pegado" de la misma manera que pensamos en los espacios de adjunción como " unión disjunta con pegado". El grupo cero es un subgrupo de cada grupo , por lo que para cualquier grupo abeliano A y B , tenemos homomorfismos y . El pushout de estas aplicaciones es la suma directa de A y B. Generalizando al caso donde f y g son homomorfismos arbitrarios de un dominio común Z , se obtiene para el pushout un grupo cociente de la suma directa; es decir, mod out por el subgrupo que consiste en pares ( f ( z ), − g ( z )). Por lo tanto, hemos "pegado" a lo largo de las imágenes de Z bajo f y g . Un enfoque similar produce el pushout en la categoría de R -módulos para cualquier anillo R . ${\displaystyle f:0\to A}$ ${\displaystyle g:0\to B}$
• En la categoría de grupos , el empuje se denomina producto libre con amalgama . Aparece en el teorema de Seifert-van Kampen de topología algebraica (ver más abajo).
• En CRing , la categoría de anillos conmutativos (una subcategoría completa de la categoría de anillos ), el empuje de salida está dado por el producto tensorial de anillos con los morfismos y que satisfacen . De hecho, dado que el empuje de salida es el colimite de un lapso y el retroceso es el límite de un cospan , podemos pensar en el producto tensorial de anillos y el producto fibroso de anillos (ver la sección de ejemplos) como nociones duales entre sí. En particular, sean A , B y C objetos (anillos conmutativos con identidad) en CRing y sean f  : C → A y g  : C → B morfismos (homomorfismos de anillo ) en CRing . Entonces el producto tensorial es: ${\displaystyle A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle g':A\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f':B\rightarrow A\otimes _{C}B}$ ${\displaystyle f'\circ g=g'\circ f}$

${\displaystyle A\otimes _{C}B=\left\{\sum _{i\in I}(a_{i},b_{i})\;{\big |}\;a_{i}\in A,b_{i}\in B\right\}{\Bigg /}{\bigg \langle }(f(c)a,b)-(a,g(c)b)\;{\big |}\;a\in A,b\in B,c\in C{\bigg \rangle }}$

• Véase Producto libre de álgebras asociativas para el caso de anillos no conmutativos.
• En el monoide multiplicativo de los números enteros positivos , considerado como una categoría con un objeto, el empuje de dos números enteros positivos m y n es simplemente el par , donde los numeradores son ambos el mínimo común múltiplo de m y n . Nótese que el mismo par es también el retroceso. ${\displaystyle \mathbf {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{m}},{\frac {\operatorname {lcm} (m,n)}{n}}\right)}$

Propiedades

• Siempre que existe el empuje A  ⊔ _C B , entonces también existe B  ⊔ _C A y hay un isomorfismo natural A  ⊔ _C B ≅ B  ⊔ _C A .
• En una categoría abeliana existen todos los pushouts, y preservan los cokernels en el siguiente sentido: si ( P , i ₁ , i ₂ ) es el pushout de f  : Z → X y g  : Z → Y , entonces la función natural coker( f ) → coker( i ₂ ) es un isomorfismo, y también lo es la función natural coker( g ) → coker( i ₁ ).
• Existe un isomorfismo natural ( A ⊔ _C B ) ⊔ _B D ≅ A ⊔ _C D . Explícitamente, esto significa:
  • Si se dan las funciones f  : C → A , g  : C → B y h  : B → D y
  • El empuje de f y g está dado por i  : A → P y j  : B → P , y
  • El empuje de j y h está dado por k  : P → Q y l  : D → Q ,
  • entonces el empuje de f y hg está dado por ki  : A → Q y l  : D → Q .

Gráficamente, esto significa que dos cuadrados de expulsión, colocados uno al lado del otro y compartiendo un morfismo, forman un cuadrado de expulsión más grande cuando se ignora el morfismo interno compartido.

Construcción mediante coproductos y coecualizadores

Los pushouts son equivalentes a coproductos y coecualizadores (si hay un objeto inicial ) en el sentido de que:

• Los coproductos son una expulsión del objeto inicial, y el coecualizador de f , g  : X → Y es la expulsión de [ f , g ] y [1 _X , 1 _X ], por lo que si hay expulsiones (y un objeto inicial), entonces hay coecualizadores y coproductos;
• Los pushouts se pueden construir a partir de coproductos y coecualizadores, como se describe a continuación (el pushout es el coecualizador de los mapas del coproducto).

Todos los ejemplos anteriores pueden considerarse casos especiales de la siguiente construcción muy general, que funciona en cualquier categoría C que satisfaga:

• Para cualquier objeto A y B de C , su coproducto existe en C ;
• Para cualquier morfismos j y k de C con el mismo dominio y el mismo objetivo, el coecualizador de j y k existe en C.

En esta configuración, obtenemos la expulsión de los morfismos f  : Z → X y g  : Z → Y formando primero el coproducto de los objetivos X e Y . Luego tenemos dos morfismos de Z a este coproducto. Podemos ir de Z a X a través de f , luego incluir en el coproducto, o podemos ir de Z a Y a través de g , luego incluir en el coproducto. La expulsión de f y g es el coecualizador de estas nuevas funciones.

Aplicación: el teorema de Seifert-van Kampen

El teorema de Seifert-van Kampen responde a la siguiente pregunta. Supongamos que tenemos un espacio conexo por trayectorias X , cubierto por subespacios abiertos conexos por trayectorias A y B cuya intersección D también es conexa por trayectorias. (Supongamos también que el punto base * se encuentra en la intersección de A y B .) Si conocemos los grupos fundamentales de A , B y su intersección D , ¿podemos recuperar el grupo fundamental de X ? La respuesta es sí, siempre que también conozcamos los homomorfismos inducidos y El teorema dice entonces que el grupo fundamental de X es el empuje de estas dos aplicaciones inducidas. Por supuesto, X es el empuje de las dos aplicaciones de inclusión de D en A y B . Por lo tanto, podemos interpretar el teorema como una confirmación de que el funtor del grupo fundamental preserva los empujes de inclusiones. Podríamos esperar que esto sea más simple cuando D es simplemente conexo , ya que entonces ambos homomorfismos anteriores tienen dominio trivial. En efecto, así es, ya que entonces la expulsión (de grupos) se reduce al producto libre , que es el coproducto en la categoría de grupos. En un caso más general, hablaremos de un producto libre con amalgama . ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(A,*)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(D,*)\to \pi _{1}(B,*).}$

Hay una exposición detallada de esto, en un contexto ligeramente más general ( que abarca los grupoides ) en el libro de JP May que aparece en las referencias.

Referencias

• May, JP Un curso conciso de topología algebraica. University of Chicago Press, 1999.

  Una introducción a los enfoques categóricos de la topología algebraica: se centra en el álgebra y asume un trasfondo topológico.

• Ronald Brown "Topología y grupoides" pdf disponible Da cuenta de algunos métodos categóricos en topología, utiliza el grupoide fundamental en un conjunto de puntos base para dar una generalización del teorema de Seifert-van Kampen.

• Philip J. Higgins, "Categorías y grupoides", descarga gratuita Explica algunos usos de los grupoides en la teoría de grupos y la topología.

Referencias

1. Riehl, Teoría de categorías en contexto , pág. xii
2. "¿El concepto de "cografo de una función" tiene generalizaciones / extensiones naturales?".

Enlaces externos

• Expulsión en nLab