Descomposición de Jordan-Chevalley

En matemáticas , específicamente en álgebra lineal , la descomposición de Jordan-Chevalley , llamada así por Camille Jordan y Claude Chevalley , expresa un operador lineal de una manera única como la suma de otros dos operadores lineales que son más simples de entender. Específicamente, una parte es potencialmente diagonalizable y la otra es nilpotente . Las dos partes son polinomios en el operador, lo que hace que se comporten bien en manipulaciones algebraicas.

La descomposición tiene una descripción breve cuando se da la forma normal de Jordan del operador, pero existe bajo hipótesis más débiles que las necesarias para la existencia de una forma normal de Jordan. Por lo tanto, la descomposición de Jordan-Chevalley puede verse como una generalización de la forma normal de Jordan, lo que también se refleja en varias demostraciones de la misma.

Está estrechamente relacionado con el teorema principal de Wedderburn sobre álgebras asociativas , que también conduce a varios análogos en las álgebras de Lie . También existen análogos de la descomposición de Jordan-Chevalley para elementos de grupos algebraicos lineales y grupos de Lie a través de una reformulación multiplicativa. La descomposición es una herramienta importante en el estudio de todos estos objetos y se desarrolló para este propósito.

En muchos textos, la parte potencialmente diagonalizable también se caracteriza como parte semisimple .

Introducción

Una cuestión básica en álgebra lineal es si un operador en un espacio vectorial de dimensión finita puede ser diagonalizado . Por ejemplo, esto está estrechamente relacionado con los valores propios del operador. En varios contextos, uno puede estar tratando con muchos operadores que no son diagonalizables. Incluso sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, puede no existir una diagonalización. En este contexto, la forma normal de Jordan logra el mejor resultado posible similar a una diagonalización. Para operadores lineales sobre un cuerpo que no es algebraicamente cerrado , puede no haber ningún vector propio en absoluto. Este último punto no es la principal preocupación tratada por la descomposición de Jordan-Chevalley. Para evitar este problema, en su lugar se consideran operadores potencialmente diagonalizables , que son aquellos que admiten una diagonalización sobre algún cuerpo (o equivalentemente sobre el cierre algebraico del cuerpo en consideración).

Los operadores que están "más lejos" de ser diagonalizables son los operadores nilpotentes . Se dice que un operador (o, más generalmente, un elemento de un anillo ) es nilpotente cuando existe algún entero positivo tal que . En varios contextos del álgebra abstracta , se da el caso de que la presencia de elementos nilpotentes de un anillo hace que sea mucho más complicado trabajar con ellos. ^{[ cita requerida ]} Hasta cierto punto, este también es el caso de los operadores lineales. La descomposición de Jordan-Chevalley "separa" la parte nilpotente de un operador que hace que no sea potencialmente diagonalizable. Por lo tanto, cuando existe, las complicaciones introducidas por los operadores nilpotentes y su interacción con otros operadores se pueden entender utilizando la descomposición de Jordan-Chevalley. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle x^{m}=0}$

Históricamente, la descomposición de Jordan-Chevalley estuvo motivada por las aplicaciones a la teoría de las álgebras de Lie y los grupos algebraicos lineales , ^[1] como se describe en las secciones siguientes.

Descomposición de un operador lineal

Sea un cuerpo , un espacio vectorial de dimensión finita sobre , y un operador lineal sobre (equivalentemente, una matriz con entradas de ). Si el polinomio mínimo de se divide en (por ejemplo, si es algebraicamente cerrado), entonces tiene una forma normal de Jordan . Si es la diagonal de , sea la parte restante. Entonces es una descomposición donde es diagonalizable y es nilpotente. Esta reformulación de la forma normal como una descomposición aditiva no solo hace que el cálculo numérico sea más estable ^{[ cita requerida ]} , sino que puede generalizarse a casos en los que el polinomio mínimo de no se divide. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=SJS^{-1}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle R=J-D}$ ${\displaystyle T=SDS^{-1}+SRS^{-1}}$ ${\displaystyle SDS^{-1}}$ ${\displaystyle SRS^{-1}}$ ${\displaystyle T}$

Si el polinomio mínimo de se divide en factores lineales distintos , entonces es diagonalizable. Por lo tanto, si el polinomio mínimo de es al menos separable , entonces es potencialmente diagonalizable. La descomposición de Jordan-Chevalley se ocupa del caso más general en el que el polinomio mínimo de es un producto de polinomios separables. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Sea cualquier operador lineal en el espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo . Una descomposición de Jordan-Chevalley de es una expresión de él como suma ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$,

donde es potencialmente diagonalizable, es nilpotente y . ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}x_{n}=x_{n}x_{s}}$

Descomposición de Jordan-Chevalley  —  Sea cualquier operador en el espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo . Entonces admite una descomposición de Jordan-Chevalley si y solo si el polinomio mínimo de es un producto de polinomios separables. Además, en este caso, hay una descomposición de Jordan-Chevalley única, y (y por lo tanto también ) puede escribirse como un polinomio (con coeficientes de ) en con coeficiente constante cero. ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$

En Couty, Esterle y Zarouf (2011) se analizan varias pruebas y a continuación se describen dos argumentos.

Si es un cuerpo perfecto , entonces cada polinomio es un producto de polinomios separables (ya que cada polinomio es un producto de sus factores irreducibles, y estos son separables sobre un cuerpo perfecto). Por lo tanto, en este caso, la descomposición de Jordan-Chevalley siempre existe. Además, sobre un cuerpo perfecto, un polinomio es separable si y solo si es libre de cuadrados. Por lo tanto, un operador es potencialmente diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo es libre de cuadrados. En general (sobre cualquier cuerpo), el polinomio mínimo de un operador lineal es libre de cuadrados si y solo si el operador es semisimple . ^[2] (En particular, la suma de dos operadores semisimples conmutativos es siempre semisimple sobre un cuerpo perfecto. La misma afirmación no es verdadera sobre cuerpos generales). La propiedad de ser semisimple es más relevante que ser potencialmente diagonalizable en la mayoría de los contextos donde se aplica la descomposición de Jordan-Chevalley, como para las álgebras de Lie. ^{[ cita requerida ]} Por estas razones, muchos textos se restringen al caso de campos perfectos. ${\displaystyle K}$

Prueba de unicidad y necesidad

El hecho de que y sean polinomios en implica en particular que conmutan con cualquier operador que conmuta con . Esta observación sustenta la prueba de unicidad. ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Sea una descomposición de Jordan-Chevalley en la que y (por lo tanto también) son polinomios en . Sea cualquier descomposición de Jordan-Chevalley. Entonces , y ambos conmutan con , por lo tanto con ya que estos son polinomios en . La suma de operadores nilpotentes conmutativos es nuevamente nilpotente, y la suma de operadores potencialmente diagonalizables conmutativos nuevamente potencialmente diagonalizables (porque son simultáneamente diagonalizables sobre la clausura algebraica de ). Dado que el único operador que es a la vez potencialmente diagonalizable y nilpotente es el operador cero, se sigue que . ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{s}'+x_{n}'}$ ${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=x_{n}'-x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}',x_{n}'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x_{s}-x_{s}'=0=x_{n}-x_{n}'}$

Para demostrar que es necesaria la condición de que haya un polinomio mínimo que sea producto de polinomios separables, supongamos que es alguna descomposición de Jordan-Chevalley. Si es el polinomio mínimo separable de , se puede comprobar usando el teorema binomial que se puede escribir como donde es algún polinomio en . Además, para algún , . Por lo tanto, el polinomio mínimo de debe dividir a . Como es un producto de polinomios separables (es decir, de copias de ), también lo es el polinomio mínimo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle p(x_{s}+x_{n})}$ ${\displaystyle x_{n}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle \ell \geq 1}$ ${\displaystyle x_{n}^{\ell }=0}$ ${\displaystyle p(x)^{\ell }=x_{n}^{\ell }y^{\ell }=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p^{\ell }}$ ${\displaystyle p^{\ell }}$ ${\displaystyle p}$

Ejemplo concreto de no existencia

Si el cuerpo fundamental no es perfecto , entonces puede que no exista una descomposición de Jordan-Chevalley, ya que es posible que el polinomio mínimo no sea un producto de polinomios separables. El ejemplo más simple de este tipo es el siguiente. Sea un número primo, sea un cuerpo imperfecto de característica (p. ej . ) y elija que no sea una potencia ésima. Sea la imagen en el cociente y sea el operador -lineal dado por la multiplicación por en . Nótese que el polinomio mínimo es precisamente , que es inseparable y un cuadrado. Por la necesidad de la condición para la descomposición de Jordan-Chevalley (como se muestra en la última sección), este operador no tiene una descomposición de Jordan-Chevalley. Puede ser instructivo ver concretamente por qué no hay al menos ninguna descomposición en una parte libre de cuadrados y una parte nilpotente. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle k=\mathbb {F} _{p}(t)}$ ${\displaystyle a\in k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V=k[X]/\left(X^{p}-a\right)^{2},}$ ${\displaystyle x={\overline {X}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$

Si en lugar de con el polinomio , se realiza la misma construcción con , el operador resultante todavía no admite una descomposición de Jordan-Chevalley por el teorema principal. Sin embargo, es semisimple. La descomposición trivial, por lo tanto, se expresa como una suma de un operador semisimple y un operador nilpotente, ambos polinomios en . ${\displaystyle \left(X^{p}-a\right)^{2}}$ ${\displaystyle {X^{p}}-a}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T+0}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$

Prueba elemental de existencia

Esta construcción es similar al lema de Hensel en el sentido de que utiliza un análogo algebraico del teorema de Taylor para encontrar un elemento con una determinada propiedad algebraica mediante una variante del método de Newton . En esta forma, se toma de (Geck 2022).

Sea un polinomio mínimo y supongamos que es un producto de polinomios separables. Esta condición es equivalente a exigir que exista algún separable tal que y para algún . Por el lema de Bézout , existen polinomios y tales que . Esto se puede utilizar para definir una recursión , que comienza con . Si es el álgebra de operadores que son polinomios en , se puede comprobar por inducción que para todo : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mid p}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {uq+{vq'}}=1}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-v(x_{n})q(x_{n})}$ ${\displaystyle x_{0}=x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle x_{n}\in {\mathfrak {X}}}$porque en cada paso se aplica un polinomio,
• ${\displaystyle q(x_{n})\in q(x)^{2^{n}}\cdot {\mathfrak {X}}}$porque para algunos (según la versión algebraica del teorema de Taylor). Por definición de así como de y , esto se simplifica a , que de hecho se encuentra en por hipótesis de inducción, ${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})+q'(x_{n})(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n+1}-x_{n})^{2}h}$ ${\displaystyle h\in {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle x_{n+1}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle q(x_{n+1})=q(x_{n})^{2}(u(x_{n})+v(x_{n})^{2}h)}$ ${\displaystyle q(x)^{2^{n+1}}\cdot {\mathfrak {X}}}$
• ${\displaystyle x_{n}-x\in q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$porque y ambos términos están en , el primero por el punto anterior y el segundo por hipótesis de inducción. ${\displaystyle x_{n+1}-x=(x_{n+1}-x_{n})+(x_{n}-x)}$ ${\displaystyle q(x)\cdot {\mathfrak {X}}}$

Por lo tanto, tan pronto como , por el segundo punto ya que y , entonces el polinomio mínimo de será divisible y, por lo tanto, separable. Además, será un polinomio en por el primer punto y será nilpotente por el tercer punto (de hecho, ). Por lo tanto, es entonces la descomposición de Jordan-Chevalley de . QED ${\displaystyle 2^{n}\geq m}$ ${\displaystyle q(x_{n})=0}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}-x}$ ${\displaystyle (x_{n}-x)^{m}=0}$ ${\displaystyle x=x_{n}+(x-x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Esta demostración, además de ser completamente elemental, tiene la ventaja de que es algorítmica : por el teorema de Cayley-Hamilton , puede tomarse como el polinomio característico de y, en muchos contextos, puede determinarse a partir de . ^[3] Luego puede determinarse utilizando el algoritmo euclidiano . La iteración de aplicar el polinomio a la matriz puede realizarse hasta que (porque entonces todos los valores posteriores serán iguales) o exceda la dimensión del espacio vectorial en el que está definido (donde es el número de pasos de iteración realizados, como se indicó anteriormente). ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle vq}$ ${\displaystyle v(x_{n})q(x_{n})=0}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Prueba de existencia mediante la teoría de Galois

Esta prueba, o variantes de ella, se usa comúnmente para establecer la descomposición de Jordan-Chevalley. Tiene la ventaja de que es muy directa y describe con bastante precisión cuán cerca se puede llegar a una descomposición de Jordan-Chevalley: Si es el cuerpo de descomposición del polinomio mínimo de y es el grupo de automorfismos de que fijan el cuerpo base , entonces el conjunto de elementos de que son fijados por todos los elementos de es un cuerpo con inclusiones (ver correspondencia de Galois ). A continuación se argumenta que admite una descomposición de Jordan-Chevalley sobre , pero no sobre ningún cuerpo más pequeño. ^{[ cita requerida ]} Este argumento no utiliza la teoría de Galois . Sin embargo, se requiere la teoría de Galois para deducir de esto la condición para la existencia de la descomposición de Jordan-Chevalley dada anteriormente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\subseteq F\subseteq L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F}$

Anteriormente se observó que si tiene una forma normal de Jordan (es decir, si el polinomio mínimo de se divide), entonces tiene una descomposición de Jordan Chevalley. En este caso, también se puede ver directamente que (y, por lo tanto, también ) es un polinomio en . De hecho, basta con comprobar esto para la descomposición de la matriz de Jordan . Este es un argumento técnico, pero no requiere ningún truco más allá del teorema chino del resto . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle J=D+R}$

Este hecho puede utilizarse para deducir la descomposición de Jordan-Chevalley en el caso general. Sea el cuerpo de descomposición del polinomio minimal de , de modo que admite una forma normal de Jordan sobre . Entonces, por el argumento que se acaba de dar, tiene una descomposición de Jordan-Chevalley donde es un polinomio con coeficientes de , es diagonalizable (sobre ) y es nilpotente. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x={c(x)}+{(x-{c(x)})}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle c(x)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x-c(x)}$

Sea un automorfismo de cuerpo de cuyo valor es fijo . Entonces Aquí hay un polinomio en , por lo que es . Por lo tanto, y conmutan. Además, es potencialmente diagonalizable y es nilpotente. Por lo tanto, por la unicidad de la descomposición de Jordan-Chevalley (sobre ), y . Por lo tanto, por definición, son endomorfismos (representados por matrices) sobre . Finalmente, dado que contiene una -base que abarca el espacio que contiene a , por el mismo argumento, también vemos que tiene coeficientes en . QED ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle c(x)+(x-{c(x)})=x={\sigma (x)}={\sigma ({c(x)})}+{\sigma (x-{c(x)})}}$$ ${\displaystyle \sigma (c(x))=\sigma (c)(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-c(x)}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))}$ ${\displaystyle \sigma (x-c(x))}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))}$ ${\displaystyle \sigma ({x-c(x)})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$ ${\displaystyle \sigma (c(x))=c(x)}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \left\{1,x,x^{2},\dots \right\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x_{s},x_{n}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle F}$

Si el polinomio mínimo de es un producto de polinomios separables, entonces la extensión del campo es Galois , lo que significa que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle F=K}$

Relaciones con la teoría de las álgebras

Álgebras separables

La descomposición de Jordan-Chevalley está muy relacionada con el teorema principal de Wedderburn en la siguiente formulación: ^[4]

Teorema principal de Wedderburn  :  Sea un álgebra asociativa de dimensión finita sobre el cuerpo con radical de Jacobson . Entonces es separable si y solo si tiene una subálgebra semisimple separable tal que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B\oplus J}$

Por lo general, el término "separable" en este teorema se refiere al concepto general de un álgebra separable y el teorema podría entonces establecerse como un corolario de un resultado más general de alta potencia. ^[5] Sin embargo, si en cambio se interpreta en el sentido más básico de que cada elemento tiene un polinomio mínimo separable, entonces esta afirmación es esencialmente equivalente a la descomposición de Jordan-Chevalley como se describió anteriormente. Esto proporciona una forma diferente de ver la descomposición y, por ejemplo, (Jacobson 1979) toma esta ruta para establecerla.

Sobre cuerpos perfectos, este resultado se simplifica. De hecho, entonces es siempre separable en el sentido de polinomios mínimos: Si , entonces el polinomio mínimo es un producto de polinomios separables, por lo que existe un polinomio separable tal que y para algún . Por lo tanto . Por lo tanto, en , el polinomio mínimo de divide a y es, por lo tanto, separable. El punto crucial en el teorema no es entonces que sea separable (porque esa condición es vacua), sino que es semisimple, lo que significa que su radical es trivial. ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\mid p}$ ${\displaystyle p\mid q^{m}}$ ${\displaystyle m\geq 1}$ ${\displaystyle q(a)\in J}$ ${\displaystyle A/J}$ ${\displaystyle a+J}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle A/J}$

La misma afirmación es válida para las álgebras de Lie, pero sólo en el caso de característica cero. Éste es el contenido del teorema de Levi . (Obsérvese que las nociones de semisimple en ambos resultados efectivamente se corresponden, porque en ambos casos esto es equivalente a ser la suma de subálgebras simples o tener radical trivial, al menos en el caso de dimensión finita).

Preservación bajo representaciones

El punto crucial en la prueba del teorema principal de Wedderburn anterior es que un elemento corresponde a un operador lineal con las mismas propiedades. En la teoría de las álgebras de Lie, esto corresponde a la representación adjunta de un álgebra de Lie . Este operador descompuesto tiene una descomposición de Jordan-Chevalley . Al igual que en el caso asociativo, esto corresponde a una descomposición de , pero los polinomios no están disponibles como herramienta. Un contexto en el que esto sí tiene sentido es el caso restringido donde está contenido en el álgebra de Lie de los endomorfismos de un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo perfecto . De hecho, cualquier álgebra de Lie semisimple se puede realizar de esta manera. ^[6] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle T_{x}:A\to A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x)_{s}+\operatorname {ad} (x)_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$

Si es la descomposición de Jordan, entonces es la descomposición de Jordan del endomorfismo adjunto en el espacio vectorial . En efecto, primero, y conmutan ya que . Segundo, en general, para cada endomorfismo , tenemos: ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)=\operatorname {ad} (x_{s})+\operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x_{n})}$ ${\displaystyle [\operatorname {ad} (x_{s}),\operatorname {ad} (x_{n})]=\operatorname {ad} ([x_{s},x_{n}])=0}$ ${\displaystyle y\in {\mathfrak {g}}}$

1. Si , entonces , ya que es la diferencia de las multiplicaciones izquierda y derecha por y . ${\displaystyle y^{m}=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)^{2m-1}=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$
2. Si es semisimple, entonces es semisimple, ya que semisimple es equivalente a potencialmente diagonalizable sobre un cuerpo perfecto (si es diagonal sobre la base , entonces es diagonal sobre la base que consiste en las funciones con y para ). ^[7] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (y)}$ ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle b_{i}\mapsto b_{j}}$ ${\displaystyle b_{k}\mapsto 0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

Por tanto, por unicidad, y . ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{s}=\operatorname {ad} (x_{s})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)_{n}=\operatorname {ad} (x_{n})}$

La representación adjunta es una representación muy natural y general de cualquier álgebra de Lie. El argumento anterior ilustra (y de hecho prueba) un principio general que generaliza esto: Si es cualquier representación finito-dimensional de un álgebra de Lie finito-dimensional semisimple sobre un cuerpo perfecto, entonces conserva la descomposición de Jordan en el siguiente sentido: si , entonces y . ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}}$ ${\displaystyle \pi (x_{s})=\pi (x)_{s}}$ ${\displaystyle \pi (x_{n})=\pi (x)_{n}}$

Criterio de nilpotencia

La descomposición de Jordan se puede utilizar para caracterizar la nilpotencia de un endomorfismo. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, el anillo de endomorfismo de k sobre números racionales y V un espacio vectorial de dimensión finita sobre k . Dado un endomorfismo , sea la descomposición de Jordan. Entonces es diagonalizable; es decir, donde cada uno es el espacio propio para el valor propio con multiplicidad . Entonces para cualquier sea el endomorfismo tal que es la multiplicación por . Chevalley llama a la réplica de dada por . (Por ejemplo, si , entonces el conjugado complejo de un endomorfismo es un ejemplo de una réplica). Ahora, ${\displaystyle E=\operatorname {End} _{\mathbb {Q} }(k)}$ ${\displaystyle x:V\to V}$ ${\displaystyle x=s+n}$ ${\displaystyle s}$ ${\textstyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle \varphi \in E}$ ${\displaystyle \varphi (s):V\to V}$ ${\displaystyle \varphi (s):V_{i}\to V_{i}}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$

Criterio de nilpotencia  —  ^[10] es nilpotente (es decir, ) si y solo si para cada . Además, si , entonces es suficiente que la condición se cumpla para la conjugación compleja. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=0}$ ${\displaystyle \varphi \in E}$ ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi =}$

Prueba: Primero, dado que es nilpotente, ${\displaystyle n\varphi (s)}$

${\displaystyle 0=\operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} \left(s\varphi (s)|V_{i}\right)=\sum _{i}m_{i}\lambda _{i}\varphi (\lambda _{i})}$.

Si es la conjugación compleja, esto implica que para cada i . De lo contrario, se considera que es una función lineal seguida de . Aplicando eso a la ecuación anterior, se obtiene: ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \varphi :k\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \hookrightarrow k}$

${\displaystyle \sum _{i}m_{i}\varphi (\lambda _{i})^{2}=0}$

y, dado que todos son números reales, para cada i . Variar los funcionales lineales implica entonces para cada i . ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})}$ ${\displaystyle \varphi (\lambda _{i})=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0}$ ${\displaystyle \square }$

Una aplicación típica del criterio anterior es la prueba del criterio de Cartan para la solubilidad de un álgebra de Lie. Dice: si es una subálgebra de Lie sobre un cuerpo k de característica cero tal que para cada , entonces es resoluble. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (xy)=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},y\in D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Demostración: ^[11] Sin pérdida de generalidad, supongamos que k es algebraicamente cerrado. Por el teorema de Lie y el teorema de Engel , basta con demostrar que para cada , es un endomorfismo nilpotente de V . Escribimos . Luego debemos demostrar: ${\displaystyle x\in D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle x=\sum _{i}[x_{i},y_{i}]}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (x\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} ([x_{i},y_{i}]\varphi (s))=\sum _{i}\operatorname {tr} (x_{i}[y_{i},\varphi (s)])}$

es cero. Sea . Nótese que tenemos: y, puesto que es la parte semisimple de la descomposición de Jordan de , se deduce que es un polinomio sin término constante en ; por lo tanto, y lo mismo es cierto con en lugar de . Es decir, , lo que implica la afirmación dada la suposición. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}'={\mathfrak {gl}}(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{{\mathfrak {g}}'}(s):{\mathfrak {g}}\to D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \varphi (s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle [\varphi (s),{\mathfrak {g}}]\subset D{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \square }$

Álgebras de Lie semisimples reales

En la formulación de Chevalley y Mostow , la descomposición aditiva establece que un elemento X en un álgebra de Lie semisimple real g con descomposición de Iwasawa g = k ⊕ a ⊕ n se puede escribir como la suma de tres elementos conmutativos del álgebra de Lie X = S + D + N , con S , D y N conjugados a elementos en k , a y n respectivamente. En general, los términos en la descomposición de Iwasawa no conmutan.

Descomposición multiplicativa

Si es un operador lineal invertible, puede ser más conveniente utilizar una descomposición multiplicativa de Jordan-Chevalley. Esto se expresa como un producto ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=x_{s}\cdot x_{u}}$,

donde es potencialmente diagonalizable, y es nilpotente (también se dice que es unipotente). ${\displaystyle x_{s}}$ ${\displaystyle x_{u}-1}$ ${\displaystyle x_{u}}$

La versión multiplicativa de la descomposición se sigue de la aditiva ya que, como es invertible (porque la suma de un operador invertible y un operador nilpotente es invertible) ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle x=x_{s}+x_{n}=x_{s}\left(1+x_{s}^{-1}x_{n}\right)}$

y es unipotente. (A la inversa, mediante el mismo tipo de argumento, se puede deducir la versión aditiva de la multiplicativa.) ${\displaystyle 1+x_{s}^{-1}x_{n}}$

La versión multiplicativa está estrechamente relacionada con las descomposiciones que se encuentran en un grupo algebraico lineal. Para ello, resulta útil suponer que el cuerpo subyacente es perfecto, ya que entonces la descomposición de Jordan-Chevalley existe para todas las matrices. ${\displaystyle K}$

Grupos algebraicos lineales

Sea un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo perfecto. Entonces, esencialmente por definición, hay una incrustación cerrada . Ahora, para cada elemento , por la descomposición multiplicativa de Jordan, hay un par de un elemento semisimple y un elemento unipotente a priori en tales que . Pero, como resulta, ^[12] se puede demostrar que los elementos están en (es decir, satisfacen las ecuaciones definitorias de G ) y que son independientes de la incrustación en ; es decir, la descomposición es intrínseca. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\hookrightarrow \mathbf {GL} _{n}}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle g_{u}}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$ ${\displaystyle g=g_{s}g_{u}=g_{u}g_{s}}$ ${\displaystyle g_{s},g_{u}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbf {GL} _{n}}$

Cuando G es abeliano, entonces es el producto directo del subgrupo cerrado de los elementos semisimples en G y el de los elementos unipotentes. ^[13] ${\displaystyle G}$

Grupos de Lie semisimples reales

La descomposición multiplicativa establece que si g es un elemento del grupo de Lie semisimple conexo correspondiente G con la descomposición de Iwasawa correspondiente G = KAN , entonces g puede escribirse como el producto de tres elementos conmutativos g = sdu con s , d y u conjugados a elementos de K , A y N respectivamente. En general, los términos en la descomposición de Iwasawa g = kan no conmutan.

Referencias

1. Couty, Esterle y Zarouf 2011, págs. 15-19
2. Conrad, Keith. "Semisimplicity" (PDF) . Documentos expositivos . Consultado el 9 de enero de 2024 .
3. Geck 2022, págs. 2-3
4. Ring Theory. Prensa académica. 18 de abril de 1972. ISBN 9780080873572.
5. Cohn, Paul M. (2002). Álgebra adicional y aplicaciones . Springer Londres. ISBN 978-1-85233-667-7.
6. Humphreys 1972, pág. 8
7. Esto no es fácil de ver en general, pero se muestra en la prueba de (Jacobson 1979, Cap. III, § 7, Teorema 11). Nota editorial: necesitamos agregar una discusión de este asunto en " operador semisimple ".
8. Weber, Brian (2 de octubre de 2012). «Conferencia 8: Preservación de la descomposición de Jordan y el teorema de Levi» (PDF) . Apuntes del curso . Consultado el 9 de enero de 2024 .
9. Fulton y Harris 1991, Teorema 9.20.
10. Serre 1992, LA 5.17. Lema 6.7. El endomorfismo
11. Serre 1992, LA 5.19. Teorema 7.1.
12. Waterhouse 1979, Teorema 9.2.
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