En lógica matemática , una subestructura ( inducida ) o subálgebra ( inducida ) es una estructura cuyo dominio es un subconjunto del de una estructura mayor, y cuyas funciones y relaciones están restringidas al dominio de la subestructura. Algunos ejemplos de subálgebras son los subgrupos , submonoides , subanillos , subcuerpos , subálgebras de álgebras sobre un cuerpo o subgrafos inducidos . Cambiando el punto de vista, la estructura mayor se denomina extensión o superestructura de su subestructura.
En la teoría de modelos , el término " submodelo " se utiliza a menudo como sinónimo de subestructura, especialmente cuando el contexto sugiere una teoría de la cual ambas estructuras son modelos.
En presencia de relaciones (es decir, para estructuras como grupos ordenados o grafos , cuya firma no es funcional), puede tener sentido relajar las condiciones en una subálgebra de modo que las relaciones en una subestructura débil (o subálgebra débil ) sean , como máximo , las inducidas a partir de la estructura mayor. Los subgrafos son un ejemplo en el que la distinción importa, y el término "subgrafo" se refiere de hecho a subestructuras débiles. Los grupos ordenados , por otro lado, tienen la propiedad especial de que cada subestructura de un grupo ordenado que es en sí misma un grupo ordenado, es una subestructura inducida.
Dadas dos estructuras A y B de la misma firma σ, se dice que A es una subestructura débil de B , o una subálgebra débil de B , si
Se dice que A es una subestructura de B , o una subálgebra de B , si A es una subálgebra débil de B y, además,
Si A es una subestructura de B , entonces B se denomina superestructura de A o, especialmente si A es una subestructura inducida, una extensión de A.
En el lenguaje que consiste en las funciones binarias + y ×, la relación binaria <, y las constantes 0 y 1, la estructura ( Q , +, ×, <, 0, 1) es una subestructura de ( R , +, ×, <, 0, 1). De manera más general, las subestructuras de un cuerpo ordenado (o simplemente de un cuerpo ) son precisamente sus subcuerpos. De manera similar, en el lenguaje (×, −1 , 1) de grupos, las subestructuras de un grupo son sus subgrupos . Sin embargo, en el lenguaje (×, 1) de monoides, las subestructuras de un grupo son sus submonoides . No necesitan ser grupos; e incluso si son grupos, no necesitan ser subgrupos.
Los subanillos son las subestructuras de los anillos y las subálgebras son las subestructuras de las álgebras sobre un cuerpo .
En el caso de los grafos (en la firma que consiste en una relación binaria), los subgrafos y sus subestructuras débiles son precisamente sus subgrafos.
Para cada firma σ, las subestructuras inducidas de las σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de las σ-estructuras y los homomorfismos fuertes (y también en la categoría concreta de las σ-estructuras y las σ- incrustaciones ). Las subestructuras débiles de las σ-estructuras son los subobjetos en la categoría concreta de las σ-estructuras y los homomorfismos en el sentido ordinario.
En teoría de modelos, dada una estructura M que es un modelo de una teoría T , un submodelo de M en un sentido más estricto es una subestructura de M que también es un modelo de T . Por ejemplo, si T es la teoría de grupos abelianos en la signatura (+, 0), entonces los submodelos del grupo de números enteros ( Z , +, 0) son las subestructuras que también son grupos abelianos. Así, los números naturales ( N , +, 0) forman una subestructura de ( Z , +, 0) que no es un submodelo, mientras que los números pares (2 Z , +, 0) forman un submodelo.
Otros ejemplos:
En la categoría de modelos de una teoría e incrustaciones entre ellos, los submodelos de un modelo son sus subobjetos .
