Joven simetrizador

En matemáticas , un simetrizador de Young es un elemento del álgebra de grupos del grupo simétrico , construido de tal manera que, para el homomorfismo del álgebra de grupos a los endomorfismos de un espacio vectorial obtenidos de la acción de sobre por permutación de índices, la imagen del endomorfismo determinado por ese elemento corresponde a una representación irreducible del grupo simétrico sobre los números complejos . Una construcción similar funciona sobre cualquier cuerpo, y las representaciones resultantes se denominan módulos de Specht . El simetrizador de Young recibe su nombre del matemático británico Alfred Young . ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$

Definición

Dado un grupo simétrico finito S _n y una tabla de Young específica λ correspondiente a una partición numerada de n , y considere la acción de dado permutando las cajas de . Defina dos subgrupos de permutación y de S _n como sigue: ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle P_{\lambda }}$ ${\displaystyle Q_{\lambda }}$

${\displaystyle P_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each row of }}\lambda \}}$

y

${\displaystyle Q_{\lambda }=\{g\in S_{n}:g{\text{ preserves each column of }}\lambda \}.}$

En correspondencia con estos dos subgrupos, definamos dos vectores en el álgebra de grupos como ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda }}e_{g}}$

y

${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(g)e_{g}}$

donde es el vector unitario correspondiente a g , y es el signo de la permutación. El producto ${\displaystyle e_{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$

${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }=\sum _{g\in P_{\lambda },h\in Q_{\lambda }}\operatorname {sgn}(h)e_{gh}}$

es el simetrizador de Young correspondiente a la tabla de Young λ. Cada simetrizador de Young corresponde a una representación irreducible del grupo simétrico, y cada representación irreducible puede obtenerse a partir de un simetrizador de Young correspondiente. (Si reemplazamos los números complejos por cuerpos más generales, las representaciones correspondientes no serán irreducibles en general).

Construcción

Sea V cualquier espacio vectorial sobre los números complejos . Considérese entonces el espacio vectorial del producto tensorial ( n veces). Sea S _n el que actúa sobre este espacio del producto tensorial permutando los índices. Se tiene entonces una representación del álgebra de grupos natural en (es decir, es un módulo derecho ). ${\displaystyle V^{\otimes n}=V\otimes V\otimes \cdots \otimes V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}\to \operatorname {End} (V^{\otimes n})}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

Dada una partición λ de n , de modo que , entonces la imagen de es ${\displaystyle n=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{j}}$ ${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (a_{\lambda }):=V^{\otimes n}a_{\lambda }\cong \operatorname {Sym} ^{\lambda _{1}}V\otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{2}}V\otimes \cdots \otimes \operatorname {Sym} ^{\lambda _{j}}V.}$

Por ejemplo, si , y , con la tabla de Young canónica . Entonces la correspondiente está dada por ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \lambda =(2,2)}$ ${\displaystyle \{\{1,2\},\{3,4\}\}}$ ${\displaystyle a_{\lambda }}$

${\displaystyle a_{\lambda }=e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)}.}$

Para cualquier vector producto de entonces tenemos ${\displaystyle v_{1,2,3,4}:=v_{1}\otimes v_{2}\otimes v_{3}\otimes v_{4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}}$

${\displaystyle v_{1,2,3,4}a_{\lambda }=v_{1,2,3,4}+v_{2,1,3,4}+v_{1,2,4,3}+v_{2,1,4,3}=(v_{1}\otimes v_{2}+v_{2}\otimes v_{1})\otimes (v_{3}\otimes v_{4}+v_{4}\otimes v_{3}).}$

Por lo tanto el conjunto de todos claramente abarca y como el abarcamiento obtenemos , donde escribimos informalmente . ${\displaystyle a_{\lambda }v_{1,2,3,4}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$ ${\displaystyle v_{1,2,3,4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }=\operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$ ${\displaystyle V^{\otimes 4}a_{\lambda }\equiv \operatorname {Im} (a_{\lambda })}$

Observe también cómo esta construcción se puede reducir a la construcción para . Sea el operador identidad y el operador de intercambio definidos por , por lo tanto y . Tenemos que ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathbb {1} \in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$ ${\displaystyle S\in \operatorname {End} (V^{\otimes 2})}$ ${\displaystyle S(v\otimes w)=w\otimes v}$ ${\displaystyle \mathbb {1} =e_{\text{id}}}$ ${\displaystyle S=e_{(1,2)}}$

${\displaystyle e_{\text{id}}+e_{(1,2)}=\mathbb {1} +S}$

mapas en , más precisamente ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

¿Está el proyector sobre ? Entonces ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V}$

${\displaystyle {\frac {1}{4}}a_{\lambda }={\frac {1}{4}}(e_{\text{id}}+e_{(1,2)}+e_{(3,4)}+e_{(1,2)(3,4)})={\frac {1}{4}}(\mathbb {1} \otimes \mathbb {1} +S\otimes \mathbb {1} +\mathbb {1} \otimes S+S\otimes S)={\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)\otimes {\frac {1}{2}}(\mathbb {1} +S)}$

en el cual se proyecta el proyector . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}V\otimes \operatorname {Sym} ^{2}V}$

La imagen de es ${\displaystyle b_{\lambda }}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (b_{\lambda })\cong \bigwedge ^{\mu _{1}}V\otimes \bigwedge ^{\mu _{2}}V\otimes \cdots \otimes \bigwedge ^{\mu _{k}}V}$

donde μ es la partición conjugada de λ. Aquí, y son los espacios de productos tensoriales simétricos y alternos . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{i}V}$ ${\displaystyle \bigwedge ^{j}V}$

La imagen de in es una representación irreducible de S _n , llamada módulo de Specht . Escribimos ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }=a_{\lambda }\cdot b_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {C} S_{n}}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (c_{\lambda })=V_{\lambda }}$

para la representación irreducible.

Algún múltiplo escalar de es idempotente, ^[1] es decir , para algún número racional En concreto, se encuentra . En particular, esto implica que las representaciones del grupo simétrico se pueden definir sobre los números racionales; es decir, sobre el álgebra de grupos racionales . ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\lambda }^{2}=\alpha _{\lambda }c_{\lambda }}$ ${\displaystyle \alpha _{\lambda }\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \alpha _{\lambda }=n!/\dim V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} S_{n}}$

Consideremos, por ejemplo, S ₃ y la partición (2,1). Entonces se tiene

${\displaystyle c_{(2,1)}=e_{123}+e_{213}-e_{321}-e_{312}.}$

Si V es un espacio vectorial complejo, entonces las imágenes de sus espacios proporcionan esencialmente todas las representaciones irreducibles de dimensión finita de GL(V). ${\displaystyle c_{\lambda }}$ ${\displaystyle V^{\otimes d}}$

Véase también

• Teoría de la representación del grupo simétrico

Notas

1. Véase (Fulton y Harris 1991, Teorema 4.3, pág. 46)

Referencias

• William Fulton. Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Cambridge University Press, 1997.
• Conferencia 4 de Fulton, William y Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas de matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN. 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Bruce E. Sagan . El grupo simétrico . Springer, 2001.