En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría posetal o categoría delgada , [1] es una categoría cuyos homsets contienen cada uno como máximo un morfismo. [2] Como tal, una categoría posetal equivale a una clase preordenada (o un conjunto preordenado , si sus objetos forman un conjunto ). Como sugiere el nombre, a menudo se asume el requisito adicional de que la categoría sea esquelética para la definición de "posetal"; en el caso de una categoría posetal, ser esquelética equivale al requisito de que los únicos isomorfismos sean los morfismos de identidad, de manera equivalente a que la clase preordenada satisfaga la antisimetría y, por lo tanto, si es un conjunto, es un poset .
Todos los diagramas conmutan en una categoría posetal. Cuando los diagramas conmutativos de una categoría se interpretan como una teoría ecuacional tipificada cuyos objetos son los tipos, una categoría posetal codiscreta corresponde a una teoría inconsistente entendida como una que satisface el axioma x = y en todos los tipos.
Al ver una categoría 2 como una categoría enriquecida cuyos objetos homólogos son categorías, los objetos homólogos de cualquier extensión de una categoría posetal a una categoría 2 que tenga las mismas celdas 1 son monoides .
Algunas estructuras de teoría reticular se pueden definir como categorías posetales de cierto tipo, generalmente con el supuesto más fuerte de ser esqueléticas. Por ejemplo, bajo este supuesto, un poset puede definirse como una categoría posetal pequeña, una red distributiva como una categoría distributiva posetal pequeña , un álgebra de Heyting como una categoría cartesiana cerrada finitamente cocompleta posetal pequeña y un álgebra de Boole como un posetal pequeño finitamente cocompleto *-categoría autónoma . Por el contrario, las categorías, las categorías distributivas, las categorías cartesianas cerradas finitamente cocompletas y las categorías autónomas * finitamente cocompletas pueden considerarse las categorizaciones respectivas de posets, redes distributivas, álgebras de Heyting y álgebras de Boole.