Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N y un grupo abeliano G , se dice que un mapa φ : M × N → G es R equilibrado , R lineal medio o un R Producto equilibrado si para todo m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R se cumple lo siguiente: [1] : 126
El conjunto de todos esos productos equilibrados sobre R desde M × N hasta G se denota por LR ( M , N ; G ) .
Si φ , ψ son productos balanceados, entonces cada una de las operaciones φ + ψ y − φ definidas puntualmente es un producto balanceado. Esto convierte el conjunto L R ( M , N ; G ) en un grupo abeliano.
Para M y N fijos, el mapa G ↦ L R ( M , N ; G ) es un functor de la categoría de grupos abelianos hacia sí mismo. La parte de morfismo se obtiene asignando un homomorfismo de grupo g : G → G ′ a la función φ ↦ g ∘ φ , que va de L R ( M , N ; G ) a L R ( M , N ; G ′ ) .
Observaciones
Las propiedades (Dl) y (Dr) expresan la biaditividad de φ , que puede considerarse como distributividad de φ sobre la suma.
Cada anillo R es un R - bimódulo . Entonces, la multiplicación del anillo ( r , r ′) ↦ r ⋅ r ′ en R es un producto R -equilibrado R × R → R .
Definición
Para un anillo R , un módulo R derecho M , un módulo R izquierdo N , el producto tensorial sobre R
es un grupo abeliano junto con un producto equilibrado (como se define anteriormente)
que es universal en el siguiente sentido: [2]
Para cada grupo abeliano G y cada producto balanceado existe un homomorfismo de grupo único tal que
Como ocurre con todas las propiedades universales , la propiedad anterior define el producto tensorial de forma única hasta un isomorfismo único: cualquier otro grupo abeliano y producto equilibrado con las mismas propiedades será isomorfo a M ⊗ R N y ⊗. De hecho, el mapeo ⊗ se llama canónico , o más explícitamente: el mapeo canónico (o producto balanceado) del producto tensorial. [3]
La definición no prueba la existencia de M ⊗ R N ; ver más abajo para una construcción.
El producto tensorial también se puede definir como un objeto representativo del funtor G → L R ( M , N ; G ) ; explícitamente, esto significa que hay un isomorfismo natural :
Ésta es una forma sucinta de enunciar la propiedad de mapeo universal dada anteriormente. (Si a priori se le da este isomorfismo natural, entonces se puede recuperar tomando y luego mapeando el mapa de identidad).
De manera similar, dada la identificación natural , [4] también se puede definir M ⊗ R N mediante la fórmula
para la imagen de ( x , y ) debajo del mapa canónico . A menudo se le llama tensor puro . Estrictamente hablando, la notación correcta sería x ⊗ R y pero lo convencional es eliminar R aquí. Luego, inmediatamente de la definición, surgen relaciones:
La propiedad universal de un producto tensorial tiene la siguiente consecuencia importante:
Proposición : cada elemento de se puede escribir, de forma no única, como
En otras palabras, la imagen de genera . Además, si f es una función definida sobre elementos con valores en un grupo abeliano G , entonces f se extiende únicamente al homomorfismo definido en su conjunto si y sólo si es -bilineal en x e y .
Prueba: Para la primera afirmación, sea L el subgrupo de elementos generados por la forma en cuestión, y q el cociente correspondiente a Q. Tenemos: así como . Por lo tanto, por la parte de unicidad de la propiedad universal, q = 0. La segunda afirmación se debe a que para definir un homomorfismo de módulo , basta con definirlo en el conjunto generador del módulo.
Aplicación de la propiedad universal de los productos tensoriales.
Determinar si un producto tensorial de módulos es cero
En la práctica, a veces es más difícil demostrar que un producto tensorial de R -módulos es distinto de cero que demostrar que es 0. La propiedad universal proporciona una manera conveniente de comprobar esto.
Para comprobar que un producto tensorial es distinto de cero, se puede construir un mapa R -bilineal de un grupo abeliano tal que . Esto funciona porque si , entonces .
Por ejemplo, para ver que , es distinto de cero, supongamos que es y . Esto dice que los tensores puros siempre que sean distintos de cero en .
Para módulos equivalentes
La proposición dice que se puede trabajar con elementos explícitos de los productos tensoriales en lugar de invocar la propiedad universal directamente cada vez. Esto es muy conveniente en la práctica. Por ejemplo, si R es conmutativo y las acciones izquierda y derecha de R sobre los módulos se consideran equivalentes, entonces, naturalmente, se puede proporcionar la multiplicación escalar R extendiendo
al todo la proposición anterior (estrictamente hablando, lo que se necesita es una estructura bimódulo, no conmutatividad; consulte el párrafo siguiente). Equipado con esta estructura de módulo R , satisface una propiedad universal similar a la anterior: para cualquier módulo R G , existe un isomorfismo natural:
Si R no es necesariamente conmutativo pero si M tiene una acción izquierda por un anillo S (por ejemplo, R ), entonces se le puede dar la estructura del módulo S izquierdo, como arriba, mediante la fórmula
De manera análoga, si N tiene una acción recta mediante un anillo S , entonces se convierte en un módulo S recto .
Producto tensorial de mapas lineales y un cambio de anillo base.
Dados mapas lineales de módulos derechos sobre un anillo R y de módulos izquierdos, existe un homomorfismo de grupo único
La construcción tiene como consecuencia que el tensor es un funtor: cada R -módulo M derecho determina el funtor
de la categoría de módulos izquierdos a la categoría de grupos abelianos que envía N a M ⊗ N y un homomorfismo de módulo f al homomorfismo de grupo 1 ⊗ F.
Si es un homomorfismo de anillo y si M es un módulo S derecho y N un módulo S izquierdo , entonces existe el homomorfismo sobreyectivo canónico:
inducido por [5]
El mapa resultante es sobreyectivo ya que los tensores puros x ⊗ y generan el módulo completo. En particular, tomar R como esto muestra que cada producto tensorial de módulos es un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos.
Varios módulos
(Esta sección debe actualizarse. Por ahora, consulte § Propiedades para una discusión más general).
Es posible ampliar la definición a un producto tensorial de cualquier número de módulos sobre el mismo anillo conmutativo. Por ejemplo, la propiedad universal de
M 1 ⊗ M 2 ⊗ M 3
es que cada mapa trilineal en
M 1 × M 2 × M 3 → Z
corresponde a un mapa lineal único
METRO 1 ⊗ METRO 2 ⊗ METRO 3 → Z .
El producto tensor binario es asociativo: ( M 1 ⊗ M 2 ) ⊗ M 3 es naturalmente isomorfo a M 1 ⊗ ( M 2 ⊗ M 3 ). El producto tensorial de tres módulos definidos por la propiedad universal de los mapas trilineales es isomorfo a ambos productos tensoriales iterados.
Propiedades
Módulos sobre anillos generales.
Sean R 1 , R 2 , R 3 , R anillos, no necesariamente conmutativos.
Para un bimódulo R 1 - R 2 M 12 y un módulo R 2 izquierdo M 20 , es un módulo R 1 izquierdo .
Para un módulo R 2 derecho M 02 y un bimódulo R 2 - R 3 M 23 , es un módulo R 3 derecho .
(asociatividad) Para un módulo R 1 derecho M 01 , un bimódulo R 1 - R 2 M 12 y un módulo R 2 izquierdo M 20 tenemos: [6]
Dado que R es un bimódulo R - R , tenemos la multiplicación de anillos como su producto canónico equilibrado.
Módulos sobre anillos conmutativos
Sea R un anillo conmutativo y M , N y P sean R -módulos. Entonces
Identidad
asociatividad
Las primeras tres propiedades (más identidades sobre morfismos) dicen que la categoría de R -módulos, con R conmutativo, forma una categoría monoidal simétrica . Por tanto está bien definido.
Simetría
De hecho, para cualquier permutación σ del conjunto {1, ..., n }, existe un isomorfismo único:
De hecho, para un conjunto de índices I de cardinalidad arbitraria . Dado que los productos finitos coinciden con sumas directas finitas, esto implica:
Distribución sobre productos finitos.
Para cualquier número finito ,
Ampliación de base
Si S es una R -álgebra, escribiendo , [7] cf. § Ampliación de escalares. Un corolario es:
Si es una secuencia exacta de R -módulos, entonces es una secuencia exacta de R -módulos, donde
Relación tensorial-hom
Hay un R canónico -mapa lineal: que es un isomorfismo si M o P es un módulo proyectivo generado finitamente (ver § Como mapas que preservan la linealidad para el caso no conmutativo); [8] de manera más general, existe un mapa lineal R canónico: que es un isomorfismo si o es un par de módulos proyectivos generados finitamente.
Para dar un ejemplo práctico, supongamos que M , N son módulos libres con bases y . Entonces M es la suma directa
y lo mismo para N . Por la propiedad distributiva, se tiene:
es decir, son las bases R de . Incluso si M no es libre, se puede utilizar una presentación gratuita de M para calcular productos tensoriales.
Si R no es conmutativo, el orden de los productos tensoriales podría importar de la siguiente manera: "usamos" la acción derecha de M y la acción izquierda de N para formar el producto tensorial ; en particular, ni siquiera estaría definido. Si M , N son bimódulos, entonces la acción izquierda proviene de la acción izquierda de M y la acción derecha proviene de la acción derecha de N ; esas acciones no tienen por qué ser las mismas que las acciones izquierda y derecha de .
La asociatividad se cumple de manera más general para anillos no conmutativos: si M es un módulo R derecho , N un módulo ( R , S ) y P un módulo S izquierdo , entonces
como grupo abeliano.
La forma general de relación adjunta de productos tensoriales dice: si R no es necesariamente conmutativo, M es un módulo R recto , N es un módulo ( R , S ), P es un módulo S recto , entonces como grupo abeliano [ 9]
donde está dado por .
Producto tensorial de unR-módulo con el campo de fracción
Para cualquier R -módulo M , como R -módulos, donde está el submódulo de torsión de M .
Si M es un módulo R de torsión, entonces y si M no es un módulo de torsión, entonces .
Si N es un submódulo de M tal que es un módulo de torsión, entonces como R -módulos por .
En , si y sólo si o . En particular, donde .
¿Dónde está la localización del módulo en el ideal primo (es decir, la localización con respecto a los elementos distintos de cero)?
Extensión de escalares
La relación adjunta en la forma general tiene un caso especial importante: para cualquier R -álgebra S , M un módulo R derecho , P un módulo S derecho , usando , tenemos el isomorfismo natural:
Esto dice que el funtor es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo , que restringe una acción S a una acción R. Debido a esto, a menudo se le llama extensión de escalares de R a S. En la teoría de la representación , cuando R , S son álgebras de grupo, la relación anterior se convierte en la reciprocidad de Frobenius .
Ejemplos
, para cualquier R -álgebra S (es decir, un módulo libre permanece libre después de extender los escalares).
Para un anillo conmutativo y una R -álgebra S conmutativa , tenemos: de hecho, de manera más general, donde es un ideal.
La estructura de un producto tensorial de módulos bastante comunes puede ser impredecible.
Sea G un grupo abeliano en el que cada elemento tiene orden finito (es decir, G es un grupo abeliano de torsión ; por ejemplo, G puede ser un grupo abeliano finito o ). Entonces: [10]
De hecho, cualquiera es de la forma
Si es del orden de , entonces calculamos:
De manera similar, uno ve
Aquí hay algunas identidades útiles para el cálculo: Sea R un anillo conmutativo, I , J ideales, M , N R -módulos. Entonces
Ejemplo: Si G es un grupo abeliano, ; esto se sigue de 1.
Ejemplo: ; esto se deduce de 3. En particular, para números primos distintos p , q ,
Se pueden aplicar productos tensoriales para controlar el orden de los elementos de los grupos. Sea G un grupo abeliano. Entonces los múltiplos de 2 pulg
son cero.
Ejemplo: Sea el grupo de n -ésimas raíces de la unidad. Es un grupo cíclico y los grupos cíclicos se clasifican por órdenes. Por lo tanto, de manera no canónica, y por lo tanto, cuando g es el mcd de n y m ,
Ejemplo: considere . Dado que se obtiene imponiendo -linealidad en el medio, tenemos la sobreyección
cuyo núcleo se genera por elementos de la forma
donde r , s , x , u son números enteros y s es distinto de cero. Dado que
el núcleo en realidad desaparece; por lo tanto, .
Sin embargo, considere y . Como espacio vectorial, tiene dimensión 4, pero tiene dimensión 2.
Por tanto, y no son isomorfos.
Ejemplo: Proponemos comparar y . Como en el ejemplo anterior, tenemos: como grupo abeliano y por lo tanto como -espacio vectorial (cualquier aplicación -lineal entre -espacios vectoriales es -lineal). Como espacio vectorial, tiene dimensión (cardinalidad de una base) de continuo . Por tanto, tiene una base indexada por un producto de continuos; por tanto su dimensión - es continua. Por lo tanto, por razones de dimensión, existe un isomorfismo no canónico de espacios vectoriales:
Considere los módulos para polinomios irreducibles tales que . Entonces,
Otra familia útil de ejemplos proviene del cambio de escalares. Darse cuenta de
Buenos ejemplos de este fenómeno a observar son cuando .
Construcción
La construcción de M ⊗ N toma un cociente de un grupo abeliano libre con base en los símbolos m ∗ n , utilizados aquí para denotar el par ordenado ( m , n ) , para m en M y n en N por el subgrupo generado por todos los elementos de la forma
− m ∗ ( n + n ′) + m ∗ n + m ∗ n ′
−( metro + metro ′) ∗ norte + metro ∗ norte + metro ′ ∗ norte
( metro · r ) ∗ norte − metro ∗ ( r · norte )
donde m , m ′ en M , n , n ′ en N y r en R . El mapa de cocientes que lleva m ∗ n = ( m , n ) a la clase lateral que contiene m ∗ n ; es decir,
está equilibrado, y se ha elegido mínimamente el subgrupo para que este mapa esté equilibrado. La propiedad universal de ⊗ se deriva de las propiedades universales de un grupo abeliano libre y un cociente.
Si S es un subanillo de un anillo R , entonces es el grupo cociente de por el subgrupo generado por , donde está la imagen de bajo . En particular, cualquier producto tensorial de R -módulos se puede construir, si así se desea, como un cociente de un producto tensorial de grupos abelianos imponiendo la propiedad del producto R equilibrado.
Más teóricamente en categorías, sea σ la acción correcta dada de R sobre M ; es decir, σ( m , r ) = m · r y τ la acción izquierda de R de N . Entonces, siempre que el producto tensorial de grupos abelianos ya esté definido, el producto tensorial de M y N sobre R se puede definir como el coecualizador :
donde sin subíndice se refiere al producto tensorial de grupos abelianos.
En la construcción del producto tensorial sobre un anillo conmutativo R , la estructura del módulo R se puede construir desde el principio formando el cociente de un módulo R libre por el submódulo generado por los elementos dados anteriormente para la construcción general, aumentado por los elementos r ⋅ ( m ∗ n ) − m ∗ ( r ⋅ n ) . Alternativamente, a la construcción general se le puede dar una estructura de módulo Z( R ) definiendo la acción escalar por r ⋅ ( m ⊗ n ) = m ⊗ ( r ⋅ n ) cuando está bien definida, que es precisamente cuando r ∈ Z( R ), el centro de R .
El producto directo de M y N rara vez es isomorfo al producto tensorial de M y N. Cuando R no es conmutativo, entonces el producto tensor requiere que M y N sean módulos en lados opuestos, mientras que el producto directo requiere que sean módulos en el mismo lado. En todos los casos, la única función de M × N a G que es a la vez lineal y bilineal es la función cero.
El módulo dual de un módulo R derecho E , se define como Hom R ( E , R ) con la estructura canónica del módulo R izquierdo , y se denota E ∗ . [11] La estructura canónica son las operaciones puntuales de suma y multiplicación escalar. Por lo tanto, E ∗ es el conjunto de todos los R -maps lineales E → R (también llamados formas lineales ), con operaciones.
El dual de un R -módulo izquierdo se define de manera análoga, con la misma notación.
Siempre hay un homomorfismo canónico E → E ∗∗ de E a su segundo dual. Es un isomorfismo si E es un módulo libre de rango finito. En general, E se llama módulo reflexivo si el homomorfismo canónico es un isomorfismo.
Emparejamiento de dualidad
Denotamos el par natural de su dual E ∗ y un R -módulo derecho E , o de un R -módulo izquierdo F y su dual F ∗ como
El par es R -lineal izquierdo en su argumento izquierdo, y R -lineal derecho en su argumento correcto:
Un elemento como mapa (bi)lineal
En el caso general, cada elemento del producto tensorial de módulos da lugar a un mapa lineal R izquierdo, a un mapa lineal R derecho y a una forma R -bilineal. A diferencia del caso conmutativo, en el caso general el producto tensorial no es un R -módulo y, por tanto, no admite la multiplicación escalar.
Dado el módulo R derecho E y el módulo R derecho F , existe un homomorfismo canónico θ : F ⊗ R E ∗ → Hom R ( E , F ) tal que θ ( f ⊗ e ′) es el mapa e ↦ f ⋅ ⟨ mi ′, mi ⟩ . [12]
Dado el módulo R izquierdo E y el módulo R derecho F , existe un homomorfismo canónico θ : F ⊗ R E → Hom R ( E ∗ , F ) tal que θ ( f ⊗ e ) es el mapa e ′ ↦ f ⋅ ⟨ mi , mi ′⟩ . [13]
Ambos casos son válidos para módulos generales y se convierten en isomorfismos si los módulos E y F se restringen a ser módulos proyectivos generados de forma finita (en particular, módulos libres de rangos finitos). Por lo tanto, un elemento de un producto tensorial de módulos sobre un anillo R se asigna canónicamente a un R - mapa lineal, aunque, al igual que con los espacios vectoriales, se aplican restricciones a los módulos para que esto sea equivalente al espacio completo de dichos mapas lineales.
Dado el módulo R derecho E y el módulo R izquierdo F , existe un homomorfismo canónico θ : F ∗ ⊗ R E ∗ → L R ( F × E , R ) tal que θ ( f ′ ⊗ e ′) es el mapa ( f , mi ) ↦ ⟨ f , f ′⟩ ⋅ ⟨ mi ′, mi ⟩ . [ cita necesaria ] Por lo tanto, se puede pensar que un elemento de un producto tensorial ξ ∈ F ∗ ⊗ R E ∗ da lugar o actúa como un mapa R -bilineal F × E → R.
Rastro
Sea R un anillo conmutativo y E un módulo R. Luego hay un mapa R -lineal canónico:
inducido a través de la linealidad por ; es el único mapa lineal R correspondiente al emparejamiento natural.
Si E es un módulo R proyectivo generado finitamente , entonces uno puede identificarlo a través del homomorfismo canónico mencionado anteriormente y luego lo anterior es el mapa de seguimiento :
Cuando R es un campo, ésta es la traza habitual de una transformación lineal.
Ejemplo de geometría diferencial: campo tensorial
El ejemplo más destacado de producto tensorial de módulos en geometría diferencial es el producto tensorial de los espacios de campos vectoriales y formas diferenciales. Más precisamente, si R es el anillo (conmutativo) de funciones suaves en una variedad suave M , entonces se pone
donde Γ significa el espacio de secciones y el superíndice significa tensor p veces sobre R. Por definición, un elemento de es un campo tensorial de tipo ( p , q ).
Como R -módulos, es el módulo dual de . [14]
Para aligerar la notación, pon y así . [15] Cuando p , q ≥ 1, para cada ( k , l ) con 1 ≤ k ≤ p , 1 ≤ l ≤ q , hay un mapa R -multilineal:
donde significa y el sombrero significa que se omite un término. Por propiedad universal, corresponde a un único R -mapa lineal:
Se llama contracción de tensores en el índice ( k , l ). Desenrollando lo que dice la propiedad universal se ve:
Observación : La discusión anterior es estándar en los libros de texto sobre geometría diferencial (por ejemplo, Helgason). En cierto modo, la construcción teórica de haz (es decir, el lenguaje de haz de módulos ) es más natural y cada vez más común; para ello, consulte la sección § Producto tensorial de haces de módulos.
Se puede demostrar que y siempre son funtores exactos a la derecha , pero no necesariamente exactos a la izquierda ( , donde el primer mapa es la multiplicación por , es exacto pero no después de tomar el tensor con ). Por definición, un módulo T es un módulo plano si es un funtor exacto.
Si y son conjuntos generadores para M y N , respectivamente, entonces será un conjunto generador para Debido a que el funtor tensor a veces no se deja exacto, este puede no ser un conjunto generador mínimo, incluso si los conjuntos generadores originales son mínimos. Si M es un módulo plano , el funtor es exacto según la definición misma de módulo plano. Si los productos tensoriales se toman sobre un campo F , estamos en el caso de espacios vectoriales como el anterior. Dado que todos los módulos F son planos, el bifunctor es exacto en ambas posiciones y los dos conjuntos generadores dados son bases, entonces de hecho forma una base para .
Estructura adicional
Si S y T son R -álgebras conmutativas, entonces, similar a #Para módulos equivalentes, S ⊗ R T también será una R -álgebra conmutativa, con el mapa de multiplicación definido por ( m 1 ⊗ m 2 ) ( n 1 ⊗ n 2 ) = ( m 1 n 1 ⊗ m 2 n 2 ) y extendido por linealidad. En este contexto, el producto tensorial se convierte en un coproducto fibroso en la categoría de R -álgebras conmutativas. (Pero no es un coproducto en la categoría de R -álgebras).
Si M y N son ambos R -módulos sobre un anillo conmutativo, entonces su producto tensorial es nuevamente un R -módulo. Si R es un anillo, R M es un módulo R izquierdo y el conmutador
rs − sr
de dos elementos cualesquiera r y s de R está en el aniquilador de M , entonces podemos convertir M en un módulo R derecho configurando
señor = rm .
La acción de R sobre M factoriza a través de la acción de un anillo conmutativo cociente. En este caso, el producto tensorial de M consigo mismo sobre R es nuevamente un módulo R. Esta es una técnica muy común en álgebra conmutativa.
Generalización
Producto tensorial de complejos de módulos.
Si X , Y son complejos de R -módulos ( R un anillo conmutativo), entonces su producto tensorial es el complejo dado por
con el diferencial dado por: para x en X i y y en Y j , [16]
Por ejemplo, si C es un complejo de cadenas de grupos abelianos planos y si G es un grupo abeliano, entonces el grupo de homología de es el grupo de homología de C con coeficientes en G (ver también: teorema del coeficiente universal ).
Producto tensorial de haces de módulos.
El producto tensorial de haces de módulos es el haz asociado al prehaz de productos tensoriales de los módulos de secciones sobre subconjuntos abiertos.
En esta configuración, por ejemplo, se puede definir un campo tensorial en una variedad suave M como una sección (global o local) del producto tensorial (llamado paquete tensorial )
donde O es el haz de anillos de funciones suaves en M y los paquetes se ven como gavillas localmente libres en M . [17]
El paquete exterior en M es el subconjunto del paquete tensorial que consta de todos los tensores covariantes antisimétricos. Las secciones del paquete exterior son formas diferenciales en M.
Un caso importante en el que se forma un producto tensorial sobre un haz de anillos no conmutativos aparece en la teoría de los módulos D ; es decir, productos tensoriales sobre el haz de operadores diferenciales .
^ Al tensar con M, la secuencia exacta da
donde f está dada por . Como la imagen de f es IM , obtenemos la primera parte de 1. Si M es plana, f es inyectiva y también lo es un isomorfismo en su imagen.
^ Hazewinkel, et al. (2004), pág. 95, Proposición 4.5.1
^ Bourbaki, cap. §3.1
^ Primero, si , entonces la identificación reclamada viene dada por con . En general, tiene la estructura de un módulo R derecho por . Por lo tanto, para cualquier aplicación -bilineal f , f ′ es R -lineal .
^ Bourbaki, cap. II§3.2.
^ Bourbaki, cap. §3.8
^ Prueba: (usando asociatividad en forma general)
^ Bourbaki, cap. §4.4
^ Bourbaki, capítulo II §4.1 Proposición 1
^ Ejemplo 3.6 de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/tensorprod.pdf
^ Bourbaki, cap. §2.3
^ Bourbaki, cap. II §4.2 ec. (11)
^ Bourbaki, cap. II §4.2 ec. (15)
^ Helgason 1978, Lema 2.3'
^ Esta es en realidad la definición de formas unidimensionales diferenciales, secciones globales de , en Helgason, pero es equivalente a la definición habitual que no utiliza la teoría de módulos.
^ Mayo de 1999, cap. 12 §3
^ Véase también Enciclopedia de Matemáticas - Paquete tensorial
Bourbaki, Álgebra
Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4.
Mayo, Peter (1999). Un curso conciso en topología algebraica (PDF) . Prensa de la Universidad de Chicago.