Producto tensorial de representaciones

En matemáticas , el producto tensorial de representaciones es un producto tensorial de espacios vectoriales subyacentes a representaciones junto con la acción de grupo factor por factor sobre el producto. Esta construcción, junto con el procedimiento de Clebsch-Gordan, se puede utilizar para generar representaciones irreducibles adicionales si ya se conocen algunas.

Definición

Representaciones grupales

Si son representaciones lineales de un grupo , entonces su producto tensorial es el producto tensorial de espacios vectoriales con la acción lineal de determinada únicamente por la condición de que ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle g\cdot (v_{1}\otimes v_{2})=(g\cdot v_{1})\otimes (g\cdot v_{2})}$^{[1] [2]}

para todos y . Aunque no todos los elementos de se pueden expresar en la forma , la propiedad universal del producto tensorial garantiza que esta acción esté bien definida. ${\displaystyle v_{1}\in V_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}\in V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}}$

En el lenguaje de los homomorfismos , si las acciones de y están dadas por los homomorfismos y , entonces la representación del producto tensorial está dada por el homomorfismo dado por ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}:G\to \operatorname {GL} (V_{1})}$ ${\displaystyle \Pi _{2}:G\to \operatorname {GL} (V_{2})}$ ${\displaystyle \Pi _{1}\otimes \Pi _{2}:G\to \operatorname {GL} (V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle \Pi _{1}\otimes \Pi _{2}(g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$,

donde es el producto tensorial de los mapas lineales . ^[3] ${\displaystyle \Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)}$

Se puede extender la noción de productos tensoriales a cualquier número finito de representaciones. Si V es una representación lineal de un grupo G , entonces con la acción lineal anterior, el álgebra tensorial es una representación algebraica de G ; es decir, cada elemento de G actúa como un automorfismo algebraico . ${\displaystyle T(V)}$

Representaciones del álgebra de Lie

Si y son representaciones de un álgebra de Lie , entonces el producto tensorial de estas representaciones es la función dada por ^[4] ${\displaystyle (V_{1},\pi _{1})}$ ${\displaystyle (V_{2},\pi _{2})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}:{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} (V_{1}\otimes V_{2})}$

${\displaystyle \pi _{1}\otimes \pi _{2}(X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X)}$,

donde es el endomorfismo identidad . Esto se llama suma de Kronecker, definida en Suma de matrices#Suma de Kronecker y Producto de Kronecker#Propiedades . La motivación para el uso de la suma de Kronecker en esta definición proviene del caso en el que y provienen de representaciones y de un grupo de Lie . En ese caso, un cálculo simple muestra que la representación del álgebra de Lie asociada a está dada por la fórmula anterior. ^[5] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \pi _{1}}$ ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \Pi _{1}}$ ${\displaystyle \Pi _{2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi _{1}\otimes \Pi _{2}}$

Grupos cuánticos

Para los grupos cuánticos , el coproducto ya no es co-conmutativo. Como resultado, el mapa de permutación natural ya no es un isomorfismo de módulos . Sin embargo, el mapa de permutación sigue siendo un isomorfismo de espacios vectoriales. ${\displaystyle V\otimes W\rightarrow W\otimes V}$

Acción sobre mapas lineales

Si y son representaciones de un grupo , sea el espacio de todas las aplicaciones lineales de a . Entonces se puede dar la estructura de una representación definiendo ${\displaystyle (V_{1},\Pi _{1})}$ ${\displaystyle (V_{2},\Pi _{2})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V_{1},V_{2})}$

${\displaystyle g\cdot A=\Pi _{2}(g)A\Pi _{1}(g)^{-1}}$

para todos . Ahora bien, hay un isomorfismo natural. ${\displaystyle A\in \operatorname {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)\cong V^{*}\otimes W}$

como espacios vectoriales; ^[2] este isomorfismo de espacios vectoriales es de hecho un isomorfismo de representaciones. ^[6]

La subrepresentación trivial consiste en mapas G -lineales ; es decir, ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)^{G}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(V,W)=\operatorname {Hom} (V,W)^{G}.}$

Sea V el álgebra de endomorfismos y A el subálgebra de que consta de tensores simétricos. El teorema principal de la teoría de invariantes establece que A es semisimple cuando la característica del cuerpo base es cero. ${\displaystyle E=\operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle E^{\otimes m}}$

Teoría de Clebsch-Gordan

El problema general

El producto tensorial de dos representaciones irreducibles de un grupo o álgebra de Lie no suele ser irreducible. Por lo tanto, resulta interesante intentar descomponerlo en partes irreducibles. Este problema de descomposición se conoce como el problema de Clebsch-Gordan. ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}}$

El caso SU(2)

El ejemplo prototípico de este problema es el caso del grupo de rotación SO(3) —o su doble recubrimiento, el grupo unitario especial SU(2) . Las representaciones irreducibles de SU(2) se describen mediante un parámetro , cuyos posibles valores son ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell =0,1/2,1,3/2,\ldots .}$

(La dimensión de la representación es entonces .) Tomemos dos parámetros y con . Entonces la representación del producto tensorial se descompone de la siguiente manera: ^[7] ${\displaystyle 2\ell +1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ell \geq m}$ ${\displaystyle V_{\ell }\otimes V_{m}}$

${\displaystyle V_{\ell }\otimes V_{m}\cong V_{\ell +m}\oplus V_{\ell +m-1}\oplus \cdots \oplus V_{\ell -m+1}\oplus V_{\ell -m}.}$

Consideremos, como ejemplo, el producto tensorial de la representación de cuatro dimensiones y la representación tridimensional . La representación del producto tensorial tiene dimensión 12 y se descompone como ${\displaystyle V_{3/2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{3/2}\otimes V_{1}}$

${\displaystyle V_{3/2}\otimes V_{1}\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}}$,

donde las representaciones del lado derecho tienen dimensión 6, 4 y 2, respectivamente. Podemos resumir este resultado aritméticamente como . ${\displaystyle 4\times 3=6+4+2}$

El caso SU(3)

En el caso del grupo SU(3), todas las representaciones irreducibles pueden generarse a partir de la representación tridimensional estándar y su dual, de la siguiente manera. Para generar la representación con etiqueta , se toma el producto tensorial de las copias de la representación estándar y las copias del dual de la representación estándar, y luego se toma el subespacio invariante generado por el producto tensorial de los vectores de mayor peso. ^[8] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$ ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$

A diferencia de la situación para SU(2), en la descomposición de Clebsch–Gordan para SU(3), una representación irreducible dada puede aparecer más de una vez en la descomposición de . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\otimes V}$

Potencia tensorial

Al igual que con los espacios vectoriales, se puede definir la k ^-ésima potencia tensorial de una representación V como el espacio vectorial con la acción dada anteriormente. ${\displaystyle V^{\otimes k}}$

El cuadrado simétrico y alterno

Sobre un cuerpo de característica cero, los cuadrados simétricos y alternos son subrepresentaciones de la segunda potencia tensorial. Pueden utilizarse para definir el indicador de Frobenius-Schur , que indica si un carácter irreducible dado es real , complejo o cuaterniónico . Son ejemplos de funtores de Schur . Se definen de la siguiente manera.

Sea V un espacio vectorial. Definamos un endomorfismo T de la siguiente manera: ${\displaystyle V\otimes V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T:V\otimes V&\longrightarrow V\otimes V\\v\otimes w&\longmapsto w\otimes v.\end{aligned}}}$^[9]

Es una involución (su propia inversa), y por tanto es un automorfismo de . ${\displaystyle V\otimes V}$

Definir dos subconjuntos de la segunda potencia tensorial de V ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=v\}\\\operatorname {Alt} ^{2}(V)&:=\{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v\}\end{aligned}}}$$

Estos son el cuadrado simétrico de V , , y el cuadrado alterno de V , , respectivamente. ^[10] Los cuadrados simétricos y alternos también se conocen como la parte simétrica y la parte antisimétrica del producto tensorial. ^[11] ${\displaystyle V\odot V}$ ${\displaystyle V\wedge V}$

Propiedades

La segunda potencia tensorial de una representación lineal V de un grupo G se descompone como la suma directa de los cuadrados simétricos y alternos:

$${\displaystyle V^{\otimes 2}=V\otimes V\cong \operatorname {Sym} ^{2}(V)\oplus \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$$

como representaciones. En particular, ambas son subrepresentaciones de la segunda potencia tensorial. En el lenguaje de los módulos sobre el anillo de grupo , los cuadrados simétricos y alternos son - submódulos de . ^[12] ${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$ ${\displaystyle V\otimes V}$

Si V tiene una base , entonces el cuadrado simétrico tiene una base y el cuadrado alternado tiene una base . Por consiguiente, ${\displaystyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\otimes v_{j}+v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i\leq j\leq n\}}$ ${\displaystyle \{v_{i}\otimes v_{j}-v_{j}\otimes v_{i}\mid 1\leq i<j\leq n\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\dim \operatorname {Sym} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V+1)}{2}},\\\dim \operatorname {Alt} ^{2}(V)&={\frac {\dim V(\dim V-1)}{2}}.\end{aligned}}}$^{[13] [10]}

Sea el carácter de . Entonces podemos calcular los caracteres de los cuadrados simétricos y alternos de la siguiente manera: para todo g en G , ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{\operatorname {Sym} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}+\chi (g^{2})),\\\chi _{\operatorname {Alt} ^{2}(V)}(g)&={\frac {1}{2}}(\chi (g)^{2}-\chi (g^{2})).\end{aligned}}}$^[14]

Los poderes simétricos y exteriores

Al igual que en el álgebra multilineal , sobre un cuerpo de característica cero, se pueden definir de manera más general la k ^-ésima potencia simétrica y la k- ^ésima potencia exterior , que son subespacios de la k ^-ésima potencia tensorial (consulte esas páginas para obtener más detalles sobre esta construcción). También son subrepresentaciones, pero las potencias tensoriales superiores ya no se descomponen como su suma directa. ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{k}(V)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(V)}$

La dualidad de Schur-Weyl calcula las representaciones irreducibles que ocurren en potencias tensoriales de representaciones del grupo lineal general . Precisamente, como un módulo ${\displaystyle G=\operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle S_{n}\times G}$

${\displaystyle V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }M_{\lambda }\otimes S^{\lambda }(V)}$

dónde

• ${\displaystyle M_{\lambda }}$es una representación irreducible del grupo simétrico correspondiente a una partición de n (en orden decreciente), ${\displaystyle \mathrm {S} _{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$
• ${\displaystyle S^{\lambda }(V)}$es la imagen del joven simetrizador . ${\displaystyle c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$

La aplicación es un funtor llamado funtor de Schur . Generaliza las construcciones de potencias simétricas y externas: ${\displaystyle V\mapsto S^{\lambda }(V)}$

${\displaystyle S^{(n)}(V)=\operatorname {Sym} ^{n}V,\,\,S^{(1,1,\dots ,1)}(V)=\wedge ^{n}V.}$

En particular, como módulo G , lo anterior se simplifica a

${\displaystyle V^{\otimes n}\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }(V)^{\oplus m_{\lambda }}}$

donde . Además, la multiplicidad puede calcularse mediante la fórmula de Frobenius (o la fórmula de longitud de gancho ). Por ejemplo, tomemos . Entonces hay exactamente tres particiones: y, como resulta, . Por lo tanto, ${\displaystyle m_{\lambda }=\dim M_{\lambda }}$ ${\displaystyle m_{\lambda }}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle 3=3=2+1=1+1+1}$ ${\displaystyle m_{(3)}=m_{(1,1,1)}=1,\,m_{(2,1)}=2}$

${\displaystyle V^{\otimes 3}\simeq \operatorname {Sym} ^{3}V\bigoplus \wedge ^{3}V\bigoplus S^{(2,1)}(V)^{\oplus 2}.}$

Productos tensoriales que involucran funtores de Schur

Sea el funtor de Schur definido según una partición . Entonces existe la siguiente descomposición: ^[15] ${\displaystyle S^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle S^{\lambda }V\otimes S^{\mu }V\simeq \bigoplus _{\nu }(S^{\nu }V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu }}}$

donde las multiplicidades están dadas por la regla de Littlewood-Richardson . ${\displaystyle N_{\lambda \mu \nu }}$

Dados espacios vectoriales de dimensión finita V , W , los funtores de Schur S ^λ dan la descomposición

${\displaystyle \operatorname {Sym} (W^{*}\otimes V)\simeq \bigoplus _{\lambda }S^{\lambda }(W^{*})\otimes S^{\lambda }(V)}$

El lado izquierdo se puede identificar con el anillo de funciones polinomiales en Hom( V ,  W  ), k [Hom( V ,  W  )] = k [ V ^*  ⊗  W  ], y por lo tanto lo anterior también da la descomposición de k [Hom( V ,  W  )].

Representaciones de productos tensoriales como representaciones de grupos de productos

Sean G y H dos grupos y sean y representaciones de G y H , respectivamente. Luego podemos hacer que el grupo de productos directos actúe sobre el espacio de productos tensoriales mediante la fórmula ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle (\rho ,W)}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (g,h)\cdot (v\otimes w)=\pi (g)v\otimes \rho (h)w.}$

Incluso si , todavía podemos realizar esta construcción, de modo que el producto tensorial de dos representaciones de podría, alternativamente, verse como una representación de en lugar de una representación de . Por lo tanto, es importante aclarar si el producto tensorial de dos representaciones de se está viendo como una representación de o como una representación de . ${\displaystyle G=H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G}$

A diferencia del problema de Clebsch-Gordan analizado anteriormente, el producto tensorial de dos representaciones irreducibles de es irreducible cuando se lo ve como una representación del grupo de productos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G}$

Véase también

• Portal de matemáticas

• Doble representación
• Reciprocidad de Hermite
• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Representación del grupo Lie
• Representación del álgebra de Lie
• Producto Kronecker
• Álgebra de Hopf

Notas

1. Serre 1977, pág. 8.
2. Fulton y Harris 1991, pág. 4.
3. Hall 2015 Sección 4.3.2
4. Hall 2015 Definición 4.19
5. Propuesta 4.18 del Salón 2015
6. Hall 2015 págs. 433-434
7. Hall 2015 Teorema C.1
8. Hall 2015 Prueba de la Proposición 6.17
9. Precisamente, tenemos , que es bilineal y por tanto desciende a la función lineal ${\displaystyle V\times V\to V\otimes V,(v,w)\mapsto v\otimes w}$ ${\displaystyle V\otimes V\to V\otimes V.}$
10. Serre 1977, pág. 9.
11. James 2001, pág. 196.
12. James 2001, Proposición 19.12.
13. James 2001, Proposición 19.13.
14. James 2001, Proposición 19.14.
15. Fulton & Harris 1991, § 6.1. justo después del Corolario 6.6.

Referencias

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• James, Gordon Douglas (2001). Representaciones y caracteres de los grupos . Liebeck, Martin W. (2.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0521003926.OCLC 52220683  .
• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402 . 
• Serre, Jean-Pierre (1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90190-9.OCLC 2202385  .