Categoría graduada diferencial

En matemáticas , especialmente en álgebra homológica , una categoría graduada diferencial , a menudo abreviada como categoría dg o categoría DG , es una categoría cuyos conjuntos de morfismos están dotados de la estructura adicional de un módulo graduado diferencial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

En detalle, esto significa que los morfismos de cualquier objeto A a otro objeto B de la categoría son una suma directa ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$

${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }\operatorname {Hom} _{n}(A,B)}$

y hay una diferencial d en este grupo graduado, es decir, para cada n hay una función lineal

${\displaystyle d\colon \operatorname {Hom} _{n}(A,B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{n+1}(A,B)}$,

que debe satisfacer . Esto es equivalente a decir que es un complejo de cocadena . Además, se requiere que la composición de morfismos sea una función de complejos, y para todos los objetos A de la categoría, se requiere . ${\displaystyle d\circ d=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\otimes \operatorname {Hom} (B,C)\rightarrow \operatorname {Hom} (A,C)}$ ${\displaystyle d(\operatorname {id} _{A})=0}$

Ejemplos

• Cualquier categoría aditiva puede considerarse una categoría DG al imponer la clasificación trivial (es decir, todo se desvanece para ) y el diferencial trivial ( ). ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{n}(-,-)}$ ${\displaystyle n\neq 0}$ ${\displaystyle d=0}$
• Un poco más sofisticada es la categoría de complejos sobre una categoría aditiva . Por definición, es el grupo de aplicaciones que no necesitan respetar las diferenciales de los complejos A y B , es decir, ${\displaystyle C({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)}$ ${\displaystyle A\rightarrow B[n]}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z} }\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})}$.

El diferencial de tal morfismo de grado n se define como ${\displaystyle f=(f_{l}\colon A_{l}\rightarrow B_{l+n})}$

${\displaystyle f_{l+1}\circ d_{A}+(-1)^{n+1}d_{B}\circ f_{l}}$,

donde son las diferenciales de A y B , respectivamente. Esto se aplica a la categoría de complejos de haces cuasi-coherentes en un esquema sobre un anillo . ${\displaystyle d_{A},d_{B}}$

• Una categoría DG con un objeto es lo mismo que un anillo DG. Un anillo DG sobre un cuerpo se denomina álgebra DG o álgebra graduada diferencial .

Otras propiedades

La categoría de pequeñas categorías dg puede ser dotada de una estructura de categoría modelo tal que las equivalencias débiles sean aquellos funtores que inducen una equivalencia de categorías derivadas . ^[1]

Dada una dg-categoría C sobre algún anillo R , existe una noción de suavidad y propiedad de C que se reduce a las nociones usuales de morfismos suaves y propios en el caso de que C sea la categoría de haces cuasi-coherentes en algún esquema X sobre R .

Relación con categorías trianguladas

Una categoría DG C se denomina pre-triangulada si tiene un funtor de suspensión y una clase de triángulos distinguidos compatibles con la suspensión, de modo que su categoría de homotopía Ho( C ) es una categoría triangulada . Se dice que una categoría triangulada T tiene una mejora dg C si C es una categoría dg pretriangulada cuya categoría de homotopía es equivalente a T . ^[2] Las mejoras dg de un funtor exacto entre categorías trianguladas se definen de manera similar. En general, no es necesario que existan mejoras dg de categorías trianguladas o funtores entre ellas, por ejemplo, se puede demostrar que la categoría de homotopía estable no surge de una categoría dg de esta manera. Sin embargo, existen varios resultados positivos, por ejemplo, la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana de Grothendieck A admite una mejora dg única. ${\displaystyle \Sigma }$

Véase también

• Álgebra diferencial
• Calificado (matemáticas)
• Categoría calificada
• Derivador

Referencias

1. Tabuada, Gonçalo (2005), "Invariants additifs de DG-catégories", Avisos internacionales de investigación en matemáticas , 2005 (53): 3309–3339, doi : 10.1155/IMRN.2005.3309 , ISSN  1073-7928, S2CID  119162782
2. Véase Alberto Canonaco; Paolo Stellari (2017), "Un recorrido sobre la existencia y singularidad de las mejoras y elevaciones de dg", Journal of Geometry and Physics , 122 : 28–52, arXiv : 1605.00490 , Bibcode :2017JGP...122...28C, doi :10.1016/j.geomphys.2016.11.030, S2CID  119326832para un estudio de los resultados de existencia y unicidad de las mejoras de dg.

• Keller, Bernhard (1994), "Derivación de categorías DG", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN  0012-9593, MR  1258406

Enlaces externos

• Categoría dg en nLab