Mapa de inclusión

Función de teoría de conjuntos

${\displaystyle A}$es un subconjunto de y es un superconjunto de ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A.}$

En matemáticas , si es un subconjunto de entonces el mapa de inclusión es la función que envía cada elemento de a tratado como un elemento de ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle B:}$ $${\displaystyle \iota :A\rightarrow B,\qquad \iota (x)=x.}$$

Un mapa de inclusión también puede denominarse función de inclusión , inserción , ^[1] o inyección canónica .

A veces se utiliza una "flecha en forma de gancho" ( U+ 21AA ↪ FLECHA HACIA LA DERECHA CON GANCHO ) ^[2] en lugar de la flecha de función anterior para indicar un mapa de inclusión; por lo tanto: $${\displaystyle \iota :A\hookrightarrow B.}$$

(Sin embargo, algunos autores utilizan esta flecha en forma de gancho para cualquier incrustación ).

Esta y otras funciones inyectivas análogas ^[3] de subestructuras a veces se denominan inyecciones naturales .

Dado cualquier morfismo entre los objetos y , si hay un mapa de inclusión en el dominio , entonces se puede formar la restricción de En muchos casos, también se puede construir una inclusión canónica en el codominio conocido como el rango de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \iota :A\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\circ \iota }$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle R\to Y}$ ${\displaystyle f.}$

Aplicaciones de los mapas de inclusión

Los mapas de inclusión tienden a ser homomorfismos de estructuras algebraicas ; por lo tanto, tales mapas de inclusión son incrustaciones . Más precisamente, dada una subestructura cerrada bajo algunas operaciones, el mapa de inclusión será una incrustación por razones tautológicas. Por ejemplo, para que alguna operación binaria requiera eso es simplemente decir que se calcula consistentemente en la subestructura y la estructura grande. El caso de una operación unaria es similar; pero también se deben considerar las operaciones nularias , que seleccionan un elemento constante . Aquí el punto es que el cierre significa que tales constantes ya deben estar dadas en la subestructura. ${\displaystyle \star ,}$ $${\displaystyle \iota (x\star y)=\iota (x)\star \iota (y)}$$ ${\displaystyle \star }$

Los mapas de inclusión se ven en la topología algebraica donde si es una fuerte retracción de deformación del mapa de inclusión produce un isomorfismo entre todos los grupos de homotopía (es decir, es una equivalencia de homotopía ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$

Los mapas de inclusión en geometría son de diferentes tipos: por ejemplo, incrustaciones de subvariedades . Los objetos contravariantes (es decir, objetos que tienen pullbacks ; estos se denominan covariantes en una terminología más antigua y no relacionada) como las formas diferenciales se restringen a subvariedades, lo que da una aplicación en la otra dirección . Otro ejemplo, más sofisticado, es el de los esquemas afines , para los que las inclusiones y pueden ser diferentes morfismos , donde es un anillo conmutativo y es un ideal de $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Spec} \left(R/I^{2}\right)\to \operatorname {Spec} (R)}$$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R.}$

Véase también

• Cofibración  : mapeo continuo entre espacios topológicosPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Función identidad  : En matemáticas, una función que siempre devuelve el mismo valor que se utilizó como argumento.

Referencias

1. MacLane, S.; Birkhoff, G. (1967). Álgebra . Providencia, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing. pag. 5.ISBN​ 0-8218-1646-2Nótese que "inserción" es una función S → U y "inclusión" una relación S ⊂ U ; toda relación de inclusión da lugar a una función de inserción.
2. "Flechas – Unicode" (PDF) . Consorcio Unicode . Consultado el 7 de febrero de 2017 .
3. Chevalley, C. (1956). Conceptos Fundamentales de Álgebra . Nueva York, Nueva York: Academic Press. pag. 1.ISBN​ 0-12-172050-0.