Gráfico de ciclos Los cuatro ciclos hexagonales tienen en común la inversión (el nudo negro en la parte superior). Los hexágonos son simétricos, por lo que, por ejemplo, 3 y 4 están en el mismo ciclo.
Un octaedro regular tiene 24 simetrías rotacionales (o de preservación de la orientación) y 48 simetrías en total. Estas incluyen transformaciones que combinan una reflexión y una rotación. Un cubo tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el poliedro el que es dual a un octaedro.
El grupo de simetrías que preservan la orientación es S 4 , el grupo simétrico o el grupo de permutaciones de cuatro objetos, ya que existe exactamente una simetría de este tipo para cada permutación de las cuatro diagonales del cubo.
Como grupo hiperoctaédrico de dimensión 3, el grupo octaédrico completo es el producto de la corona , y una forma natural de identificar sus elementos es como pares ( m , n ) con y . Pero como también es el producto directo S 4 × S 2 , uno puede simplemente identificar los elementos del subgrupo tetraédrico T d como y sus inversiones como a ′.
Entonces, por ejemplo, la identidad (0, 0) se representa como 0 y la inversión (7, 0) como 0′. (3, 1) se representa como 6 y (4, 1) como 6′.
O , 432 , o [4,3] + de orden 24, es simetría octaédrica quiral o simetría octaédrica rotacional . Este grupo es como simetría tetraédrica quiral T, pero los ejes C 2 ahora son ejes C 4 , y además hay 6 ejes C 2 , que pasan por los puntos medios de las aristas del cubo. T d y O son isomorfos como grupos abstractos: ambos corresponden a S 4 , el grupo simétrico de 4 objetos. T d es la unión de T y el conjunto obtenido al combinar cada elemento de O\T con inversión. O es el grupo de rotación del cubo y del octaedro regular .
Simetría octaédrica completa
Oh , *432 , [4,3], o m3m de orden 48 – simetría octaédrica aquiral o simetría octaédrica completa . Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que O, pero con planos especulares, que comprenden tanto los planos especulares de T d como de Th . Este grupo es isomorfo a S 4 .C 2 y es el grupo de simetría completa del cubo y el octaedro . Es el grupo hiperoctaédrico para n = 3 . Ver también las isometrías del cubo .
Con los ejes cuádruples como ejes de coordenadas, un dominio fundamental de Oh viene dado por 0 ≤ x ≤ y ≤ z . Un objeto con esta simetría se caracteriza por la parte del objeto en el dominio fundamental, por ejemplo el cubo viene dado por z = 1 , y el octaedro por x + y + z = 1 (o las desigualdades correspondientes, para obtener el sólido en lugar de la superficie).ax + by + cz = 1 da un poliedro con 48 caras, por ejemplo, el dodecaedro de disdyakis.
Las caras se combinan de 8 por 8 en caras más grandes para a = b = 0 (cubo) y de 6 por 6 para a = b = c (octaedro).
Las 9 líneas especulares de simetría octaédrica completa se pueden dividir en dos subgrupos de 3 y 6 (dibujados en morado y rojo), que se representan en dos subsimetrías ortogonales: D 2h y T d . La simetría D 2h se puede duplicar a D 4h restaurando 2 espejos desde una de tres orientaciones.
Matrices de rotación
Tome el conjunto de todas las matrices de permutación de 3 × 3 y asigne un signo + o − a cada uno de los tres unos. Hay permutaciones y combinaciones de signos para un total de 48 matrices, dando el grupo octaédrico completo. 24 de estas matrices tienen un determinante de +1; estas son las matrices de rotación del grupo octaédrico quiral. Las otras 24 matrices tienen determinante −1 y corresponden a una reflexión o inversión.
Se necesitan tres matrices generadoras reflexivas para la simetría octaédrica, que representan los tres espejos de un diagrama de Coxeter-Dynkin . El producto de las reflexiones produce 3 generadores rotacionales.
Subgrupos de simetría octaédrica completa
Las isometrías del cubo.
48 elementos de simetría de un cubo.
El cubo tiene 48 isometrías (elementos de simetría), formando el grupo de simetría Oh , isomorfo a S 4 × Z 2 . Se pueden clasificar de la siguiente manera:
rotación alrededor de un eje desde el centro de una cara hasta el centro de la cara opuesta en un ángulo de 90°: 3 ejes, 2 por eje, juntos 6 ((1 2 3 4), etc.; ((1 ± i ) / √ 2 , etc.)
lo mismo ocurre con un ángulo de 180°: 3 ejes, 1 por eje, juntos 3 ((1 2) (3 4), etc.; i , j , k )
rotación alrededor de un eje desde el centro de un borde hasta el centro del borde opuesto en un ángulo de 180°: 6 ejes, 1 por eje, juntos 6 ((1 2), etc.; (( i ± j ) / √ 2 , etc.)
rotación alrededor de un cuerpo diagonal en un ángulo de 120°: 4 ejes, 2 por eje, juntos 8 ((1 2 3), etc.; (1 ± i ± j ± k )/2)
Lo mismo con la inversión ( x se asigna a − x ) (también 24 isometrías). Tenga en cuenta que la rotación en un ángulo de 180° alrededor de un eje combinada con la inversión es simplemente una reflexión en el plano perpendicular. La combinación de inversión y rotación alrededor de la diagonal del cuerpo en un ángulo de 120° es una rotación alrededor de la diagonal del cuerpo en un ángulo de 60°, combinada con la reflexión en el plano perpendicular (la rotación en sí no asigna el cubo a sí mismo; la intersección del plano de reflexión con el cubo es un hexágono regular ).
Una isometría del cubo se puede identificar de varias formas:
por las caras, tres caras adyacentes dadas (digamos 1, 2 y 3 en un dado) se asignan a
por la imagen de un cubo con una cara marcada asimétricamente: la cara con la marca, ya sea normal o reflejada, y la orientación
por una permutación de las cuatro diagonales del cuerpo (cada una de las 24 permutaciones es posible), combinada con un interruptor para la inversión del cubo, o no
Para cubos con colores o marcas (como los dados), el grupo de simetría es un subgrupo de Oh .
Ejemplos:
C 4v , [4], (*422): si una cara tiene un color diferente (o dos caras opuestas tienen colores diferentes entre sí y de las otras cuatro), el cubo tiene 8 isometrías, como las que tiene un cuadrado en 2D.
D 2h , [2,2], (*222): si las caras opuestas tienen los mismos colores, diferentes para cada conjunto de dos, el cubo tiene 8 isometrías, como un cuboide .
D 4h , [4,2], (*422): si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 16 isometrías, como un prisma cuadrado (caja cuadrada).
C2v , [2], (*22) :
Si dos caras adyacentes tienen el mismo color y todas las demás caras tienen un color diferente, el cubo tiene 4 isometrías.
Si tres caras, dos de ellas opuestas, tienen un color y las otras tres otro color, el cubo tiene 4 isometrías.
si dos caras opuestas tienen el mismo color, y otras dos caras opuestas también, y las dos últimas tienen colores diferentes, el cubo tiene 4 isometrías, como un papel en blanco con una forma con simetría especular.
C s , [ ], (*):
si dos caras adyacentes tienen colores diferentes entre sí, y las otras cuatro tienen un tercer color, el cubo tiene 2 isometrías.
Si dos caras opuestas tienen el mismo color y todas las demás caras tienen colores diferentes, el cubo tiene 2 isometrías, como una hoja de papel en blanco asimétrica.
C 3v , [3], (*33): si tres caras, de las cuales ninguna opuesta, tienen un color y las otras tres de otro color, el cubo tiene 6 isometrías.
Para algunos subgrupos más grandes, no es posible crear un cubo con ese grupo como grupo de simetría simplemente coloreando caras enteras. Hay que dibujar algún patrón en las caras.
Ejemplos:
D 2d , [2 + ,4], (2*2): si una cara tiene un segmento de recta que divide la cara en dos rectángulos iguales, y la opuesta tiene el mismo en dirección perpendicular, el cubo tiene 8 isometrías; hay un plano de simetría y simetría rotacional doble con un eje que forma un ángulo de 45° con respecto a ese plano y, como resultado, también hay otro plano de simetría perpendicular al primero, y otro eje de simetría rotacional doble perpendicular al primero.
T h , [3 + ,4], (3*2): si cada cara tiene un segmento de línea que divide la cara en dos rectángulos iguales, de modo que los segmentos de línea de las caras adyacentes no se encuentran en el borde, el cubo tiene 24 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las mismas combinadas con inversión ( x se asigna a − x ).
T d , [3,3], (*332): si el cubo consta de ocho cubos más pequeños, cuatro blancos y cuatro negros, colocados alternativamente en las tres direcciones estándar, el cubo tiene nuevamente 24 isometrías: esta vez las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo y las inversas de las demás rotaciones propias.
T, [3,3] + , (332): si cada cara tiene el mismo patrón con simetría rotacional doble, digamos la letra S, de modo que en todos los bordes la parte superior de una S se encuentra con un lado de la otra S, el cubo tiene 12 isometrías: las permutaciones pares de las diagonales del cuerpo.
La simetría total del cubo, Oh , [4,3], (*432), se conserva si y sólo si todas las caras tienen el mismo patrón de modo que se conserve la simetría total del cuadrado , con para el cuadrado una simetría grupo, Dih 4 , [4], de orden 8.
La simetría completa del cubo bajo rotaciones propias, O, [4,3] + , (432), se conserva si y sólo si todas las caras tienen el mismo patrón con simetría rotacional cuádruple , Z 4 , [4] + .
Simetría octaédrica de la superficie de Bolza.
En la teoría de superficies de Riemann , la superficie de Bolza , a veces llamada curva de Bolza, se obtiene como la doble cubierta ramificada de la esfera de Riemann, con lugar de ramificación en el conjunto de vértices del octaedro regular inscrito. Su grupo de automorfismos incluye la involución hiperelíptica que invierte las dos hojas de la portada. El cociente por el subgrupo de orden 2 generado por la involución hiperelíptica produce precisamente el grupo de simetrías del octaedro. Entre las muchas propiedades notables de la superficie de Bolza está el hecho de que maximiza la sístole entre todas las superficies hiperbólicas del género 2.
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Referencias
^ John Conway, Las simetrías de las cosas , figura 20.8, p280
Peter R. Cromwell, Poliedros (1997), pág. 295
Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, ISBN 978-1-56881-220-5
Caleidoscopios: escritos seleccionados de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
NW Johnson : Geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11,5 grupos de Coxeter esféricos
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