Cofibración

En matemáticas , en particular en la teoría de la homotopía , un mapeo continuo entre espacios topológicos

${\displaystyle i:A\to X}$,

Es una cofibración si tiene la propiedad de extensión de homotopía con respecto a todos los espacios topológicos . Es decir, es una cofibración si para cada espacio topológico , y para cualquier aplicación continua y con , para cualquier homotopía de a , existe una aplicación continua y una homotopía de a tal que para todos y . (Aquí, denota el intervalo unitario ). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f,f':A\to S}$ ${\displaystyle g:X\to S}$ ${\displaystyle g\circ i=f}$ ${\displaystyle h:A\times I\to S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle g':X\to S}$ ${\displaystyle h':X\times I\to S}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle h'(i(a),t)=h(a,t)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle t\in I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Esta definición es formalmente dual a la de fibración , que se requiere para satisfacer la propiedad de elevación de homotopía con respecto a todos los espacios; Este es un ejemplo de la dualidad más amplia de Eckmann-Hilton en topología.

Las cofibraciones son un concepto fundamental de la teoría de la homotopía. Quillen ha propuesto la noción de categoría de modelo como un marco formal para hacer teoría de la homotopía en categorías más generales; una categoría de modelo está dotada de tres clases distinguidas de morfismos llamados fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles que satisfacen ciertos axiomas de elevación y factorización.

Definición

Teoría de la homotopía

En lo que sigue, denotemos el intervalo unitario. ${\displaystyle I=[0,1]}$

Un mapa de espacios topológicos se llama cofibración ^{[1] pg 51} si para cualquier mapa tal que hay una extensión de , es decir, hay un mapa tal que , podemos extender una homotopía de mapas a una homotopía de mapas , donde ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle f:A\to S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f':X\to S}$ ${\displaystyle f'\circ i=f}$ ${\displaystyle H:A\times I\to S}$ ${\displaystyle H':X\times I\to S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}}$

Podemos codificar esta condición en el siguiente diagrama conmutativo

¿Dónde está el espacio de ruta de los equipos con topología compacta-abierta? ${\displaystyle S^{I}}$ ${\displaystyle S}$

Para conocer la noción de cofibración en una categoría de modelo, consulte categoría de modelo .

Ejemplos

En topología

Los topólogos han estudiado durante mucho tiempo nociones de "buena incrustación subespacial", muchas de las cuales implican que el mapa es una cofibración, o lo contrario, o que tienen propiedades formales similares con respecto a la homología. En 1937, Borsuk demostró que si es un espacio binormal ( es normal y su producto con el intervalo unitario es normal), entonces todo subespacio cerrado de tiene la propiedad de extensión de homotopía con respecto a cualquier retracción de vecindad absoluta. Asimismo, si es un subespacio cerrado de y la inclusión del subespacio es una retracción de vecindad absoluta, entonces la inclusión de en es una cofibración. ^{[2] [3] El libro de texto introductorio} de Topología Algebraica de Hatcher utiliza una noción técnica de buen par que tiene la misma secuencia larga exacta en homología singular asociada a una cofibración, pero no es equivalente. La noción de cofibración se distingue de éstas porque su definición teórica de homotopía es más susceptible de análisis formal y generalización. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\times I\cup X\times {1}\subset X\times I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$

Si es un mapa continuo entre espacios topológicos, hay un espacio topológico asociado llamado cilindro de mapeo de . Hay una incrustación de subespacio canónico y un mapa de proyección como el que se muestra en el diagrama conmutativo a continuación. Además, es una cofibración y una equivalencia de homotopía. Este resultado se puede resumir diciendo que "cada mapa es equivalente en la categoría de homotopía a una cofibración". ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Mf}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i:X\to Mf}$ ${\displaystyle r:Mf\to Y}$ ${\displaystyle r\circ i=f}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r}$

Arne Strøm ha demostrado un fortalecimiento de este resultado, que cada mapa factoriza como la composición de una cofibración y una equivalencia de homotopía que también es una fibración . ^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$

Se dice que un espacio topológico con un punto de base distinguido está bien apuntado si el mapa de inclusión es una cofibración. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {x}\to X}$

El mapa de inclusión de la esfera límite de un disco sólido es una cofibración para cada . ${\displaystyle S^{n-1}\to D^{n}}$ ${\displaystyle n}$

Un hecho utilizado con frecuencia es que una inclusión celular es una cofibración (así, por ejemplo, si es un par CW , entonces es una cofibración). Esto se desprende del hecho anterior y del hecho de que las cofibraciones son estables bajo expulsión, porque las expulsiones son los mapas de pegado al esqueleto. ${\displaystyle (X,A)}$ ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle n-1}$

En complejos de cadenas

Sea una categoría abeliana con suficientes proyectivos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Si dejamos que sea la categoría de complejos de cadenas que están en grados , entonces hay una estructura de categorías modelo ^{[5] pg 1.2} donde las equivalencias débiles son los cuasi-isomorfismos , las fibraciones son los epimorfismos y las cofibraciones son mapas ${\displaystyle C_{+}({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle q<<0}$

${\displaystyle i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }}$

que son mónicos en grados y el complejo cokernel es un complejo de objetos proyectivos en . De ello se deduce que los objetos cofibrantes son los complejos cuyos objetos son todos proyectivos. ${\displaystyle {\text{Coker}}(i)_{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Conjuntos simples

La categoría de conjuntos simpliciales ^{[5] pg 1.3} hay una estructura de categorías modelo donde las fibraciones son precisamente las fibraciones Kan, las cofibraciones son todas aplicaciones inyectivas y las equivalencias débiles son aplicaciones simpliciales que se convierten en equivalencias de homotopía después de aplicar el funtor de realización geométrica. ${\displaystyle {\textbf {SSet}}}$

Propiedades

• Para los espacios de Hausdorff , toda cofibración es una inclusión cerrada (inyectiva con imagen cerrada); el resultado también se generaliza a espacios débiles de Hausdorff .
• La expulsión de una cofibración es una cofibración. Es decir, si hay cualquier mapa (continuo) (entre espacios generados de forma compacta) y es una cofibración, entonces el mapa inducido es una cofibración. ${\displaystyle g\colon A\to B}$ ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle B\to B\cup _{g}X}$
• El cilindro de mapeo puede entenderse como la expulsión y la incrustación (en un extremo del intervalo unitario) . Es decir, el cilindro de mapeo se puede definir como . Por la propiedad universal del pushout, es una cofibración precisamente cuando se puede construir un cilindro cartográfico para cada espacio X. ${\displaystyle i\colon A\to X}$ ${\displaystyle i_{0}\colon A\to A\times I}$ ${\displaystyle Mi=X\cup _{i}(A\times I)}$ ${\displaystyle i}$
• Hay una cofibración ( A , X ), si y sólo si hay una retracción de a , ya que esta es la expulsión y por lo tanto induce mapas a cada espacio sensible en el diagrama. ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle (A\times I)\cup (X\times \{0\})}$
• Se pueden establecer equivalencias similares para pares deformación-retracción y para pares deformación-retracción vecinales.

Construcciones con cofibraciones

Reemplazo de cofibrante

Tenga en cuenta que en una categoría de modelo, si no es una cofibración, entonces el cilindro de mapeo forma un reemplazo de cofibración . De hecho, si trabajamos sólo en la categoría de espacios topológicos, el reemplazo cofibrante de cualquier mapa desde un punto a un espacio forma un reemplazo cofibrante. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle i:*\to X}$ ${\displaystyle Mi}$

Cofibra

Para una cofibración definimos la cofibra como el espacio cociente inducido . En general, para , la cofibra ^{[1] pg 59} se define como el espacio cociente ${\displaystyle A\to X}$ ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle C_{f}=M_{f}/(A\times \{0\})}$

que es el cono de mapeo de . Homotópicamente, la cofibra actúa como un cokernel de homotopía del mapa . De hecho, para espacios topológicos puntiagudos, el colimit de homotopía de ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle {\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\\end{matrix}}\right)=C_{f}}$

De hecho, la secuencia de mapas viene equipada con la secuencia de cofibra que actúa como un triángulo distinguido en categorías trianguladas. ${\displaystyle X\to Y\to C_{f}}$

Ver también

• Fibración
• Colimit de homotopía
• Fibra de homotopía

Referencias

1. mayo, J. Peter. (1999). Un curso conciso en topología algebraica. Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 0-226-51182-0. OCLC  41266205.
2. Edwin Spanier, Topología algebraica , 1966, pág. 57.
3. Garth Warner, Temas de topología y teoría de la homotopía , sección 6.
4. Arne Strøm, La categoría de homotopía es una categoría de homotopía
5. Quillen, Daniel G. (1967). Álgebra homotópica. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC  294862881.

• Peter May, "Un curso conciso en topología algebraica": el capítulo 6 define y analiza las cofibraciones, y se utilizan en todo
• Marrón, Ronald . "7. Cofibraciones". Topología y grupoides. ISBN 978-1-4196-2722-4.El capítulo 7 tiene muchos resultados que no se encuentran en ningún otro lugar.