Primer y segundo teoremas fundamentales de la teoría de invariantes

En álgebra , el primer y segundo teoremas fundamentales de la teoría de invariantes se refieren a los generadores y las relaciones del anillo de invariantes en el anillo de funciones polinómicas para grupos clásicos (aproximadamente, el primero se refiere a los generadores y el segundo a las relaciones). ^[1] Los teoremas se encuentran entre los resultados más importantes de la teoría de invariantes .

Clásicamente, los teoremas se demuestran sobre los números complejos , pero la teoría de invariantes libres de características extiende los teoremas a un campo de características arbitrarias. ^[2]

Primer teorema fundamental para GL ⁡ ( V ) {\displaystyle \operatorname {GL} (V)}

El teorema establece que el anillo de funciones polinómicas -invariantes ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ en es generado por las funciones , donde están en y . ^[3] ${\displaystyle {V^{*}}^{p}\oplus V^{q}}$ ${\displaystyle \langle \alpha _{i}|v_{j}\rangle }$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle v_{j}\in V}$

Segundo teorema fundamental para el grupo lineal general

Sean V , W espacios vectoriales de dimensión finita sobre los números complejos. Entonces, los únicos ideales primos -invariantes en son los ideales determinantes generados por los determinantes de todos los menores - . ^[4] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\times \operatorname {GL} (W)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [\operatorname {hom} (V,W)]}$ ${\displaystyle I_{k}=\mathbb {C} [\operatorname {hom} (V,W)]D_{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$

Notas

1. Proceso 2007, cap. 9, § 1.4.
2. Procesi 2007, Cap. 13 desarrolla esta teoría.
3. Proceso 2007, cap. 9, § 1.4.
4. Proceso 2007, cap. 11, § 5.1.

Referencias

• Procesi, Claudio (2007). Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representaciones . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-26040-2.OCLC 191464530  .

Lectura adicional

• Cap. II, § 4. de E. Arbarello, M. Cornalba, PA Griffiths y J. Harris, Geometría de curvas algebraicas. vol. I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 267, Springer-Verlag, Nueva York, 1985. MR0770932
• Artin, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hanspeter Kraft y Claudio Procesi, Teoría clásica invariante, introducción
• Weyl, Hermann (1939), Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, Sr.  0000255