Producto de corona

Tema de la teoría de grupos.

En teoría de grupos , el producto corona es una combinación especial de dos grupos basada en el producto semidirecto . Se forma por la acción de un grupo sobre muchas copias de otro grupo, algo análogo a la exponenciación . Los productos de corona se utilizan en la clasificación de grupos de permutaciones y también proporcionan una forma de construir ejemplos interesantes de grupos.

Dados dos grupos y (a veces conocidos como inferior y superior ^[1] ), existen dos variantes del producto corona: el producto corona sin restricciones y el producto corona restringido . La forma general, denotada por o respectivamente, requiere que actúe sobre algún conjunto ; cuando no se especifica, generalmente (un producto de corona normal ), aunque a veces se implica algo diferente. Las dos variantes coinciden cuando , y son todas finitas. Cualquiera de las variantes también se indica como (con \wr para el símbolo LaTeX) o A  ≀  H ( Unicode U+2240). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A\wr H}$

La noción se generaliza a semigrupos y, como tal, es una construcción central en la teoría estructural de Krohn-Rhodes de semigrupos finitos.

Definición

Sea un grupo y sea un grupo que actúa sobre un conjunto (a la izquierda). El producto directo de consigo mismo indexado por es el conjunto de secuencias en , indexadas por , con una operación de grupo dada por una multiplicación puntual. La acción de on se puede extender a una acción on reindexando , es decir , definiendo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\overline {a}}=(a_{\omega })_{\omega \in \Omega }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$

${\displaystyle h\cdot (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }:=(a_{h^{-1}\cdot \omega })_{\omega \in \Omega }}$

para todos y todas . ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle (a_{\omega })_{\omega \in \Omega }\in A^{\Omega }}$

Entonces, el producto corona ilimitado de by es el producto semidirecto con la acción de on indicada anteriormente. El subgrupo de se llama base del producto de la corona. ${\displaystyle A{\text{ Wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle A^{\Omega }\rtimes H}$

El producto corona restringido se construye de la misma manera que el producto corona no restringido, excepto que se utiliza la suma directa como base del producto corona. En este caso, la base consta de todas las secuencias con un número finito de entradas que no son de identidad . Las dos definiciones coinciden cuando es finito. ${\displaystyle A{\text{ wr}}_{\Omega }H}$ ${\displaystyle A^{\Omega }}$ ${\displaystyle \Omega }$

En el caso más común, y actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda. En este caso, el producto de corona restringido y sin restricciones puede indicarse por y respectivamente. Esto se llama producto de corona normal . ${\displaystyle \Omega =H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A{\text{ Wr }}H}$ ${\displaystyle A{\text{ wr }}H}$

Notación y convenciones

La estructura del producto de corona de A por H depende del conjunto H Ω y en caso de que Ω sea infinito, también depende de si se usa el producto de corona restringido o no restringido. Sin embargo, en la literatura la notación utilizada puede ser deficiente y es necesario prestar atención a las circunstancias.

• En la literatura, A ≀ Ω _H puede representar el producto de corona sin restricciones A  Wr _Ω  H o el producto de corona restringido A  wr _Ω  H.
• De manera similar, A ≀ H puede representar el producto de corona regular sin restricciones A Wr  H  o ​​el producto de corona regular restringido A  wr  H.
• En la literatura, el conjunto H Ω puede omitirse de la notación incluso si Ω ≠  H.
• En el caso especial de que H  =  S _n sea el grupo simétrico de grado n, es común en la literatura asumir que Ω = {1,..., n } (con la acción natural de S _n ) y luego omitir Ω de la notación. Es decir, A ≀ S _n comúnmente denota A ≀ _{{1,..., n }} S _n en lugar del producto de corona regular A ≀ _{S n} S _n . En el primer caso el grupo base es el producto de n copias de A , en el último es el producto de n ! copias  de A.

Propiedades

Acuerdo de producto de corona restringido y sin restricciones en Ω finito

Dado que el producto directo finito es el mismo que la suma directa finita de grupos, se deduce que el producto corona restringido A  Wr _Ω  H y el producto corona restringido A  wr _Ω  H concuerdan si Ω es finito. En particular, esto es cierto cuando Ω = H y H es finito.

Subgrupo

A  wr _Ω  H es siempre un subgrupo de A  Wr _Ω  H .

Cardinalidad

Si A , H y Ω son finitos, entonces

| A ≀ _Ω H | = | Un | ^|Ω| | H |. ^[2]

Teorema de incrustación universal

Teorema de incrustación universal : si G es una extensión de A por H , entonces existe un subgrupo del producto corona no restringido A ≀ H que es isomorfo a G. ^[3] Esto también se conoce como teorema de incrustación de Krasner-Kaloujnine . El teorema de Krohn-Rhodes implica lo que es básicamente el equivalente de semigrupo de esto. ^[4]

Acciones canónicas de productos de corona.

Si el grupo A actúa sobre un conjunto Λ, entonces hay dos formas canónicas de construir conjuntos a partir de Ω y Λ sobre los cuales A  Wr _Ω  H (y por tanto también A  wr _Ω  H ) puede actuar.

• La acción del producto de corona primitiva sobre Λ × Ω.

  Si (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H y ( λ , ω ′) ∈ Λ × Ω , entonces

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda ,\omega '):=(a_{h(\omega ')}\lambda ,h\omega ').}$

• La acción del producto de corona primitiva sobre Λ ^Ω .

  Un elemento en Λ ^Ω es una secuencia ( λ _ω ) indexada por el conjunto H Ω. Dado un elemento (( a _ω ), h ) ∈ A Wr _Ω H su operación sobre ( λ _ω ) ∈ Λ ^Ω viene dada por

  ${\displaystyle ((a_{\omega }),h)\cdot (\lambda _{\omega }):=(a_{h^{-1}\omega }\lambda _{h^{-1}\omega }).}$

Ejemplos

• El grupo de faroleros es el producto de corona restringido . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}\wr S_{n}}$(el grupo simétrico generalizado ). La base de este producto de corona es el producto directo n veces de copias de donde la acción del grupo simétrico S _n de grado n está dada por φ ( σ )(α ₁ ,..., α _n ) := ( α _{σ (1)} ,..., α _{σ ( n )} ). ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}^{n}=\mathbb {Z} _{m}...\mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$ ${\displaystyle \phi :S_{n}\to {\text{Aut}}(\mathbb {Z} _{m}^{n})}$

• ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$(el grupo hiperoctaédrico ).
• La acción de S _n en {1,..., n } es la anterior. Dado que el grupo simétrico S ₂ de grado 2 es isomorfo al grupo hiperoctaédrico, es un caso especial de grupo simétrico generalizado. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

• El producto de corona más pequeño y no trivial es , que es el caso bidimensional del grupo hiperoctaédrico anterior. Es el grupo de simetría del cuadrado, también llamado D ₄ , el grupo diédrico de orden 8. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$
• Sea p un primo y sea . Sea P un subgrupo p de Sylow del grupo simétrico S _{p ⁿ} . Entonces P es isomorfo al producto corona regular iterado de n copias de . Aquí y para todos . ^{[7] [8]} Por ejemplo, el subgrupo Sylow 2 de S ₄ es el grupo anterior. ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle W_{n}=\mathbb {Z} _{p}\wr ...\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{1}:=\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle W_{k}:=W_{k-1}\wr \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\wr \mathbb {Z} _{2}}$

• El grupo del Cubo de Rubik es un subgrupo normal de índice 12 en el producto de productos de corona, cuyos factores corresponden a las simetrías de las 8 esquinas y las 12 aristas. ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{3}\wr S_{8})\times (\mathbb {Z} _{2}\wr S_{12})}$

• El grupo de transformaciones que preservan la validez (VPT) del Sudoku contiene el producto de doble corona ( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S _{2 , donde los factores son la permutación de filas/columnas dentro de una} banda o pila de 3 filas o 3 columnas ( S ₃ ), la permutación de las propias bandas/pilas ( S ₃ ) y la transposición, que intercambia las bandas y pilas ( S ₂ ). Aquí, los conjuntos de índices Ω son el conjunto de bandas (respectivamente pilas) (| Ω | = 3) y el conjunto {bandas, pilas} (| Ω | = 2). En consecuencia, | S ₃ ≀ S ₃ | = | T ₃ | ³ | T ₃ | = (3!) ⁴ y |( S ₃ ≀ S ₃ ) ≀ S ₂ | = | S ₃ ≀ S ₃ | ² | S2 |_​ = (3!) ⁸ × 2.

• Los productos de corona surgen naturalmente en las simetrías de árboles con raíces completas y sus gráficos . Por ejemplo, el producto corona repetido (iterado) S ₂ ≀ S ₂ ≀ ... ≀ S ₂ es el grupo de automorfismos de un árbol binario completo .

Referencias

1. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), "Productos de corona", Notas sobre grupos de permutación infinita , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1698, Berlín, Heidelberg: Springer, págs. 67–76, doi :10.1007/bfb0092558, ISBN 978-3-540-49813-1, consultado el 12 de mayo de 2021
2. Joseph J. Rotman, Introducción a la teoría de grupos, p. 172 (1995)
3. M. Krasner y L. Kaloujnine, "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III", Acta Sci. Matemáticas. 14, págs. 69–82 (1951)
4. JDP Meldrum (1995). Productos Corona de Grupos y Semigrupos . Longman [Reino Unido] / Wiley [Estados Unidos]. pag. IX. ISBN 978-0-582-02693-3.
5. JW Davies y AO Morris, "El multiplicador de Schur del grupo simétrico generalizado", J. London Math. Soc. (2), 8, (1974), págs. 615–620
6. P. Graczyk, G. Letac y H. Massam, "El grupo hiperoctaédrico, representaciones de grupos simétricos y los momentos de la distribución real de Wishart", J. Theoret. Probablemente. 18 (2005), núm. 1, 1–42.
7. Joseph J. Rotman, Introducción a la teoría de grupos, p. 176 (1995)
8. L. Kaloujnine, "La estructura de los p-groupes de Sylow des groupes symétriques finis", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . Troisième Série 65, págs. 239-276 (1948)

enlaces externos

• Producto de corona en la Enciclopedia de Matemáticas .
• Algunas aplicaciones de la construcción de productos de corona. Archivado el 21 de febrero de 2014 en Wayback Machine.