biálgebra

En matemáticas , una biálgebra sobre un campo K es un espacio vectorial sobre K que es a la vez un álgebra asociativa unital y una coalgebra coasociativa counital . ^{[1] : 46} Las estructuras algebraicas y coalgebraicas se hacen compatibles con algunos axiomas más. Específicamente, la comultiplicación y la unidad son ambos homomorfismos de álgebra unital , o de manera equivalente, la multiplicación y la unidad del álgebra son morfismos de coalgebra . ^{[1] : 46} (Estos enunciados son equivalentes ya que se expresan mediante los mismos diagramas conmutativos .) ^{[1] : 46}

Biálgebras similares están relacionadas por homomorfismos de biálgebra. Un homomorfismo biálgebra es un mapa lineal que es tanto un homomorfismo de álgebra como de coalgebra. ^{[2] : 45}

Como se refleja en la simetría de los diagramas conmutativos, la definición de biálgebra es autodual , por lo que si se puede definir un dual de B (lo cual siempre es posible si B es de dimensión finita), entonces automáticamente es una biálgebra.

Definicion formal

( B , ∇, η, Δ, ε) es una biálgebra sobre K si tiene las siguientes propiedades:

• B es un espacio vectorial sobre K ;
• hay K - aplicaciones lineales (multiplicación) ∇: B ⊗ B → B (equivalente a K - aplicación multilineal ∇: B × B → B ) y (unidad) η: K → B , tal que ( B , ∇, η) es un álgebra asociativa unital ;
• hay K -maps lineales (comultiplicación) Δ: B → B ⊗ B y (cuenta) ε: B → K , tales que ( B , Δ, ε) es una coalgebra (coasociativa counital) ;
• condiciones de compatibilidad expresadas por los siguientes diagramas conmutativos :

1. Multiplicación ∇ y comultiplicación Δ ^{[3] : 147}

   

   donde τ: B ⊗ B → B ⊗ B es el mapa lineal definido por τ( x ⊗ y ) = y ⊗ x para todo x e y en B ,

2. Multiplicación ∇ y unidad ε ^{[4] : 148}

   

3. Comultiplicación Δ y unidad η ^{[4] : 148}

   

4. Unidad η y unidad ε ^{[4] : 148}

   

Coasociatividad y unidad.

El mapa K -lineal Δ: B → B ⊗ B es coasociativo si . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

El mapa K -lineal ε: B → K es una unidad si . ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

La coasociatividad y la unidad se expresan mediante la conmutatividad de los dos diagramas siguientes (son los duales de los diagramas que expresan asociatividad y unidad de un álgebra):

Condiciones de compatibilidad

Los cuatro diagramas conmutativos se pueden leer como "la comultiplicación y la unidad son homomorfismos de álgebras" o, de manera equivalente, "la multiplicación y la unidad son homomorfismos de coalgebras".

Estas afirmaciones tienen sentido una vez que explicamos las estructuras naturales del álgebra y la coalgebra en todos los espacios vectoriales involucrados además de B : ( K , ∇ ₀ , η ₀ ) es un álgebra asociativa unital de manera obvia y ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ ) es un álgebra asociativa unital con unidad y multiplicación

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

de modo que o, omitiendo ∇ y escribiendo la multiplicación como yuxtaposición , ; ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$ ${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$

de manera similar, ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) es una coalgebra de manera obvia y B ⊗ B es una coalgebra con unidad y comultiplicación

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Entonces, los diagramas 1 y 3 dicen que Δ: B → B ⊗ B es un homomorfismo de álgebras unitales (asociativas) ( B , ∇, η) y ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ )

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ( xy ) = Δ( x ) Δ( y ),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, o simplemente Δ(1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

Los diagramas 2 y 4 dicen que ε: B → K es un homomorfismo de álgebras unitales (asociativas) ( B , ∇, η) y ( K , ∇ ₀ , η ₀ ):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, o simplemente ε( xy ) = ε( x ) ε( y )

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, o simplemente ε(1 _B ) = 1 _K .

De manera equivalente, los diagramas 1 y 2 dicen que ∇: B ⊗ B → B es un homomorfismo de coalgebras (coasociativas de condado) ( B ⊗ B , Δ ₂ , ε ₂ ) y ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}$;

Los diagramas 3 y 4 dicen que η: K → B es un homomorfismo de coalgebras (coasociativas de condado) ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) y ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$,

dónde

${\displaystyle \epsilon _{0}=id_{K}=\eta _{0}}$.

Ejemplos

bialgebra grupal

Un ejemplo de biálgebra es el conjunto de funciones de un grupo finito G (o más generalmente, cualquier monoide finito ) , que podemos representar como un espacio vectorial que consta de combinaciones lineales de vectores de base estándar , por ejemplo, _g para cada g  ∈  G , que puede representar una distribución de probabilidad sobre G en el caso de vectores cuyos coeficientes son todos no negativos y suman 1. Un ejemplo de operadores de comultiplicación adecuados y unidades que producen una coalgebra regional son ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,}$

que representa hacer una copia de una variable aleatoria (que extendemos a todos por linealidad), y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,}$

(nuevamente extendido linealmente a todos ) que representa "rastrear" una variable aleatoria, es decir,  olvidar el valor de una variable aleatoria (representada por un único factor tensorial) para obtener una distribución marginal de las variables restantes (los factores tensoriales restantes) . Dada la interpretación de (Δ,ε) en términos de distribuciones de probabilidad como se indicó anteriormente, las condiciones de consistencia biálgebra equivalen a restricciones sobre (∇,η) de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

1. η es un operador que prepara una distribución de probabilidad normalizada que es independiente de todas las demás variables aleatorias;
2. El producto ∇ asigna una distribución de probabilidad de dos variables a una distribución de probabilidad de una variable;
3. Copiar una variable aleatoria en la distribución dada por η equivale a tener dos variables aleatorias independientes en la distribución η;
4. Tomar el producto de dos variables aleatorias y preparar una copia de la variable aleatoria resultante tiene la misma distribución que preparar copias de cada variable aleatoria independientemente una de otra y multiplicarlas en pares.

Un par (∇,η) que satisface estas restricciones es el operador de convolución

${\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,}$

nuevamente extendido a todos por la linealidad; esto produce una distribución de probabilidad normalizada a partir de una distribución de dos variables aleatorias, y tiene como unidad la distribución delta donde i  ∈  G denota el elemento de identidad del grupo G. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}}$ ${\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}\;,}$

Otros ejemplos

Otros ejemplos de biálgebras incluyen el álgebra tensorial , que se puede convertir en una biálgebra sumando la comultiplicación y la unidad apropiadas; estos se resuelven en detalle en ese artículo.

Las biálgebras a menudo pueden extenderse a las álgebras de Hopf , si se puede encontrar una antípoda adecuada; por tanto, todas las álgebras de Hopf son ejemplos de biálgebras. ^{[5] : 151} Estructuras similares con diferente compatibilidad entre el producto y la comultiplicación, o diferentes tipos de multiplicación y comultiplicación, incluyen las bialgebras de Lie y las álgebras de Frobenius . Se dan ejemplos adicionales en el artículo sobre coalgebras .

Ver también

• Cuasi-bialgebra

Notas

1. Kassel 2012, pag. 46.
2. Kassel 2012, pag. 45.
3. Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu 2001, p. 147.
4. Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu 2001, p. 148.
5. Dăscălescu, Năstăsescu y Raianu 2001, p. 151.

Referencias

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), "4. Bialgebras y álgebras de Hopf", Álgebras de Hopf: una introducción, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 235, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9.
• Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, V. (2010). "Bialgebras y álgebras de Hopf. Motivación, definiciones y ejemplos". Álgebras, Anillos y Módulos Álgebras de Lie y Álgebras de Hopf. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 131-173. ISBN 978-0-8218-5262-0.Descargar PDF de texto completo
• Kassel, cristiano (2012). "El lenguaje de las álgebras de Hopf". Grupos cuánticos. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-1-4612-0783-2.
• Underwood, Robert G. (28 de agosto de 2011). Introducción a las álgebras de Hopf. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-387-72766-0. Libro en línea