En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un diagrama es el análogo categórico de una familia indexada en la teoría de conjuntos . La principal diferencia es que en el contexto categórico uno tiene morfismos que también necesitan indexación. Una familia indexada de conjuntos es una colección de conjuntos, indexada por un conjunto fijo; equivalentemente, una función de un conjunto de índice fijo a la clase de conjuntos . Un diagrama es una colección de objetos y morfismos, indexada por una categoría fija; equivalentemente, un funtor de una categoría de índice fijo a alguna categoría .
Formalmente, un diagrama de tipo J en una categoría C es un funtor ( covariante )
La categoría J se denomina categoría índice o esquema del diagrama D ; al funtor a veces se le denomina diagrama en forma de J . [1] Los objetos y morfismos reales en J son en gran medida irrelevantes; solo importa la forma en que están interrelacionados. Se piensa que el diagrama D indexa una colección de objetos y morfismos en C modelados en J .
Aunque, técnicamente, no hay diferencia entre un diagrama individual y un funtor o entre un esquema y una categoría , el cambio en la terminología refleja un cambio de perspectiva, tal como en el caso de la teoría de conjuntos: uno fija la categoría de índice y permite que el funtor (y, secundariamente, la categoría objetivo) varíe.
Lo más frecuente es que nos interese el caso en el que el esquema J sea una categoría pequeña o incluso finita . Se dice que un diagrama es pequeño o finito cuando J lo es.
Un morfismo de diagramas de tipo J en una categoría C es una transformación natural entre funtores. Se puede interpretar entonces la categoría de diagramas de tipo J en C como la categoría de funtores C J , y entonces un diagrama es un objeto en esta categoría.
Un cono con vértice N de un diagrama D : J → C es un morfismo del diagrama constante Δ( N ) a D . El diagrama constante es el diagrama que envía cada objeto de J a un objeto N de C y cada morfismo al morfismo identidad en N .
El límite de un diagrama D es un cono universal a D . Es decir, un cono a través del cual se factorizan de manera única todos los demás conos. Si el límite existe en una categoría C para todos los diagramas de tipo J se obtiene un funtor
que envía cada diagrama a su límite.
Dualmente, el colimite del diagrama D es un cono universal de D. Si el colimite existe para todos los diagramas de tipo J, se tiene un funtor.
que envía cada diagrama a su colimite.
El funtor universal de un diagrama es el funtor diagonal ; su adjunto derecho es el límite y su adjunto izquierdo es el colimite. [2] Un cono puede considerarse como una transformación natural del funtor diagonal a algún diagrama arbitrario.
Los diagramas y las categorías de funtores se visualizan a menudo mediante diagramas conmutativos , en particular si la categoría de índice es una categoría poset finita con pocos elementos: se dibuja un diagrama conmutativo con un nodo para cada objeto en la categoría de índice y una flecha para un conjunto generador de morfismos, omitiendo los mapas de identidad y los morfismos que se pueden expresar como composiciones. La conmutatividad corresponde a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría poset. A la inversa, cada diagrama conmutativo representa un diagrama (un funtor de una categoría de índice poset) de esta manera.
No todos los diagramas conmutan, ya que no todas las categorías de índice son categorías de conjuntos parciales: en términos más simples, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo ( ), o con dos flechas paralelas ( ; ) no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser imposibles de dibujar (porque son infinitos) o simplemente desordenados (porque hay demasiados objetos o morfismos); sin embargo, los diagramas conmutativos esquemáticos (para subcategorías de la categoría de índice, o con elipses, como para un sistema dirigido) se utilizan para aclarar diagramas tan complejos.
