Álgebra graduada diferencial

Estructura algebraica en álgebra homológica

En matemáticas , en particular en álgebra homológica , un álgebra diferencial graduada es un álgebra asociativa graduada con una estructura compleja de cadena agregada que respeta la estructura del álgebra .

Definición

Un álgebra graduada diferencial (o álgebra DG para abreviar) A es un álgebra graduada equipada con un mapa que tiene grado 1 (convención de complejo de cocadena) o grado −1 (convención de complejo de cadena) que satisface dos condiciones: ${\displaystyle d\colon A\to A}$

1. ${\displaystyle d\circ d=0}$.
   Esto dice que d da a A la estructura de un complejo de cadena o complejo de cocadena (según como el diferencial reduce o aumenta el grado).
2. ${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{\deg(a)}a\cdot (db)}$, donde es el grado de elementos homogéneos. ${\displaystyle \operatorname {deg} }$
   Esto dice que la diferencial d respeta la regla graduada de Leibniz .

Una forma más sucinta de expresar la misma definición es decir que una DG-álgebra es un objeto monoide en la categoría monoidal de complejos de cadena . Un morfismo DG entre DG-álgebras es un homomorfismo de álgebra graduada que respeta la diferencial d .

Un álgebra aumentada graduada diferencial (también llamada álgebra DGA , álgebra DG aumentada o simplemente DGA ) es un álgebra DG equipada con un morfismo DG en el anillo fundamental (la terminología se debe a Henri Cartan ). ^[1]

Advertencia: algunas fuentes utilizan el término DGA para un DG-álgebra.

Ejemplos de álgebras DG

Álgebra tensorial

El álgebra tensorial es un álgebra DG con diferencial similar al complejo de Koszul . Para un espacio vectorial sobre un cuerpo existe un espacio vectorial graduado definido como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{i\geq 0}T^{i}(V)=\bigoplus _{i\geq 0}V^{\otimes i}}$

dónde . ${\displaystyle V^{\otimes 0}=K}$

Si es una base para que exista un diferencial en el álgebra tensorial definido componente por componente ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d:T^{k}(V)\to T^{k-1}(V)}$

enviando elementos base a

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes d(e_{i_{j}})\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

En particular tenemos y así ${\displaystyle d(e_{i})=(-1)^{i}}$

${\displaystyle d(e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}})=\sum _{1\leq j\leq k}(-1)^{i_{j}}e_{i_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{j-1}}\otimes e_{i_{j+1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{k}}}$

Complejo Koszul

Uno de los ejemplos fundamentales de un álgebra diferencial graduada, ampliamente utilizado en álgebra conmutativa y geometría algebraica , es el complejo de Koszul . Esto se debe a su amplia gama de aplicaciones, incluida la construcción de resoluciones planas de intersecciones completas y, desde una perspectiva derivada , dan el álgebra derivada que representa un lugar crítico derivado.

Álgebra de De-Rham

Las formas diferenciales en una variedad , junto con la derivación exterior y el producto exterior forman un álgebra DG. Tienen amplias aplicaciones, incluida la teoría de la deformación derivada. ^[2] Véase también cohomología de De Rham .

Cohomología singular

• La cohomología singular de un espacio topológico con coeficientes en es un álgebra diferencial gradual: la diferencial está dada por el homomorfismo de Bockstein asociado a la secuencia exacta corta , y el producto está dado por el producto de copa . Esta álgebra diferencial graduada se utilizó para ayudar a calcular la cohomología de los espacios de Eilenberg–MacLane en el seminario de Cartan. ^{[3] [4]} ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to 0}$

Otros datos sobre las álgebras DG

• La homología de un álgebra DG es un álgebra graduada. La homología de un álgebra DGA es un álgebra aumentada . ${\displaystyle H_{*}(A)=\ker(d)/\operatorname {im} (d)}$ ${\displaystyle (A,d)}$

Véase también

• Álgebra asociativa de homotopía
• Categoría graduada diferencial
• Álgebra de Lie graduada diferencial
• Esquema de graduación diferencial
• Módulo graduado diferencial

Referencias

1. Cartan, Henri (1954). "Sobre los grupos de Eilenberg-Mac Lane H ( Π , n ) {\displaystyle H(\Pi ,n)}". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 40 (6): 467–471. doi : 10.1073/pnas.40.6.467 . PMC  534072 . PMID  16589508.
2. Manetti, Marco. "Álgebras de Lie graduadas diferenciales y teoría de la deformación formal" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 16 de junio de 2013.
3. Cartan, Henri (1954-1955). "DGA-algèbres et DGA-módulos". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–9.
4. Cartan, Henri (1954-1955). "Módulos DGA (suite), noción de construcción". Seminario Henri Cartan . 7 (1): 1–11.

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, véanse las secciones V.3 y V.5.6