Esquema derivado

En geometría algebraica , un esquema derivado es una generalización homotópica -teórica de un esquema en el que los anillos conmutativos clásicos se reemplazan con versiones derivadas como álgebras graduadas diferenciales , anillos conmutativos simpliciales o espectros de anillos conmutativos .

Desde el punto de vista del funtor de puntos, un esquema derivado es un haz X en la categoría de anillos conmutativos simpliciales que admite una cubierta afín abierta . ${\displaystyle \{Spec(A_{i})\to X\}}$

Desde el punto de vista del espacio anillado localmente, un esquema derivado es un par que consiste en un espacio topológico X y un haz de anillos conmutativos simples o de espectros de anillos conmutativos ^[1] en X tales que (1) el par es un esquema y (2) es un módulo cuasi- coherente . ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle (X,\pi _{0}{\mathcal {O}})}$ ${\displaystyle \pi _{k}{\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \pi _{0}{\mathcal {O}}}$

Una pila derivada es una generalización apilada de un esquema derivado.

Esquema de graduación diferencial

Sobre un campo de característica cero, la teoría está estrechamente relacionada con la de un esquema diferencial graduado. ^[2] Por definición, un esquema diferencial graduado se obtiene pegando esquemas diferenciales graduados afines, con respecto a la topología étale . ^[3] Fue introducido por Maxim Kontsevich ^[4] "como el primer enfoque a la geometría algebraica derivada". ^[5] y fue desarrollado posteriormente por Mikhail Kapranov e Ionut Ciocan-Fontanine.

Conexión con anillos graduados diferenciales y ejemplos

Así como la geometría algebraica afín es equivalente (en sentido categórico ) a la teoría de anillos conmutativos (comúnmente llamada álgebra conmutativa ), la geometría algebraica derivada afín sobre el cero característico es equivalente a la teoría de anillos graduados diferenciales conmutativos . Uno de los principales ejemplos de esquemas derivados proviene de la intersección derivada de subesquemas de un esquema, dando el complejo de Koszul . Por ejemplo, sea , entonces podemos obtener un esquema derivado ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{k}\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]=R}$

${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{\bullet })=\mathbf {RSpec} \left(R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})\right)}$

dónde

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}:({\textbf {dga}}_{\mathbb {C} })^{op}\to {\textbf {DerSch}}}$

es el espectro étale . ^{[ cita requerida ]} Dado que podemos construir una resolución

${\displaystyle {\begin{matrix}0\to &R&{\xrightarrow {\cdot f_{i}}}&R&\to 0\\&\downarrow &&\downarrow &\\0\to &0&\to &R/(f_{i})&\to 0\end{matrix}}}$

El anillo derivado , un producto tensorial derivado , es el complejo de Koszul . El truncamiento de este esquema derivado a la amplitud proporciona un modelo clásico que motiva la geometría algebraica derivada. Nótese que si tenemos un esquema proyectivo ${\displaystyle R/(f_{1})\otimes _{R}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{R}^{\mathbf {L} }R/(f_{k})}$ ${\displaystyle K_{R}(f_{1},\ldots ,f_{k})}$ ${\displaystyle [-1,0]}$

${\displaystyle \operatorname {Proj} \left({\frac {\mathbb {Z} [x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}\right)}$

donde podemos construir el esquema derivado donde ${\displaystyle \deg(f_{i})=d_{i}}$ ${\displaystyle (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {E}}^{\bullet },(f_{1},\ldots ,f_{k}))}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{\bullet }=[{\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-d_{k}){\xrightarrow {(\cdot f_{1},\ldots ,\cdot f_{k})}}{\mathcal {O}}]}$

con amplitud ${\displaystyle [-1,0]}$

Complejo cotangente

Construcción

Sea un álgebra graduada diferencial fija definida sobre un cuerpo de característica . Entonces, un álgebra graduada diferencial - se denomina semilibre si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})}$

1. El álgebra graduada subyacente es un álgebra polinómica sobre , lo que significa que es isomorfa a ${\displaystyle R_{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle A_{\bullet }[\{x_{i}\}_{i\in I}]}$
2. Existe una filtración en el conjunto de indexación donde y para cualquier . ${\displaystyle \varnothing =I_{0}\subseteq I_{1}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}=I}$ ${\displaystyle s(x_{i})\in A_{\bullet }[\{x_{j}\}_{j\in I_{n}}]}$ ${\displaystyle x_{i}\in I_{n+1}}$

Resulta que toda álgebra graduada diferencial admite un cuasi-isomorfismo sobreyectivo de un álgebra graduada diferencial semi-libre, llamado resolución semi-libre. Estos son únicos hasta la equivalencia de homotopía en una categoría de modelo adecuada. El complejo cotangente (relativo) de un álgebra graduada diferencial -se puede construir utilizando una resolución semi-libre : se define como ${\displaystyle A_{\bullet }}$ ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle (A_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B})}$ ${\displaystyle (R_{\bullet },d_{R})\to (B_{\bullet },d_{B})}$

${\displaystyle \mathbb {L} _{B_{\bullet }/A_{\bullet }}:=\Omega _{R_{\bullet }/A_{\bullet }}\otimes _{R_{\bullet }}B_{\bullet }}$

Se pueden construir muchos ejemplos tomando el álgebra que representa una variedad sobre un cuerpo de característica 0, hallando una presentación de como cociente de un álgebra polinómica y tomando el complejo de Koszul asociado a esta presentación. El complejo de Koszul actúa como una resolución semilibre del álgebra graduada diferencial donde es el álgebra graduada con la parte graduada no trivial en grado 0. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (B_{\bullet },0)}$ ${\displaystyle B_{\bullet }}$

Ejemplos

El complejo cotangente de una hipersuperficie se puede calcular fácilmente: dado que tenemos el dga que representa la mejora derivada de , podemos calcular el complejo cotangente como ${\displaystyle X=\mathbb {V} (f)\subset \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}}$ ${\displaystyle K_{R}(f)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to R\cdot ds{\xrightarrow {\Phi }}\bigoplus _{i}R\cdot dx_{i}\to 0}$

donde y es la derivación universal habitual. Si tomamos una intersección completa, entonces el complejo de Koszul ${\displaystyle \Phi (gds)=g\cdot df}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle R^{\bullet }={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1})}}\otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }\cdots \otimes _{\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{k})}}}$

es cuasi-isomorfo al complejo

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1},\ldots ,f_{k})}}[+0].}$

Esto implica que podemos construir el complejo cotangente del anillo derivado como el producto tensorial del complejo cotangente anterior para cada . ${\displaystyle R^{\bullet }}$ ${\displaystyle f_{i}}$

Observaciones

Tenga en cuenta que el complejo cotangente en el contexto de la geometría derivada difiere del complejo cotangente de los esquemas clásicos. Es decir, si hubiera una singularidad en la hipersuperficie definida por entonces, el complejo cotangente tendría una amplitud infinita. Estas observaciones proporcionan una motivación para la filosofía de suavidad oculta de la geometría derivada, ya que ahora estamos trabajando con un complejo de longitud finita. ${\displaystyle f}$

Complejos tangentes

Funciones polinómicas

Dada una función polinómica , considere el diagrama de retroceso (homotopía) ${\displaystyle f:\mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m},}$

${\displaystyle {\begin{matrix}Z&\to &\mathbb {A} ^{n}\\\downarrow &&\downarrow f\\\{pt\}&{\xrightarrow {0}}&\mathbb {A} ^{m}\end{matrix}}}$

donde la flecha inferior es la inclusión de un punto en el origen. Entonces, el esquema derivado tiene complejo tangente en está dado por el morfismo ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle x\in Z}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}=T_{x}\mathbb {A} ^{n}{\xrightarrow {df_{x}}}T_{0}\mathbb {A} ^{m}}$

donde el complejo tiene una amplitud . Nótese que el espacio tangente se puede recuperar usando y mide qué tan lejos está de ser un punto liso. ${\displaystyle [-1,0]}$ ${\displaystyle H^{0}}$ ${\displaystyle H^{-1}}$ ${\displaystyle x\in Z}$

Cocientes de pila

Dada una pila, existe una buena descripción para el complejo tangente: ${\displaystyle [X/G]}$

${\displaystyle \mathbf {T} _{x}={\mathfrak {g}}_{x}\to T_{x}X}$

Si el morfismo no es inyectivo, mide nuevamente cuán singular es el espacio. Además, la característica de Euler de este complejo produce la dimensión (virtual) correcta de la pila de cocientes. En particular, si observamos la pila de módulos de los fibrados principales, entonces el complejo tangente es simplemente . ${\displaystyle H^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}[+1]}$

Esquemas derivados en la teoría compleja de Morse

Los esquemas derivados se pueden utilizar para analizar las propiedades topológicas de las variedades afines. Por ejemplo, considere una variedad afín suave . Si tomamos una función regular y consideramos la sección de ${\displaystyle M\subset \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Omega _{M}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma _{df}:M\to \Omega _{M}\\x\mapsto (x,df(x))\end{cases}}}$

Luego, podemos tomar el diagrama de retroceso derivado

${\displaystyle {\begin{matrix}X&\to &M\\\downarrow &&\downarrow 0\\M&{\xrightarrow {\Gamma _{df}}}&\Omega _{M}\end{matrix}}}$

donde es la sección cero, construyendo un lugar crítico derivado de la función regular . ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

Ejemplo

Considere la variedad afín

${\displaystyle M=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y])}$

y la función regular dada por . Entonces, ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{3}}$

${\displaystyle \Gamma _{df}(a,b)=(a,b,2a,3b^{2})}$

donde tratamos las dos últimas coordenadas como . El lugar crítico derivado es entonces el esquema derivado ${\displaystyle dx,dy}$

${\displaystyle {\textbf {RSpec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(dx,dy)}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}^{\mathbf {L} }{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2x-dx,3y^{2}-dy)}}\right)}$

Nótese que dado que el término izquierdo en la intersección derivada es una intersección completa, podemos calcular un complejo que represente el anillo derivado como

${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])\otimes _{\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{\frac {\mathbb {C} [x,y,dx,dy]}{(2-dx,3y^{2}-dy)}}}$

¿Dónde está el complejo Koszul? ${\displaystyle K_{dx,dy}^{\bullet }(\mathbb {C} [x,y,dx,dy])}$

Lugar crítico derivado

Considere una función suave donde es suave. La mejora derivada de , el lugar crítico derivado , está dada por el esquema graduado diferencial donde el anillo graduado subyacente son los campos polivectoriales ${\displaystyle f:M\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$ ${\displaystyle (M,{\mathcal {A}}^{\bullet },Q)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-i}=\wedge ^{i}T_{M}}$

y el diferencial se define por la contracción por . ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle df}$

Ejemplo

Por ejemplo, si

${\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=x^{2}+y^{3}\end{cases}}}$

Tenemos el complejo

${\displaystyle R\cdot \partial x\wedge \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R\cdot \partial x\oplus R\cdot \partial y{\xrightarrow {2xdx+3y^{2}dy}}R}$

representando la mejora derivada de . ${\displaystyle \operatorname {Crit} (f)}$

Notas

1. también llamados a menudo espectros de anillo ${\displaystyle E_{\infty }}$
2. Sección 1.2 de Eugster, J.; Pridham, JP (25 de octubre de 2021). "Introducción a la geometría (algebraica) derivada". arXiv : 2109.14594 [math.AG].
3. Behrend, Kai (16 de diciembre de 2002). "Esquemas graduados diferenciales I: Álgebras de resolución perfecta". arXiv : math/0212225 .
4. Kontsevich, M. (5 de mayo de 1994). "Enumeración de curvas racionales mediante acciones de toro". arXiv : hep-th/9405035 .
5. "Esquema Dg".

Referencias

• Alcanzando la geometría algebraica derivada - Mathoverflow
• M. Anel, La geometría de la ambigüedad
• K. Behrend, Sobre la clase fundamental virtual
• P. Goerss, Formas modulares topológicas [según Hopkins, Miller y Lurie]
• B. Toën, Introducción a la geometría algebraica derivada
• M. Manetti, El complejo cotangente en característica 0
• G. Vezzosi, El lugar crítico derivado I - Fundamentos