bimódulo

Grupo abeliano equipado con acción de anillo compatible en ambos lados.

En álgebra abstracta , un bimódulo es un grupo abeliano que es a la vez módulo izquierdo y derecho , de modo que las multiplicaciones izquierda y derecha son compatibles. Además de aparecer naturalmente en muchas partes de las matemáticas, los bimódulos desempeñan un papel clarificador, en el sentido de que muchas de las relaciones entre los módulos izquierdo y derecho se vuelven más simples cuando se expresan en términos de bimódulos.

Definición

Si R y S son dos anillos , entonces un bimódulo R - S es un grupo abeliano ( M , +) tal que:

1. M es un módulo R izquierdo y un módulo S derecho .
2. Para todo r en R , s en S y m en M :
   $${\displaystyle (r.m).s=r.(m.s).}$$

Un bimódulo R - R también se conoce como bimódulo R.

Ejemplos

• Para enteros positivos n y m , el conjunto M _{n , m} ( R ) de matrices n × m de números reales es un bimódulo R - S , donde R es el anillo M _n ( R ) de matrices n × n , y S es el anillo M _m ( R ) de matrices m × m . La suma y la multiplicación se realizan utilizando las reglas habituales de suma y multiplicación de matrices ; Las alturas y anchos de las matrices se han elegido de manera que se defina la multiplicación. Tenga en cuenta que M _{n , m} ( R ) en sí no es un anillo (a menos que n = m ), porque multiplicar una matriz de n × m por otra matriz de n × m no está definido. La propiedad crucial del bimódulo, que ( r . x ). s = r .( x . s ) , es la afirmación de que la multiplicación de matrices es asociativa (lo que, en el caso de una matriz anillo , corresponde a la asociatividad ).
• Cualquier álgebra A sobre un anillo R tiene la estructura natural de un R -bimódulo, con la multiplicación izquierda y derecha definida por r . a = φ ( r ) a y a . r = aφ ( r ) respectivamente, donde φ  : R → A es la incrustación canónica de R en A .
• Si R es un anillo, entonces R en sí puede considerarse como un bimódulo R - R tomando las acciones izquierda y derecha como multiplicación: las acciones conmutan por asociatividad. Esto se puede extender a R ⁿ (el producto directo n veces de R ).
• Cualquier ideal de dos lados de un anillo R es un R - R -bimódulo, con la multiplicación del anillo como multiplicación izquierda y derecha.
• Cualquier módulo sobre un anillo conmutativo R tiene la estructura natural de un bimódulo. Por ejemplo, si M es un módulo izquierdo, podemos definir la multiplicación de la derecha como lo mismo que la multiplicación de la izquierda. (Sin embargo, no todos los R -bimódulos surgen de esta manera: pueden existir otras multiplicaciones correctas compatibles).
• Si M es un módulo R izquierdo , entonces M es un bimódulo R - Z , donde Z es el anillo de números enteros . De manera similar, los módulos R derechos pueden interpretarse como bimódulos Z - R. Cualquier grupo abeliano puede tratarse como un bimódulo Z - Z.
• Si M es un módulo R derecho , entonces el conjunto End _R ( M ) de endomorfismos del módulo R es un anillo con la multiplicación dada por la composición. El anillo de endomorfismo End _R ( M ) actúa sobre M mediante la multiplicación por la izquierda definida por f . x = f ( x ) . La propiedad del bimódulo, que ( f . x ). r = f .( x . r ) , reafirma que f es un homomorfismo del módulo R de M a sí mismo. Por lo tanto, cualquier módulo R derecho M es un bimódulo final _R ( M ) -R . De manera similar, cualquier R -módulo N izquierdo es un R -End _R ( N ) ^op -bimódulo.
• Si R es un subanillo de S , entonces S es un bimódulo R - R. También es un bimódulo R - S - y S - R.
• Si M es un bimódulo S - R y N es un bimódulo R - T , entonces M ⊗ _R N es un bimódulo S - T.

Más nociones y hechos

Si M y N son R - S -bimódulos, entonces un mapa f  : M → N es un homomorfismo de bimódulo si es a la vez un homomorfismo de R -módulos izquierdos y de S -módulos derechos.

Un bimódulo R - S es en realidad lo mismo que un módulo izquierdo sobre el anillo R ⊗ _Z S ^op , donde S ^op es el anillo opuesto de S (donde la multiplicación se define con los argumentos intercambiados). Los homomorfismos de bimódulo son los mismos que los homomorfismos de los módulos ^{op izquierdo} R ⊗ _Z S. Utilizando estos hechos, muchas definiciones y afirmaciones sobre módulos se pueden traducir inmediatamente en definiciones y afirmaciones sobre bimódulos. Por ejemplo, la categoría de todos los bimódulos R - S es abeliana y los teoremas de isomorfismo estándar son válidos para los bimódulos.

Sin embargo, hay algunos efectos nuevos en el mundo de los bimódulos, especialmente cuando se trata del producto tensorial : si M es un bimódulo R - S y N es un bimódulo S - T , entonces el producto tensorial de M y N (tomado sobre el anillo S ) es un bimódulo R - T de forma natural. Este producto tensorial de bimódulos es asociativo ( hasta un isomorfismo canónico único) y, por tanto, se puede construir una categoría cuyos objetos son los anillos y cuyos morfismos son los bimódulos. De hecho, esta es una categoría de 2 , de manera canónica: 2 morfismos entre los bimódulos R - S M y N son exactamente homomorfismos de bimódulos, es decir, funciones

${\displaystyle f:M\rightarrow N}$

que satisfacen

1. ${\displaystyle f(m+m')=f(m)+f(m')}$
2. ${\displaystyle f(r.m.s)=r.f(m).s}$,

para metro ∈ M , r ∈ R y s ∈ S . Se verifica inmediatamente la ley de intercambio para homomorfismos de bimódulo, es decir

${\displaystyle (f'\otimes g')\circ (f\otimes g)=(f'\circ f)\otimes (g'\circ g)}$

se mantiene siempre que se define cualquiera de los lados (y por tanto el otro) de la ecuación, y donde ∘ es la composición habitual de homomorfismos. En esta interpretación, la categoría End ( R ) = Bimod ( R , R ) es exactamente la categoría monoidal de R - R -bimódulos con el producto tensorial habitual sobre R el producto tensorial de la categoría. En particular, si R es un anillo conmutativo , cada módulo R izquierdo o derecho es canónicamente un bimódulo R - R , lo que da una incrustación monoidal de la categoría R - Mod en Bimod ( R , R ) . El caso de que R sea un campo K es un ejemplo motivador de una categoría monoidal simétrica, en cuyo caso R - Mod = K - Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre K , con el producto tensorial habitual ⊗ = ⊗ _K dando la estructura monoidal , y con unidad K . También vemos que un monoide en Bimod ( R , R ) es exactamente un R -álgebra. ^[1] Además, si M es un bimódulo R - S y L es un bimódulo T - S , entonces el conjunto Hom _S ( M , L ) de todos los homomorfismos del módulo S de M a L se convierte en un T - R - módulo de forma natural. Estas declaraciones se extienden a los functores derivados Ext y Tor .

Los profunctores pueden verse como una generalización categórica de los bimódulos.

Tenga en cuenta que los bimódulos no están relacionados en absoluto con las biálgebras .

Ver también

• profuntor

Referencias

1. Street, Ross (20 de marzo de 2003). "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia". arXiv : matemáticas/0303175 .

• Jacobson, N. (1989). Álgebra básica II . WH Freeman y compañía. págs. 133-136. ISBN 0-7167-1933-9.