Estricto 2 categorías

Generalización de categoría

En teoría de categorías , una categoría 2 estricta es una categoría con " morfismos entre morfismos", es decir, donde cada conjunto de homs lleva la estructura de una categoría. Puede definirse formalmente como una categoría enriquecida sobre Cat (la categoría de categorías y functores , con la estructura monoide dada por producto de categorías ).

El concepto de 2 categorías fue introducido por primera vez por Charles Ehresmann en su trabajo sobre categorías enriquecidas en 1965. ^[1] El concepto más general de bicategoría (o 2 categorías débiles ), donde la composición de morfismos es asociativa sólo hasta 2 categorías. El isomorfismo, fue introducido en 1968 por Jean Bénabou . ^[2]

Definición

Una categoría C de 2  consta de:

• Una clase de 0 celdas (u objetos ) A , B , ....
• Para todos los objetos A y B , una categoría . Los objetos de esta categoría se denominan 1 celda y sus morfismos se denominan 2 celdas ; La composición en esta categoría generalmente se escribe o se llama composición vertical o composición a lo largo de una celda . ${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle f,g:A\to B}$ ${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle \circ _{1}}$
• Para cualquier objeto  A hay un functor de la categoría terminal (con un objeto y una flecha) que selecciona la identidad _de 1 celda  id _A en A y su identidad de 2 celdas  id _A . En la práctica , estos dos a menudo se denotan simplemente por A. ${\displaystyle \mathbf {C} (A,A)}$
• Para todos los objetos A , B y C , existe un functor , llamado composición horizontal o composición a lo largo de una celda 0 , que es asociativo y admite ^{[ se necesita aclaración ]} la identidad de 1 y 2 celdas de id _A como identidades. Aquí, la asociatividad para significa que componer horizontalmente dos veces es independiente de cuál de los dos se compone primero. El símbolo de composición a menudo se omite, ya que el compuesto horizontal de 2 celdas se escribe simplemente como . ${\displaystyle \circ _{0}\colon \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)\to \mathbf {C} (A,C)}$ ${\displaystyle \circ _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (A,D)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (C,D)\times \mathbf {C} (B,C)}$ ${\displaystyle \mathbf {C} (B,C)\times \mathbf {C} (A,B)}$ ${\displaystyle \circ _{0}}$ ${\displaystyle \alpha \colon f\Rightarrow g\colon A\to B}$ ${\displaystyle \beta \colon f'\Rightarrow g'\colon B\to C}$ ${\displaystyle \beta \alpha \colon f'f\Rightarrow g'g\colon A\to C}$

La terminología de 0 celdas , 1 celdas y 2 celdas se reemplaza por 0-morfismos , 1-morfismos y 2-morfismos en algunas fuentes ^[3] (ver también Teoría de categorías superiores ).

La noción de 2 categorías difiere de la noción más general de bicategoría en que se requiere que la composición de 1 celda (composición horizontal) sea estrictamente asociativa, mientras que en una bicategoría solo necesita ser asociativa hasta un 2 isomorfismo. Los axiomas de una categoría 2 son consecuencias de su definición como categorías enriquecidas con Cat :

• La composición vertical es asociativa y unital, siendo las unidades la identidad de 2 celdas id _f .
• La composición horizontal también es (estrictamente) asociativa y unital, siendo las unidades la identidad de 2 celdas id _{id A} sobre la identidad de 1 celdas id _A.
• La ley de intercambio se mantiene; es decir, es cierto que para 2 celdas componibles ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$

${\displaystyle (\alpha \circ _{0}\beta )\circ _{1}(\gamma \circ _{0}\delta )=(\alpha \circ _{1}\gamma )\circ _{0}(\beta \circ _{1}\delta )}$

La ley de intercambio se deriva del hecho de que es un funtor entre categorías hom. Se puede dibujar como un diagrama de pegado de la siguiente manera: ${\displaystyle \circ _{0}}$

Aquí, el diagrama de la izquierda indica la composición vertical de los compuestos horizontales, el diagrama de la derecha indica la composición horizontal de los compuestos verticales y el diagrama del centro es la representación habitual de ambos. Las de 2 celdas se dibujan con flechas dobles ⇒, las de 1 celda con flechas simples → y las de 0 celdas con puntos.

Ejemplos

La categoría Ord (de conjuntos reservados) es una categoría 2, ya que los conjuntos reservados se pueden interpretar fácilmente como categorías.

Categoría de categorías pequeñas

La categoría 2 arquetípica es la categoría de categorías pequeñas , con transformaciones naturales que sirven como 2-morfismos; Por lo general, los 2 morfismos se indican con letras griegas (como las anteriores) por este motivo. ${\displaystyle \alpha }$

Los objetos ( 0 celdas ) son todos categorías pequeñas, y para todos los objetos A y B la categoría es una categoría funtor . En este contexto, la composición vertical es ^[4] la composición de transformaciones naturales. ${\displaystyle \mathbf {C} (A,B)}$

Doctrinas

En matemáticas, una doctrina es simplemente una categoría 2 que heurísticamente se considera un sistema de teorías. Por ejemplo, las teorías algebraicas , tal como las inventó William Lawvere , son un ejemplo de doctrina, al igual que las teorías multiclasificadas, las óperas , las categorías y los topos .

Los objetos de la categoría 2 se denominan teorías , los morfismos 1 se denominan modelos de A en B y los morfismos 2 se denominan morfismos entre modelos. ${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$

La distinción entre una categoría 2 y una doctrina es en realidad sólo heurística: normalmente no se considera que una categoría 2 esté poblada por teorías como objetos y modelos como morfismos. Es este vocabulario el que hace que la teoría de las doctrinas valga la pena.

Por ejemplo, el Cat de 2 categorías de categorías, functores y transformaciones naturales es una doctrina. Se ve inmediatamente que todas las categorías previas al haz son categorías de modelos.

Como otro ejemplo, se puede tomar la subcategoría de Cat que consta únicamente de categorías con productos finitos como objetos y funtores que preservan el producto como 1-morfismos. Ésta es la doctrina de las teorías algebraicas de orden múltiple. Si solo se quisieran teorías algebraicas de orden 1, se restringirían los objetos únicamente a aquellas categorías que se generan bajo productos por un solo objeto.

Las doctrinas fueron descubiertas por Jonathan Mock Beck .

Ver también

• n -categoría
• 2 categorías en el n Lab

Referencias

1. Charles Ehresmann , Catégories etstructures, Dunod, París 1965.
2. Jean Bénabou , Introducción a las bicategorías, en Reports of the Midwest Category Seminar, Springer, Berlín, 1967, págs.
3. "2 categorías en nLab". ncatlab.org . Consultado el 20 de febrero de 2023 .
4. "composición vertical en nLab". ncatlab.org . Consultado el 20 de febrero de 2023 .

Notas a pie de página

• Modelos algebraicos generalizados , de Claudia Centazzo.

enlaces externos

• Medios relacionados con la categoría Estricta 2 en Wikimedia Commons