Categoría de mayor peso

En el campo matemático de la teoría de la representación , una categoría de mayor peso es una k -categoría lineal C (aquí k es un campo ) que

B\cap \left(\bigcup _{\alpha }A_{\alpha }\right)=\bigcup _{\alpha }\left(B\cap A_{\alpha }\right)

para todos los subobjetos B y cada familia de subobjetos { A _α } de cada objeto X

y tal que existe un poset localmente finito Λ (cuyos elementos se denominan pesos de C ) que satisface las siguientes condiciones: ^[2]

El poset Λ indexa un conjunto exhaustivo de objetos simples no isomorfos { S ( λ )} en C .
Λ también indexa una colección de objetos { A ( λ )} de objetos de C tales que existen incrustaciones S ( λ ) → A ( λ ) tales que todos los factores de composición S ( μ ) de A ( λ )/ S ( λ ) satisfacer μ < λ . ^[3]
Para todo μ , λ en Λ,

\dim _{k}\operatorname {Hom} _{k}(A(\lambda ),A(\mu ))

es finita, y la multiplicidad ^[4]

[A(\lambda):S(\mu)]

también es finito.

Cada S ( λ ) tiene una envoltura inyectiva I ( λ ) en C equipada con una filtración creciente.

0=F_{0}(\lambda )\subseteq F_{1}(\lambda )\subseteq \dots \subseteq I(\lambda )

tal que

$F_{1}(\lambda)=A(\lambda)$
para n > 1, para algunos μ = λ ( n ) > λ $F_{n}(\lambda)/F_{n-1}(\lambda)\cong A(\mu)$
para cada μ en Λ, λ ( n ) = μ solo para un número finito de n
$\bigcup _{i}F_{i}(\lambda )=I(\lambda ).$

Ejemplos

La categoría del módulo del álgebra de matrices triangulares superiores sobre . $k$ $n\times n$ $k$
Este concepto lleva el nombre de la categoría de módulos de mayor peso de las álgebras de Lie.
Un álgebra de dimensión finita es cuasi hereditaria si y si la categoría de su módulo es una categoría de mayor peso. En particular, todas las categorías de módulos sobre álgebras semisimples y hereditarias son categorías de mayor peso. $k$ $A$
Un álgebra celular sobre un campo es cuasi hereditario (y por lo tanto su categoría de módulo es una categoría de mayor peso) si su determinante de Cartan es 1.

^ En el sentido de que admite límites directos arbitrarios de subobjetos y todo objeto es una unión de sus subobjetos de longitud finita .
^ Cline, Parshall y Scott 1988, §3
^ Aquí, un factor de composición de un objeto A en C es, por definición, un factor de composición de uno de sus subobjetos de longitud finita.
^ Aquí, si A es un objeto en C y S es un objeto simple en C , la multiplicidad [A:S] es, por definición, el supremo de la multiplicidad de S en todos los subobjetos de longitud finita de A.

Cline, E.; Parshall, B.; Scott, L. (enero de 1988). "Álgebras de dimensión finita y categorías de mayor peso" (PDF) . Journal für die reine und angewandte Mathematik . Berlín, Alemania : Walter de Gruyter . 1988 (391): 85–99. CiteSeerX 10.1.1.112.6181 . doi :10.1515/crll.1988.391.85. ISSN 0075-4102. OCLC 1782270. S2CID 118202731 . Consultado el 17 de julio de 2012 .