Prehaz (teoría de categorías)

Functor de la categoría opuesta de una categoría a Conjunto

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un prehaz de una categoría es un funtor . Si es el conjunto parcial de conjuntos abiertos en un espacio topológico , interpretado como una categoría, entonces se recupera la noción habitual de prehaz de un espacio topológico. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle C}$

Un morfismo de prehaces se define como una transformación natural de funtores. Esto convierte la colección de todos los prehaces en en una categoría, y es un ejemplo de una categoría de funtores . A menudo se escribe como . Un funtor into a veces se denomina profuntor . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$

Un prehaz que es naturalmente isomorfo al functor hom contravariante Hom(–, A ) para algún objeto A de C se llama prehaz representable .

Algunos autores se refieren a un funtor como un prehaz con valor . ^[1] ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$

Ejemplos

• Un conjunto simple es un prehaz con valor de conjunto en la categoría simplex . ${\displaystyle C=\Delta }$

Propiedades

• Cuando es una categoría pequeña , la categoría del funtor es cartesianamente cerrada . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$
• El conjunto de subobjetos de forma un álgebra de Heyting , siempre que sea un objeto de para pequeño . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle C}$
• Para cualquier morfismo de , el funtor de pullback de los subobjetos tiene un adjunto derecho , denotado , y un adjunto izquierdo, . Estos son los cuantificadores universales y existenciales. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(Y)\to \mathrm {Sub} _{\widehat {C}}(X)}$ ${\displaystyle \forall _{f}}$ ${\displaystyle \exists _{f}}$
• Una categoría localmente pequeña se integra de manera completa y fiel en la categoría de prehaces con valores de conjunto a través de la integración de Yoneda que asocia a cada objeto el funtor hom . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C(-,A)}$
• La categoría admite límites pequeños y colímites pequeños . ^[2] Véase límite y colímite de prehaces para mayor discusión. ${\displaystyle {\widehat {C}}}$
• El teorema de densidad establece que cada prehaz es un colímite de prehaces representables; de hecho, es la completitud colímite de (ver propiedad #Universal a continuación). ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle C}$

Propiedad universal

La construcción se llama completitud colimite de C debido a la siguiente propiedad universal : ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}=\mathbf {Fct} (C^{\text{op}},\mathbf {Set} )}$

Proposición ^[3]  —  Sean C , D categorías y supongamos que D admite colimites pequeños. Entonces cada funtor se factoriza como ${\displaystyle \eta :C\to D}$

${\displaystyle C{\overset {y}{\longrightarrow }}{\widehat {C}}{\overset {\widetilde {\eta }}{\longrightarrow }}D}$

donde y es la incrustación de Yoneda y es un functor que preserva el colímite, único hasta el isomorfismo, llamado extensión de Yoneda de . ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$ ${\displaystyle \eta }$

Demostración : Dado un prehaz F , por el teorema de densidad , podemos escribir donde son objetos en C . Entonces sea que existe por suposición. Como es funtorial, esto determina el funtor . Sucintamente, es la extensión Kan izquierda de a lo largo de y ; de ahí el nombre de "extensión de Yoneda". Para ver conmutaciones con colimites pequeños, mostramos que es un adjunto izquierdo (a algún funtor). Definimos como el funtor dado por: para cada objeto M en D y cada objeto U en C , ${\displaystyle F=\varinjlim yU_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}F=\varinjlim \eta U_{i},}$ ${\displaystyle \varinjlim -}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}:{\widehat {C}}\to D}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-):D\to {\widehat {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U)=\operatorname {Hom} _{D}(\eta U,M).}$

Entonces, para cada objeto M en D , ya que por el lema de Yoneda, tenemos: ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})=\operatorname {Hom} (yU_{i},{\mathcal {H}}om(\eta ,M))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Hom} _{D}({\widetilde {\eta }}F,M)&=\operatorname {Hom} _{D}(\varinjlim \eta U_{i},M)=\varprojlim \operatorname {Hom} _{D}(\eta U_{i},M)=\varprojlim {\mathcal {H}}om(\eta ,M)(U_{i})\\&=\operatorname {Hom} _{\widehat {C}}(F,{\mathcal {H}}om(\eta ,M)),\end{aligned}}}$

lo que quiere decir que es un adjunto izquierdo a . ${\displaystyle {\widetilde {\eta }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om(\eta ,-)}$ ${\displaystyle \square }$

La proposición produce varios corolarios. Por ejemplo, la proposición implica que la construcción es funcional: es decir, cada funtor determina al funtor . ${\displaystyle C\mapsto {\widehat {C}}}$ ${\displaystyle C\to D}$ ${\displaystyle {\widehat {C}}\to {\widehat {D}}}$

Variantes

Un prehaz de espacios en una ∞-categoría C es un funtor contravariante de C a la ∞-categoría de espacios (por ejemplo, el nervio de la categoría de complejos CW ). ^[4] Es una versión ∞-categoría de un prehaz de conjuntos, ya que un "conjunto" se reemplaza por un "espacio". La noción se utiliza, entre otras cosas, en la formulación ∞-categoría del lema de Yoneda que dice: es completamente fiel (aquí C puede ser simplemente un conjunto simplicial ). ^[5] ${\displaystyle C\to PShv(C)}$

Un copresfaz de una categoría C es un prefaz de C ^op . En otras palabras, es un funtor covariante de C a Set . ^[6]

Véase también

• Topografía
• Categoría de elementos
• Prehaz simplicial (esta noción se obtiene reemplazando "conjunto" por "conjunto simplicial")
• Prehaz con transferencias

Notas

1. Lema de co-Yoneda en el laboratorio n
2. Kashiwara y Schapira 2005, Corolario 2.4.3.
3. Kashiwara y Schapira 2005, Proposición 2.7.1.
4. Lurie, Definición 1.2.16.1.
5. Lurie, Proposición 5.1.3.1.
6. "copresheaf". nLab . Consultado el 4 de septiembre de 2024 .

Referencias

• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2005). Categorías y gavillas. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 332. Saltador. ISBN 978-3-540-27950-1.
• Lurie, J. Teoría de los topos superiores .
• Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992). Haces en geometría y lógica . Springer. ISBN 0-387-97710-4.

Lectura adicional

• Prehaz en el laboratorio n
• Finalización gratuita en el n Lab
• Daniel Dugger, Teoría de haces y homotopía, archivo pdf proporcionado por nlab.