profuntor

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , los profunctores son una generalización de relaciones y también de bimódulos .

Definición

Un profunctor (también llamado distribuidor por la escuela francesa y módulo por la escuela de Sydney) de una categoría a una categoría , escrito ${\displaystyle \,\phi }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$,

se define como un functor

${\displaystyle \phi :D^{\mathrm {op} }\times C\to \mathbf {Set} }$

donde denota la categoría opuesta de y denota la categoría de conjuntos . Dados los morfismos respectivamente en y un elemento , escribimos para denotar las acciones. ${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle f:d\to d',g:c\to c'}$ ${\displaystyle D,C}$ ${\displaystyle x\in \phi (d',c)}$ ${\displaystyle xf\in \phi (d,c),gx\in \phi (d',c')}$

Usando el cierre cartesiano de la categoría de categorías pequeñas , el profunctor puede verse como un funtor. ${\displaystyle \mathbf {Cat} }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}}$

donde denota la categoría de prehaces sobre . ${\displaystyle {\hat {D}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Set} ^{D^{\mathrm {op} }}}$ ${\displaystyle D}$

Una correspondencia de a es un profunctor . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D\nrightarrow C}$

Profuntores como categorías

Una definición equivalente de profunctor es una categoría cuyos objetos son la unión disjunta de los objetos de y los objetos de , y cuyos morfismos son los morfismos de y los morfismos de , más cero o más morfismos adicionales de objetos de a objetos de . Los conjuntos en la definición formal anterior son los conjuntos homólogos entre objetos de y objetos de . (Estos también se conocen como het-conjuntos, ya que los morfismos correspondientes pueden denominarse heteromorfismos ). La definición anterior se puede recuperar mediante la restricción del funtor hom a . ${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \phi ^{\text{op}}\times \phi \to \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle D^{\text{op}}\times C}$

Esto también deja claro que se puede pensar en un profunctor como una relación entre los objetos de y los objetos de , donde cada miembro de la relación está asociado con un conjunto de morfismos. Un funtor es un caso especial de profunctor de la misma manera que una función es un caso especial de una relación. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$

Composición de profunctores

El compuesto de dos profunctores. ${\displaystyle \psi \phi }$

${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$y ${\displaystyle \psi :D\nrightarrow E}$

es dado por

${\displaystyle \psi \phi =\mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})\circ {\hat {\phi }}}$

¿Dónde está la extensión Kan izquierda del funtor a lo largo del funtor Yoneda de (que a cada objeto de asocia el funtor )? ${\displaystyle \mathrm {Lan} _{Y_{D}}({\hat {\psi }})}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}}$ ${\displaystyle Y_{D}:D\to {\hat {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D(-,d):D^{\mathrm {op} }\to \mathrm {Set} }$

Se puede demostrar que

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\left(\coprod _{d\in D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)\right){\Bigg /}\sim }$

¿Dónde está la menor relación de equivalencia tal que siempre que exista un morfismo tal que ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle (y',x')\sim (y,x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle y'=vy\in \psi (e,d')}$ y . ${\displaystyle x'v=x\in \phi (d,c)}$

De manera equivalente, la composición profunctor se puede escribir usando un coend

${\displaystyle (\psi \phi )(e,c)=\int ^{d\colon D}\psi (e,d)\times \phi (d,c)}$

Bicategoría de profuntores

La composición de los profunctores es asociativa sólo hasta el isomorfismo (porque el producto no es estrictamente asociativo en Set ). Por lo tanto, lo mejor que se puede esperar es construir un profesor bicategoría cuyo

• Las celdas 0 son categorías pequeñas ,
• 1 celdas entre dos categorías pequeñas son los profunctores entre esas categorías,
• 2 celdas entre dos profunctores son las transformaciones naturales entre esos profunctores.

Propiedades

Elevación de functores a profunctores

Un functor puede verse como profunctor poscomponiendo con el functor Yoneda: ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle \phi _{F}:C\nrightarrow D}$

${\displaystyle \phi _{F}=Y_{D}\circ F}$.

Se puede demostrar que dicho profunctor tiene un adjunto derecho. Además, esta es una caracterización: un profunctor tiene un adjunto derecho si y sólo si factores a través de la terminación de Cauchy de , es decir, existe un funtor tal que . ${\displaystyle \phi _{F}}$ ${\displaystyle \phi :C\nrightarrow D}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}:C\to {\hat {D}}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F:C\to D}$ ${\displaystyle {\hat {\phi }}=Y_{D}\circ F}$

Ver también

• Anafunctor

Referencias

• Bénabou, Jean (2000), Distribuidores en el trabajo (PDF)
• Borceux, Francisco (1994). Manual de álgebra categórica . TAZA.
• Lurie, Jacob (2009). Teoría del Topos Superior . Prensa de la Universidad de Princeton.
• Profunctor en el Laboratorio n
• Heteromorfismo en el n Lab