Función Schur

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de la representación , los funtores de Schur (nombrados así por Issai Schur ) son ciertos funtores de la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo fijo consigo mismo. Generalizan las construcciones de potencias exteriores y potencias simétricas de un espacio vectorial . Los funtores de Schur están indexados por diagramas de Young de tal manera que el diagrama horizontal con n celdas corresponde al n -ésimo funtor de potencia simétrico, y el diagrama vertical con n celdas corresponde al n -ésimo funtor de potencia exterior. Si un espacio vectorial V es una representación de un grupo G , entonces también tiene una acción natural de G para cualquier funtor de Schur . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }V}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }(-)}$

Definición

Los funtores de Schur se indexan por particiones y se describen de la siguiente manera. Sea R un anillo conmutativo, E un R -módulo y λ una partición de un entero positivo n . Sea T una tabla de Young de forma λ , indexando así los factores del producto directo n -fold , E × E × ... × E , con las cajas de T . Considérense aquellas funciones de R -módulos que satisfacen las siguientes condiciones ${\displaystyle \varphi :E^{\times n}\to M}$

1. ${\displaystyle \varphi }$es multilineal,
2. ${\displaystyle \varphi }$se alterna en las entradas indexadas por cada columna de T ,
3. ${\displaystyle \varphi }$satisface una condición de intercambio que establece que si son números de la columna i de T entonces ${\displaystyle I\subset \{1,2,\dots ,n\}}$

${\displaystyle \varphi (x)=\sum _{x'}\varphi (x')}$

donde la suma es sobre n -tuplas x ′ obtenidas de x intercambiando los elementos indexados por I con cualquier elemento indexado por los números en la columna (en orden). ${\displaystyle |I|}$ ${\displaystyle i-1}$

El módulo R universal que se extiende a una aplicación de módulos R es la imagen de E bajo el funtor de Schur indexado por λ . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\lambda }E}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}:\mathbb {S} ^{\lambda }E\to M}$

Para un ejemplo de la condición (3) impuesta, supongamos que λ es la partición y la tabla T está numerada de tal manera que sus entradas son 1, 2, 3, 4, 5 cuando se leen de arriba hacia abajo (de izquierda a derecha). Tomando (es decir, los números en la segunda columna de T ) tenemos ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (2,2,1)}$ ${\displaystyle I=\{4,5\}}$

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{4},x_{5},x_{3},x_{1},x_{2})+\varphi (x_{4},x_{2},x_{5},x_{1},x_{3})+\varphi (x_{1},x_{4},x_{5},x_{2},x_{3}),}$

mientras que si entonces ${\displaystyle I=\{5\}}$

${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=\varphi (x_{5},x_{2},x_{3},x_{4},x_{1})+\varphi (x_{1},x_{5},x_{3},x_{4},x_{2})+\varphi (x_{1},x_{2},x_{5},x_{4},x_{3}).}$

Ejemplos

Fijemos un espacio vectorial V sobre un cuerpo de característica cero. Identificamos las particiones y los diagramas de Young correspondientes. Se cumplen las siguientes descripciones: ^[1]

• Para una partición λ = ( n ) el funtor de Schur S ^λ ( V ) = Sym ⁿ ( V ).
• Para una partición λ = (1, ..., 1) (repetida n veces) el funtor de Schur S ^λ ( V ) = Λ ⁿ ( V ).
• Para una partición λ = (2, 1) el funtor de Schur S ^λ ( V ) es el co-núcleo de la función de comultiplicación de potencias exteriores Λ ³ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ V .
• Para una partición λ = (2, 2) el funtor de Schur S ^λ ( V ) es el cociente de Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ) por las imágenes de dos funciones. Una es la composición Λ ³ ( V ) ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ V ⊗ V → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ), donde la primera función es la comultiplicación a lo largo de la primera coordenada. La otra función es una comultiplicación Λ ⁴ ( V ) → Λ ² ( V ) ⊗ Λ ² ( V ).
• Para una partición λ = ( n , 1, ..., 1), con 1 repetido m veces, el funtor de Schur S ^λ ( V ) es el cociente de Λ ⁿ ( V ) ⊗ Sym ^m ( V ) por la imagen de la composición de la comultiplicación en potencias exteriores y la multiplicación en potencias simétricas:

  ${\displaystyle \Lambda ^{n+1}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\Delta \otimes \mathrm {id} } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes V\otimes \mathrm {Sym} ^{m-1}(V)~\xrightarrow {\mathrm {id} \otimes \cdot } ~\Lambda ^{n}(V)\otimes \mathrm {Sym} ^{m}(V)}$

Aplicaciones

Sea V un espacio vectorial complejo de dimensión k . Es una representación tautológica de su grupo de automorfismos GL( V ). Si λ es un diagrama en el que cada fila no tiene más de k celdas, entonces S ^λ ( V ) es una representación GL( V ) irreducible de mayor peso λ . De hecho, cualquier representación racional de GL( V ) es isomorfa a una suma directa de representaciones de la forma S ^λ ( V ) ⊗ det( V ) ^{⊗ m} , donde λ es un diagrama de Young en el que cada fila es estrictamente más corta que k y m es cualquier entero (posiblemente negativo).

En este contexto, la dualidad de Schur-Weyl establece que, como GL( V ),

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)^{\oplus f^{\lambda }}}$

donde es el número de tablas de Young estándar de forma λ . De manera más general, tenemos la descomposición del producto tensorial como -bimódulo ${\displaystyle f^{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)\times {\mathfrak {S}}_{n}}$

${\displaystyle V^{\otimes n}=\bigoplus _{\lambda \vdash n:\ell (\lambda )\leq k}(\mathbb {S} ^{\lambda }V)\otimes \operatorname {Specht} (\lambda )}$

donde es el módulo de Specht indexado por λ . Los funtores de Schur también se pueden utilizar para describir el anillo de coordenadas de ciertas variedades de banderas. ${\displaystyle \operatorname {Specht} (\lambda )}$

Pletismo

Para dos diagramas de Young λ y μ, considere la composición de los funtores de Schur correspondientes S ^λ (S ^μ (−)). Esta composición se llama pletismo de λ y μ . De la teoría general se sabe ^[1] que, al menos para espacios vectoriales sobre un cuerpo característico cero, el pletismo es isomorfo a una suma directa de funtores de Schur. El problema de determinar qué diagramas de Young ocurren en esa descripción y cómo calcular sus multiplicidades está abierto, además de algunos casos especiales como Sym ^m (Sym ² ( V )).

Véase también

• Portal de matemáticas

• Joven simetrizador
• Polinomio de Schur
• Regla de Littlewood-Richardson
• Functor polinomial

Referencias

1. Weyman, Jerzy (2003). Cohomología de haces vectoriales y sicigias . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511546556. ISBN 9780511546556.

• J. Towber, Dos nuevos funtores de los módulos a las álgebras, J. Algebra 47 (1977), 80-104. doi:10.1016/0021-8693(77)90211-3
• W. Fulton, Young Tableaux, con aplicaciones a la teoría de la representación y la geometría . Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-56724-6 

Enlaces externos

• Los funtores de Schur | El Café de la n-Categoría