Dualidad de Eckmann-Hilton

Teoría en topología algebraica

En las disciplinas matemáticas de la topología algebraica y la teoría de la homotopía , la dualidad de Eckmann-Hilton en su forma más básica consiste en tomar un diagrama dado para un concepto particular e invertir la dirección de todas las flechas, de forma muy similar a lo que ocurre en la teoría de categorías con la idea de la categoría opuesta . Una forma significativamente más profunda sostiene que el hecho de que la noción dual de un límite sea un colimite nos permite cambiar los axiomas de Eilenberg-Steenrod para la homología para obtener axiomas para la cohomología . Recibe su nombre en honor a Beno Eckmann y Peter Hilton .

Discusión

Un ejemplo lo da la currificación , que nos dice que para cualquier objeto , una función es la misma que una función , donde es el objeto exponencial , dado por todas las funciones desde hasta . En el caso de los espacios topológicos , si tomamos como el intervalo unitario, esto conduce a una dualidad entre y , que luego da una dualidad entre la suspensión reducida , que es un cociente de , y el espacio de bucles , que es un subespacio de . Esto luego conduce a la relación adjunta , que permite el estudio de los espectros , que dan lugar a las teorías de cohomología . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\times I\to Y}$ ${\displaystyle X\to Y^{I}}$ ${\displaystyle Y^{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle Y^{I}}$ ${\displaystyle \Sigma X}$ ${\displaystyle X\times I}$ ${\displaystyle \Omega Y}$ ${\displaystyle Y^{I}}$ ${\displaystyle \langle \Sigma X,Y\rangle =\langle X,\Omega Y\rangle }$

También podemos relacionar directamente fibraciones y cofibraciones : una fibración se define por tener la propiedad de elevación de homotopía , representada por el siguiente diagrama ${\displaystyle p\colon E\to B}$

y una cofibración se define por tener la propiedad de extensión de homotopía dual , representada dualizando el diagrama anterior: ${\displaystyle i\colon A\to X}$

Las consideraciones anteriores también se aplican cuando se observan las secuencias asociadas a una fibración o una cofibración, ya que dada una fibración obtenemos la secuencia ${\displaystyle F\to E\to B}$

${\displaystyle \cdots \to \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B\,}$

y dada una cofibración obtenemos la secuencia ${\displaystyle A\to X\to X/A}$

${\displaystyle A\to X\to X/A\to \Sigma A\to \Sigma X\to \Sigma \left(X/A\right)\to \Sigma ^{2}A\to \cdots .\,}$

y más generalmente, la dualidad entre las secuencias de Puppe exactas y coexactas .

Esto también nos permite relacionar homotopía y cohomología: sabemos que los grupos de homotopía son clases de homotopía de aplicaciones de la n -esfera a nuestro espacio, escrito , y sabemos que la esfera tiene un único grupo de cohomología distinto de cero (reducido) . Por otro lado, los grupos de cohomología son clases de homotopía de aplicaciones a espacios con un único grupo de homotopía distinto de cero. Esto viene dado por los espacios de Eilenberg–MacLane y la relación ${\displaystyle \pi _{n}(X,p)\cong \langle S^{n},X\rangle }$ ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle H^{n}(X;G)\cong \langle X,K(G,n)\rangle .}$

Una formalización de las relaciones informales anteriores viene dada por la dualidad de Fuks. ^[1]

Véase también

• Categoría de modelo
• Adjunción tensorial-hom

Referencias

1. Dualidad de Eckmann-Hilton en el laboratorio n

• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0.
• "Dualidad de Eckmann-Hilton", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]