Un espacio de fibras de Seifert es una variedad de 3 junto con una descomposición como una unión disjunta de círculos. En otras palabras, es un paquete ( paquete circular ) sobre un orbifold bidimensional . Muchas variedades de 3 son espacios de fibras de Seifert y representan todas las variedades orientadas compactas en 6 de las 8 geometrías de Thurston de la conjetura de geometrización .
Una variedad de Seifert es una variedad cerrada de 3 y se descompone en una unión disjunta de círculos (llamados fibras) de modo que cada fibra tiene una vecindad tubular que forma un toro de fibras estándar.
Un toro fibroso estándar correspondiente a un par de números enteros coprimos es el haz de superficie del automorfismo de un disco dado por la rotación en un ángulo de (con la fibra natural mediante círculos). Si la fibra media se denomina ordinaria , mientras que si la fibra media se denomina excepcional . Un espacio compacto de fibras de Seifert tiene sólo un número finito de fibras excepcionales.
El conjunto de fibras forma un orbital bidimensional , denotado por B y llamado base —también llamada superficie orbital— de la fibración. Tiene una superficie bidimensional subyacente , pero puede tener algunos puntos orbitales especiales correspondientes a las fibras excepcionales.
La definición de fibración de Seifert se puede generalizar de varias maneras. A la variedad Seifert a menudo se le permite tener un límite (también fibrado por círculos, por lo que es una unión de toros). Cuando se estudian variedades no orientables, a veces es útil permitir que las fibras tengan vecindades que se parezcan al haz de superficie de una reflexión (en lugar de una rotación) de un disco, de modo que algunas fibras tengan vecindades que parezcan botellas de Klein con fibras, en las que En este caso puede haber familias de curvas excepcionales de un solo parámetro. En ambos casos, la base B de la fibración suele tener un límite no vacío.
Herbert Seifert clasificó todas las fibraciones cerradas de Seifert en términos de las siguientes invariantes. Las variedades de Seifert se indican mediante símbolos.
donde: es uno de los 6 símbolos: , (o Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII en la notación original de Seifert) que significa:
Aquí
La fibración Seifert del símbolo.
se puede construir a partir del símbolo
mediante el uso de cirugía para agregar fibras de los tipos b y .
Si eliminamos las condiciones de normalización, el símbolo se puede cambiar de la siguiente manera:
Dos fibraciones cerradas orientadas o no orientables de Seifert son isomorfas como fibraciones orientadas o no orientables si y solo si tienen el mismo símbolo normalizado. Sin embargo, a veces es posible que dos variedades de Seifert sean homeomórficas incluso si tienen diferentes símbolos normalizados, porque algunas variedades (como los espacios de lentes) pueden tener más de un tipo de fibración de Seifert. También una fibración orientada bajo un cambio de orientación pasa a ser la fibración Seifert cuyo símbolo tiene el signo de todas las b s cambiadas, lo que tras la normalización le da el símbolo
y es homeomorfo a esto como una variedad no orientada.
La suma es una invariante de fibraciones orientadas, que es cero si y sólo si la fibración se vuelve trivial después de tomar una cobertura finita de B.
La característica orbifold de Euler del orbifold B viene dada por
donde es la característica habitual de Euler de la superficie topológica subyacente del orbifold B. El comportamiento de M depende en gran medida del signo de la característica orbifold de Euler de B.
El grupo fundamental de M encaja en la secuencia exacta
¿Dónde está el grupo fundamental orbifold de B (que no es lo mismo que el grupo fundamental de la variedad topológica subyacente)? La imagen del grupo es cíclica, normal y generada por el elemento h representado por cualquier fibra regular, pero el mapa de π 1 ( S 1 ) a π 1 ( M ) no siempre es inyectivo.
El grupo fundamental de M tiene la siguiente presentación por generadores y relaciones:
B orientable:
donde ε es 1 para el tipo o 1 y es −1 para el tipo o 2 .
B no orientable:
donde ε i es 1 o −1 dependiendo de si el generador correspondiente v i conserva o invierte la orientación de la fibra. (Entonces ε i son todos 1 para el tipo n 1 , todos −1 para el tipo n 2 , solo el primero es uno para el tipo n 3 y solo los dos primeros son uno para el tipo n 4 ).
Los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler orbifold positiva se muestran en la siguiente lista. Estas variedades Seifert suelen tener muchas fibraciones Seifert diferentes. Tienen una geometría de Thurston esférica si el grupo fundamental es finito, y una geometría de Thurston S 2 × R si el grupo fundamental es infinito. De manera equivalente, la geometría es S 2 × R si la variedad no es orientable o si b + Σ b i / a i = 0, y geometría esférica en caso contrario.
{ b ; ( o 1 , 0);} ( b integral) es S 2 × S 1 para b =0, de lo contrario un espacio de lente L ( b ,1). En particular, {1; ( o 1 , 0);} = L (1,1) es la 3 esferas.
{ b ; ( o 1 , 0);( a 1 , b 1 )} ( b integral) es el espacio de la lente L ( ba 1 + b 1 , a 1 ).
{ b ; ( o 1 , 0);( a 1 , b 1 ), ( a 2 , b 2 )} ( b integral) es S 2 × S 1 si ba 1 a 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 = 0 , de lo contrario, el espacio de la lente L ( ba 1 a 2 + a 1 b 2 + a 2 b 1 , ma 2 + nb 2 ) donde ma 1 − n ( ba 1 + b 1 ) = 1.
{ b ; ( o 1 , 0);(2, 1), (2, 1), ( a 3 , b 3 )} ( b integral) Esta es la variedad de prismas con grupo fundamental de orden 4 a 3 |( b +1) un 3 + segundo 3 | y primer grupo de homología de orden 4|( b +1) a 3 + b 3 |.
{ b ; ( o 1 , 0);(2, 1), (3, b 2 ), (3, b 3 )} ( b integral) El grupo fundamental es una extensión central del grupo tetraédrico de orden 12 por un grupo cíclico.
{ b ; ( o 1 , 0);(2, 1), (3, b 2 ), (4, b 3 )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden |12 b +6+4 segundo 2 + 3 segundo 3 | y una doble portada de orden 48 del grupo octaédrico de orden 24.
{ b ; ( o 1 , 0);(2, 1), (3, b 2 ), (5, b 3 )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden m =|30 b +15 +10 segundo 2 +6 segundo 3 | y el orden 120 doble cobertura perfecta del grupo icosaédrico. Las variedades son cocientes de la esfera de homología de Poincaré por grupos cíclicos de orden m . En particular, {-1; ( o 1 , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} es la esfera de Poincaré.
{ b ; ( n 1 , 1);} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3 variedades no orientables con geometría S 2 × R. Si b es par, esto es homeomorfo al plano proyectivo multiplicado por el círculo; de lo contrario, es homeomorfo a un paquete de superficie asociado a un automorfismo de inversión de orientación de las 2 esferas.
{ b ; ( n 1 , 1);( a 1 , b 1 )} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3 variedades no orientables con geometría S 2 × R. Si ba 1 + b 1 es par, esto es homeomorfo al plano proyectivo multiplicado por el círculo; de lo contrario, es homeomorfo a un paquete de superficie asociado a un automorfismo de inversión de orientación de las 2 esferas.
{ b ; ( n 2 , 1);} ( b integral.) Esta es la variedad de prismas con grupo fundamental de orden 4| segundo | y primer grupo de homología de orden 4, excepto b =0 cuando es suma de dos copias del espacio proyectivo real, y | b |=1 cuando es el espacio de lentes con grupo fundamental de orden 4.
{ b ; ( n 2 , 1);( a 1 , b 1 )} ( b integral.) Esta es la variedad de prismas (única) con grupo fundamental de orden 4 a 1 | ba 1 + segundo 1 | y primer grupo de homología de orden 4 a 1 .
Los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler orbifold cero se muestran en la siguiente lista. Las variedades tienen geometría euclidiana de Thurston si no son orientables o si b + Σ b i / a i = 0, y geometría nula en caso contrario. De manera equivalente, la variedad tiene geometría euclidiana si y sólo si su grupo fundamental tiene un grupo abeliano de índice finito. Hay 10 variedades euclidianas, pero cuatro de ellas tienen dos fibraciones Seifert diferentes. Todos los haces de superficie asociados a automorfismos del toro 2 de la traza 2, 1, 0, −1 o −2 son fibraciones de Seifert con característica de Euler orbifold cero (las de otros automorfismos ( Anosov ) no son espacios de fibras de Seifert, pero tienen geometría del sol ). Todas las variedades con geometría nula tienen una fibración Seifert única y se caracterizan por sus grupos fundamentales. Los espacios totales son todos acíclicos.
{ b ; ( o 1 , 0); (3, b 1 ), (3, b 2 ), (3, b 3 )} ( b integral, b i es 1 o 2) Para b + Σ b i / a i = 0 esta es una euclidiana orientada 2- haz de toro sobre el círculo, y es el haz de superficie asociado a una rotación de orden 3 (trazo −1) del toro 2.
{ b ; ( o 1 , 0); (2,1), (4, b 2 ), (4, b 3 )} ( b integral, b i es 1 o 3) Para b + Σ b i / a i = 0 este es un 2-toro euclidiano orientado haz sobre el círculo, y es el haz de superficie asociado a una rotación de orden 4 (trazo 0) del 2-toro.
{ b ; ( o 1 , 0); (2, 1), (3, b 2 ), (6, b 3 )} ( b integral, b 2 es 1 o 2, b 3 es 1 o 5) Para b + Σ b i / a i = 0 esto es un haz euclidiano de 2 toros orientado sobre el círculo, y es el haz de superficie asociado a una rotación de orden 6 (trazo 1) del 2 toros.
{ b ; ( o 1 , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b integral) Estos son paquetes de 2 toros orientados para automorfismos de traza −2 del 2 toros. Para b = −2, este es un haz euclidiano de 2 toros orientado sobre el círculo (el haz de superficie asociado a una rotación de orden 2 del 2 toros) y es homeomorfo a {0; ( norte 2 , 2);}.
{ b ; ( o 1 , 1); } ( b integral) Este es un paquete de 2 toros orientado sobre el círculo, dado como el paquete de superficie asociado a un automorfismo de traza 2 del 2-toro. Para b =0 esto es euclidiano y es el 3-toro (el paquete de superficie asociado al mapa de identidad del 2-toro).
{ b ; ( o 2 , 1); } ( b es 0 o 1) Dos paquetes de botellas de Klein euclidianas no orientables sobre el círculo. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z si b =1. El primero es la botella de Klein multiplicada por S 1 y el otro es el haz de superficies asociado a un giro de Dehn de la botella de Klein . Son homeomorfos a los haces de toros { b ; ( norte 1 , 2);}.
{0; ( norte 1 , 1); (2, 1), (2, 1)} Homeomórfico al paquete de botellas euclidianas de Klein no orientables {1; ( n 3 , 2);}, con primera homología Z + Z /4 Z .
{ b ; ( norte 1 , 2); } ( b es 0 o 1) Estos son los paquetes de superficies euclidianas no orientables asociados con automorfismos de orden inverso de orientación 2 de un toro 2 sin puntos fijos. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z si b =1. Son homeomorfos a los paquetes de botellas de Klein { b ; ( o 2 , 1);}.
{ b ; ( n 2 , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b integral) Para b =−1 esto está orientado euclidiano.
{ b ; ( norte 2 , 2); } ( b integral) Para b =0 esta es una variedad euclidiana orientada, homeomorfa al paquete de 2 toros {−2; ( o 1 , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} sobre el ciclo [ comprobar ortografía ] asociado a una rotación de orden 2 del toro 2.
{ b ; ( n 3 , 2); } ( b es 0 o 1) Los otros dos paquetes de botellas de Klein euclidianas no orientables. El que tiene b = 1 es homeomorfo a {0; ( norte 1 , 1); (2, 1), (2, 1)}. La primera homología es Z + Z /2 Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z /4 Z si b =1. Estos dos haces de botellas de Klein son haces de superficie asociados al homeomorfismo y y al producto de este y el giro.
Este es el caso general. Todas estas fibraciones de Seifert están determinadas hasta el isomorfismo por su grupo fundamental. Los espacios totales son asféricos (en otras palabras, todos los grupos de homotopía superior desaparecen). Tienen geometrías Thurston de tipo cubierta universal de SL 2 ( R ) , a menos que alguna cubierta finita se divida como producto, en cuyo caso tienen geometrías Thurston de tipo H 2 × R . Esto sucede si la variedad no es orientable o b + Σ b i / a i = 0.
![{\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h ^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h ^{b_{j}}=1,q_{1}....q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{ b}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b4638ec16f283b8de0a60b1fe5ce4543d259d5b)
