Carcaj (matemáticas)

Grafo dirigido que es también un multigrafo

En matemáticas , especialmente en teoría de representaciones , un carcaj es otro nombre para un multidígrafo ; es decir, un grafo dirigido donde se permiten  bucles y flechas múltiples entre dos vértices . Los carcaj se usan comúnmente en teoría de representaciones: una representación V de un carcaj asigna un espacio vectorial  V ( x ) a cada vértice  x del carcaj y una función lineal  V ( a ) a cada flecha  a .

En teoría de categorías , un quiver puede entenderse como la estructura subyacente de una categoría , pero sin composición ni designación de morfismos identidad. Es decir, hay un funtor olvidadizo desde Cat (la categoría de categorías) hasta Quiv (la categoría de multidígrafos). Su adjunto izquierdo es un funtor libre que, a partir de un quiver, forma la categoría libre correspondiente .

Definición

Un carcaj Γ consta de:

• El conjunto V de vértices de Γ
• El conjunto E de aristas de Γ
• Dos funciones: ⁠ ⁠ ${\displaystyle s:E\to V}$ dar el inicio o fuente del borde, y otra función, ⁠ ⁠ ${\displaystyle t:E\to V}$ dar el objetivo del borde.

Esta definición es idéntica a la de un multidígrafo .

Un morfismo de quivers es una aplicación de vértices a vértices que lleva aristas dirigidas a aristas dirigidas. Formalmente, si y son dos quivers, entonces un morfismo de quivers consta de dos funciones y tales que los siguientes diagramas conmutan : ${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$ ${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$ ${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$ ${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$ ${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$

Eso es,

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

y

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

Definición de teoría de categorías

La definición anterior se basa en la teoría de conjuntos ; la definición de teoría de categorías generaliza esto en un funtor desde el carcaj libre a la categoría de conjuntos .

El carcaj libre (también llamado carcaj andante , carcaj de Kronecker , carcaj de 2 Kronecker o categoría de Kronecker ) Q es una categoría con dos objetos y cuatro morfismos: Los objetos son V y E. Los cuatro morfismos son y los morfismos identidad y Es ${\displaystyle s:E\to V,}$ decir , el carcaj libre es la categoría ${\displaystyle t:E\to V,}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$ ${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

Un carcaj es entonces un funtor ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} }$ . (Es decir, especifica dos conjuntos y , y dos funciones ; este es el alcance completo de lo que significa ser un funtor desde hasta .) ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (V)}$ ${\displaystyle \Gamma (E)}$ ${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$

De manera más general, un carcaj en una categoría C es un funtor . La ${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$ categoría Quiv ( C ) de carcajs en C es la categoría de funtor donde:

• Los objetos son funtores ${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$
• Los morfismos son transformaciones naturales entre funtores.

Nótese que Quiv es la categoría de prehaces en la categoría opuesta Q ^op .

Álgebra de trayectorias

Si Γ es un carcaj, entonces un camino en Γ es una secuencia de flechas

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

de manera que la cabeza de a _{i +1} es la cola de a _i para i = 1, …, n −1 , utilizando la convención de concatenar caminos de derecha a izquierda. Nótese que un camino en teoría de grafos tiene una definición más estricta, y que este concepto coincide en cambio con lo que en teoría de grafos se llama un paseo .

Si K es un cuerpo , entonces el álgebra de carcaj o álgebra de caminos K  Γ se define como un espacio vectorial que tiene como base todos los caminos (de longitud ≥ 0) en el carcaj (incluyendo, para cada vértice i del carcaj Γ , un camino trivial e _i de longitud 0; no se supone que estos caminos sean iguales para diferentes i ), y la multiplicación se da por concatenación de caminos. Si dos caminos no se pueden concatenar porque el vértice final del primero no es igual al vértice inicial del segundo, su producto se define como cero. Esto define un álgebra asociativa sobre K . Esta álgebra tiene un elemento unitario si y solo si el carcaj tiene solo un número finito de vértices. En este caso, los módulos sobre K  Γ se identifican naturalmente con las representaciones de Γ . Si el carcaj tiene infinitos vértices, entonces K  Γ tiene una identidad aproximada dada por donde F abarca subconjuntos finitos del conjunto de vértices de Γ . ${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$

Si el carcaj tiene un número finito de vértices y flechas, y el vértice final y el vértice inicial de cualquier camino son siempre distintos (es decir, Q no tiene ciclos orientados), entonces K  Γ es un álgebra hereditaria de dimensión finita sobre K . Por el contrario, si K es algebraicamente cerrado, entonces cualquier álgebra asociativa hereditaria de dimensión finita sobre K es equivalente de Morita al álgebra de caminos de su carcaj Ext (es decir, tienen categorías de módulo equivalentes).

Representaciones de carcajs

Una representación de un carcaj Q es una asociación de un módulo R a cada vértice de Q y un morfismo entre cada módulo para cada flecha.

Se dice que una representación V de un carcaj Q es trivial si para todos los vértices x en  Q . ${\displaystyle V(x)=0}$

Un morfismo , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f:V\to V',}$ entre representaciones del carcaj Q , es una colección de aplicaciones lineales ⁠ ⁠ ${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$ tales que para cada flecha a en Q desde x hasta y , es decir, los cuadrados que f forma con las flechas de V y V' conmutan todos. Un morfismo, f , es un isomorfismo , si f ( x ) es invertible para todos los vértices x en el carcaj. Con estas definiciones, las representaciones de un carcaj forman una categoría . ${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$

Si V y W son representaciones de un carcaj Q , entonces la suma directa de estas representaciones, está definida por para todos los vértices x en Q y es la suma directa de las aplicaciones lineales V ( a ) y  W ( a ) . ${\displaystyle V\oplus W,}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$ ${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$

Se dice que una representación es descomponible si es isomorfa a la suma directa de representaciones distintas de cero.

También se puede dar una definición categórica de una representación de carcaj. El carcaj en sí puede considerarse una categoría, donde los vértices son objetos y los caminos son morfismos. Entonces, una representación de Q es simplemente un funtor covariante de esta categoría a la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita . Los morfismos de representaciones de Q son precisamente transformaciones naturales entre los funtores correspondientes.

Para un carcaj finito Γ (un carcaj con un número finito de vértices y aristas), sea K  Γ su álgebra de caminos. Sea e _i el camino trivial en el vértice  i . Entonces podemos asociar al vértice  i el K  Γ -módulo proyectivo K  Γ e _i que consiste en combinaciones lineales de caminos que tienen un vértice inicial  i . Esto corresponde a la representación de Γ obtenida al poner una copia de K en cada vértice que se encuentra en un camino que comienza en i y 0 en cada uno de los otros vértices. A cada arista que une dos copias de K asociamos la función identidad.

Esta teoría fue relacionada con las álgebras de grupos por Derksen, Weyman y Zelevinsky. ^[1]

Carcaj con parientes

Para hacer cumplir la conmutatividad de algunos cuadrados dentro de un carcaj, una generalización es la noción de carcajs con relaciones (también llamados carcajs ligados). Una relación en un carcaj Q es una combinación lineal K de caminos desde Q . Un carcaj con relación es un par ( Q , I ) con Q un carcaj y un ideal del álgebra de caminos. El cociente K  Γ / I es el álgebra de caminos de ( Q , I ) . ${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$

Variedad de carcaj

Dadas las dimensiones de los espacios vectoriales asignados a cada vértice, se puede formar una variedad que caracteriza a todas las representaciones de ese carcaj con esas dimensiones especificadas y considerar las condiciones de estabilidad. Estas dan lugar a variedades de carcaj, como las construidas por King (1994).

Teorema de Gabriel

Un carcaj es de tipo finito si tiene sólo un número finito de clases de isomorfismo de representaciones indecomponibles . Gabriel (1972) clasificó todos los carcajs de tipo finito, y también sus representaciones indecomponibles. Más precisamente, el teorema de Gabriel establece que:

1. Un carcaj (conectado) es de tipo finito si y sólo si su gráfico subyacente (cuando se ignoran las direcciones de las flechas) es uno de los diagramas ADE Dynkin : A _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ .
2. Las representaciones indecomponibles están en correspondencia uno a uno con las raíces positivas del sistema de raíces del diagrama de Dynkin.

Dlab y Ringel (1973) encontraron una generalización del teorema de Gabriel en la que aparecen todos los diagramas de Dynkin de álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. Victor Kac generalizó esto a todos los quivers y sus correspondientes álgebras de Kac-Moody .

Véase también

• Clasificación ADE
• Categoría de adhesivos
• Teoría de ensamblajes
• Álgebra gráfica
• Anillo de grupo
• Álgebra de incidencia
• Diagrama de carcaj
• Semi-invariante de un carcaj
• Variedad tórica
• Geometría algebraica no conmutativa derivada : los carcaj ayudan a codificar los datos de esquemas no conmutativos derivados

Referencias

1. Derksen, Harm; Weyman, Jerzy; Zelevinsky, Andrei (21 de abril de 2008), Carcaj con potenciales y sus representaciones I: Mutaciones , arXiv : 0704.0649. Publicado en J. Amer. Math. Soc. 23 (2010), págs. 749-790.

Libros

Kirillov, Alexander (2016), Representaciones de carcaj y variedades de carcaj, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-2307-0

Notas de la conferencia

• Crawley-Boevey, William, Lectures on Representations of Quivers (PDF) , archivado desde el original el 20 de agosto de 2017{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Representaciones de carcaj en geometría tórica

Investigación

• Variedades tóricas proyectivas como espacios de módulos finos de representaciones de carcaj

Fuentes

• Derksen, Harm; Weyman, Jerzy (febrero de 2005), "Representaciones de Quiver" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 52 (2)
• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1973), Sobre álgebras de tipo de representación finito, Carleton Mathematical Lecture Notes, vol. 2, Departamento de Matemáticas, Carleton Univ., Ottawa, Ont., MR  0347907
• Crawley-Boevey, William (1992), Notas sobre representaciones de carcaj (PDF) , Oxford University , archivado desde el original (PDF) el 24 de julio de 2011 , consultado el 17 de febrero de 2007
• Gabriel, Peter (1972), "Unzerlegbare Darstellungen. I", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71–103, doi :10.1007/BF01298413, ISSN  0025-2611, SEÑOR  0332887.
• Victor Kac, "Sistemas de raíces, representaciones de quivers y teoría de invariantes" . Teoría de invariantes (Montecatini, 1982) , pp. 74-108, Lecture Notes in Math. 996, Springer-Verlag, Berlín 1983. ISBN 3-540-12319-9 ^[1] 
• King, Alastair (1994), "Módulos de representaciones de álgebras de dimensión finita", Quart. J. Math. , 45 (180): 515–530, doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• Savage, Alistair (2006) [2005], "Álgebras de dimensión finita y quivers", en Francoise, J.-P.; Naber, GL; Tsou, ST (eds.), Encyclopedia of Mathematical Physics , vol. 2, Elsevier, págs. 313–320, arXiv : math/0505082 , Bibcode :2005math......5082S
• Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej; Assem, Ibrahim (2007), Elementos de la teoría de representación de álgebras asociativas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
• Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA, "Functores de Coxeter y el teorema de Gabriel" (ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), núm. 2(170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein.
• Carcaj en el laboratorio n

1. Gherardelli, Francesco; Centro Internazionale Matemático Estivo, eds. (1983). Teoría invariante: actas de la primera sesión de 1982 del Centro Internazionale Matematico Estivo (CIME), celebrada en Montecatini, Italia, del 10 al 18 de junio de 1982 . Apuntes de clases de matemáticas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-12319-4.