Palabra con múltiples significados distintos
En matemáticas, el término módulo ("con respecto a un módulo de", ablativo latino de módulo que significa "una pequeña medida") se utiliza a menudo para afirmar que dos objetos matemáticos distintos pueden considerarse equivalentes, si su diferencia se explica por un factor adicional. Fue introducido inicialmente en matemáticas en el contexto de la aritmética modular por Carl Friedrich Gauss en 1801. [1] Desde entonces, el término ha adquirido muchos significados, algunos exactos y otros imprecisos (como equiparar "módulo" con "excepto por"). [2] En su mayor parte, el término aparece a menudo en enunciados de la forma:
- A es lo mismo que B módulo C
que a menudo equivale a " A es lo mismo que B hasta C ", y significa
- A y B son lo mismo , excepto por las diferencias explicadas por C.
Historia
Módulo es una jerga matemática que fue introducida en las matemáticas en el libro Disquisitiones Arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. [3] Dados los números enteros a , b y n , la expresión " a ≡ b (mod n )", pronunciada " a es congruente con b módulo n ", significa que a − b es un múltiplo entero de n , o equivalentemente, a y b comparten el mismo resto cuando se dividen por n . Es el ablativo latino de módulo , que en sí mismo significa "una pequeña medida". [4]
El término ha adquirido muchos significados a lo largo de los años, algunos exactos y otros imprecisos. La definición precisa más general es simplemente en términos de una relación de equivalencia R , donde a es equivalente (o congruente) a b módulo R si aRb .
Uso
Uso original
Originalmente, Gauss pretendía utilizar "módulo" de la siguiente manera: dados los números enteros a , b y n , la expresión a ≡ b (mod n ) (pronunciada " a es congruente con b módulo n ") significa que a − b es un múltiplo entero de n , o equivalentemente, a y b dejan el mismo resto cuando se dividen por n . Por ejemplo:
- 13 es congruente con 63 módulo 10
significa que
- 13 − 63 es un múltiplo de 10 (equivalente a que 13 y 63 difieren en un múltiplo de 10).
Computación
En informática y ciencias de la computación , el término puede utilizarse de varias maneras:
- En informática , normalmente se utiliza la operación módulo : dados dos números (enteros o reales), a y n , a módulo n es el resto de la división numérica de a por n , bajo ciertas restricciones.
- En la teoría de categorías aplicada a la programación funcional, "módulo operativo" es una jerga especial que se refiere a mapear un funtor a una categoría resaltando o definiendo restos. [5]
Estructuras
El término "módulo" se puede utilizar de distintas formas, para referirse a distintas estructuras matemáticas. Por ejemplo:
- Dos miembros a y b de un grupo son congruentes módulo un subgrupo normal , si y solo si ab −1 es un miembro del subgrupo normal (véase el grupo cociente y el teorema de isomorfismo para más información).
- Dos miembros de un anillo o de un álgebra son congruentes módulo un ideal , si la diferencia entre ellos está en el ideal.
- Utilizado como verbo, el acto de factorizar un subgrupo normal (o un ideal) de un grupo (o anillo) a menudo se denomina " modificar ..." o "ahora modificamos ... ".
- Dos subconjuntos de un conjunto infinito son iguales módulo conjuntos finitos precisamente si su diferencia simétrica es finita, es decir, puedes quitar una parte finita del primer subconjunto, luego agregarle una parte finita y obtener el segundo subconjunto como resultado.
- Una secuencia corta y exacta de mapas conduce a la definición de un espacio cociente como un espacio módulo otro; así, por ejemplo, que una cohomología es el espacio de formas cerradas módulo formas exactas.
Modificación fuera
En general, modificar es un término un tanto informal que significa declarar equivalentes cosas que de otro modo se considerarían distintas. Por ejemplo, supongamos que la secuencia 1 4 2 8 5 7 se debe considerar como la misma que la secuencia 7 1 4 2 8 5, porque cada una es una versión desplazada cíclicamente de la otra:
En ese caso, uno está "modificando mediante cambios cíclicos ".
Véase también
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Referencias
- ^ "Aritmética modular". Enciclopedia Británica . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ "módulo". catb.org . Consultado el 21 de noviembre de 2019 .
- ^ Bullynck, Maarten (1 de febrero de 2009). "Aritmética modular antes de CF Gauss: sistematizaciones y debates sobre problemas de resto en la Alemania del siglo XVIII". Historia Mathematica . 36 (1): 48–72. doi :10.1016/j.hm.2008.08.009. ISSN 0315-0860.
- ^ "módulo", The Free Dictionary , consultado el 21 de noviembre de 2019
- ^ Barr; Wells (1996). Teoría de categorías para la ciencia de la computación . Londres: Prentice Hall. p. 22. ISBN. 0-13-323809-1.
Enlaces externos
