Homología de Hochschild

Teoría de álgebras asociativas sobre anillos.

En matemáticas , la homología (y cohomología) de Hochschild es una teoría de homología para álgebras asociativas sobre anillos . También existe una teoría para la homología de Hochschild de ciertos functores . La cohomología de Hochschild fue introducida por Gerhard Hochschild  (1945) para álgebras sobre un campo , y Henri Cartan y Samuel Eilenberg  (1956) la extendieron a álgebras sobre anillos más generales.

Definición de homología de álgebras de Hochschild

Sea k un campo, A una k - álgebra asociativa y M un A - bimódulo . El álgebra envolvente de A es el producto tensorial de A con su álgebra opuesta . Los bimódulos sobre A son esencialmente los mismos que los módulos sobre el álgebra envolvente de A , por lo que, en particular, A y M pueden considerarse como A ^e -módulos. Cartan y Eilenberg (1956) definieron el grupo de homología y cohomología de Hochschild de A con coeficientes en M en términos del functor Tor y el functor Ext por ${\displaystyle A^{e}=A\otimes A^{o}}$

${\displaystyle HH_{n}(A,M)=\operatorname {Tor} _{n}^{A^{e}}(A,M)}$

${\displaystyle HH^{n}(A,M)=\operatorname {Ext} _{A^{e}}^{n}(A,M)}$

complejo de hochschild

Sea k un anillo, A una k - álgebra asociativa que es un módulo k proyectivo y M un A - bimódulo . Escribiremos para el producto tensor de n veces de A sobre k . El complejo de cadenas que da lugar a la homología de Hochschild está dado por ${\displaystyle A^{\otimes n}}$

${\displaystyle C_{n}(A,M):=M\otimes A^{\otimes n}}$

con operador de frontera definido por ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{0}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=ma_{1}\otimes a_{2}\cdots \otimes a_{n}\\d_{i}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}\\d_{n}(m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n})&=a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n-1}\end{aligned}}}$

donde está en A para todos y . si dejamos ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle m\in M}$

${\displaystyle b_{n}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i},}$

entonces , también lo es un complejo de cadenas llamado complejo de Hochschild , y su homología es la homología de Hochschild de A con coeficientes en M. De ahora en adelante escribiremos simplemente . ${\displaystyle b_{n-1}\circ b_{n}=0}$ ${\displaystyle (C_{n}(A,M),b_{n})}$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle b}$

Observación

Los mapas son mapas de caras que hacen de la familia de módulos un objeto simplicial en la categoría de k -módulos, es decir, un funtor Δ ^o → k -mod, donde Δ es la categoría simplex y k -mod es la categoría de k -módulos. Aquí Δ ^o es la categoría opuesta de Δ. Los mapas de degeneración están definidos por ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle (C_{n}(A,M),b)}$

${\displaystyle s_{i}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{n})=a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{i}\otimes 1\otimes a_{i+1}\otimes \cdots \otimes a_{n}.}$

La homología de Hochschild es la homología de este módulo simplicial.

Relación con el complejo de Colegios de Abogados

Hay un complejo de apariencia similar llamado complejo de Bar que formalmente se parece mucho al complejo de Hochschild ^{[1] páginas 4-5} . De hecho, el complejo Hochschild se puede recuperar del complejo Bar como ${\displaystyle B(A/k)}$ ${\displaystyle HH(A/k)}$

$${\displaystyle HH(A/k)\cong A\otimes _{A\otimes A^{op}}B(A/k)}$$

Como una autointersección derivada

Hay otra interpretación útil del complejo de Hochschild en el caso de anillos conmutativos y, de manera más general, para haces de anillos conmutativos: se construye a partir de la autointersección derivada de un esquema (o incluso de un esquema derivado) sobre algún esquema base . Por ejemplo, podemos formar el producto de fibra derivada. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{S}^{\mathbf {L} }X}$$

$${\displaystyle HH(X/S):=\Delta ^{*}({\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{S}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X}}^{\mathbf {L} }{\mathcal {O}}_{X})}$$

diferenciales de Kählercomplejo cotangente ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$$

$${\displaystyle X={\text{Spec}}(A)}$$

casi isomorfo

$${\displaystyle HH(A/k)\simeq _{qiso}A\otimes _{A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A}^{\mathbf {L} }A}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle A\otimes _{k}^{\mathbf {L} }A\cong A\otimes _{k}A\cong A\otimes _{k}A^{op}}$$

Homología de Hochschild de functores

El círculo simplicial es un objeto simplicial en la categoría de conjuntos finitos puntiagudos, es decir, un funtor. Por lo tanto, si F es un funtor , obtenemos un módulo simplicial componiendo F con . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$ ${\displaystyle \Delta ^{o}\to \operatorname {Fin} _{*}.}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Fin} \to k-\mathrm {mod} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {F}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}}.}$

La homología de este módulo simplicial es la homología de Hochschild del funtor F. La definición anterior de homología de Hochschild de álgebras conmutativas es el caso especial donde F es el functor de Loday .

functor loday

Los objetos dan un esqueleto para la categoría de conjuntos puntiagudos finitos.

${\displaystyle n_{+}=\{0,1,\ldots ,n\},}$

donde 0 es el punto base y los morfismos son los mapas de conjuntos que preservan el punto base. Sea A un k-álgebra conmutativa y M un A -bimódulo simétrico ^{[ se necesita más explicación ]} . El functor Loday está dado en objetos en por ${\displaystyle L(A,M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fin} _{*}}$

${\displaystyle n_{+}\mapsto M\otimes A^{\otimes n}.}$

Un morfismo

${\displaystyle f:m_{+}\to n_{+}}$

se envía al morfismo dado por ${\displaystyle f_{*}}$

${\displaystyle f_{*}(a_{0}\otimes \cdots \otimes a_{m})=b_{0}\otimes \cdots \otimes b_{n}}$

dónde

${\displaystyle \forall j\in \{0,\ldots ,n\}:\qquad b_{j}={\begin{cases}\prod _{i\in f^{-1}(j)}a_{i}&f^{-1}(j)\neq \emptyset \\1&f^{-1}(j)=\emptyset \end{cases}}}$

Otra descripción de la homología de álgebras de Hochschild.

La homología de Hochschild de un álgebra conmutativa A con coeficientes en un bimódulo A simétrico M es la homología asociada a la composición

${\displaystyle \Delta ^{o}{\overset {S^{1}}{\longrightarrow }}\operatorname {Fin} _{*}{\overset {{\mathcal {L}}(A,M)}{\longrightarrow }}k{\text{-mod}},}$

y esta definición concuerda con la anterior.

Ejemplos

Los ejemplos de cálculos de homología de Hochschild se pueden estratificar en varios casos distintos con teoremas bastante generales que describen la estructura de los grupos de homología y el anillo de homología para un álgebra asociativa . Para el caso de las álgebras conmutativas, hay una serie de teoremas que describen los cálculos sobre la característica 0 y que permiten una comprensión sencilla de lo que calculan la homología y la cohomología. ${\displaystyle HH_{*}(A)}$ ${\displaystyle A}$

Característica conmutativa 0 caso

En el caso de álgebras conmutativas donde , la homología de Hochschild tiene dos teoremas principales relacionados con álgebras suaves y álgebras no planas más generales ; pero el segundo es una generalización directa del primero. En el caso suave, es decir, para un álgebra suave , el teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg ^{[2] páginas 43-44} establece que existe un isomorfismo ${\displaystyle A/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq k}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \Omega _{A/k}^{n}\cong HH_{n}(A/k)}$$

${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle a\,db_{1}\wedge \cdots \wedge db_{n}\mapsto \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sign} (\sigma )a\otimes b_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes b_{\sigma (n)}.}$$

complejo cotangente ${\displaystyle A/k}$ ${\displaystyle P_{\bullet }\to A}$ ${\displaystyle \mathbb {L} _{A/k}^{i}=\Omega _{P_{\bullet }/k}^{i}\otimes _{P_{\bullet }}A}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$ ${\displaystyle HH_{n}(A/k)}$

$${\displaystyle {\frac {F_{i}}{F_{i+1}}}\cong \mathbb {L} _{A/k}^{i}[+i].}$$

${\displaystyle A=R/I}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]}$ ${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{R/k}^{1}\otimes _{k}A}$

Anillos polinomiales sobre los racionales.

Un ejemplo sencillo es calcular la homología de Hochschild de un anillo polinómico de con -generadores. El teorema de HKR da el isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}])=\mathbb {Q} [x_{1},\ldots ,x_{n}]\otimes \Lambda (dx_{1},\dotsc ,dx_{n})}$$

producto de cuña ${\displaystyle \bigwedge (dx_{1},\ldots ,dx_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}dx_{i}\cdot dx_{j}&=-dx_{j}\cdot dx_{i}\\dx_{i}\cdot dx_{i}&=0\end{aligned}}}$$

${\displaystyle i\neq j}$

Característica conmutativa caso p

En el caso de la característica p, existe un contraejemplo útil del teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg que aclara la necesidad de una teoría más allá de las álgebras simplistas para definir la homología de Hochschild. Considere el -álgebra . Podemos calcular una resolución de álgebras graduadas diferenciales libres ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} \xrightarrow {\cdot p} \mathbb {Z} }$$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle {\text{deg}}(\varepsilon )=1}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}^{\mathbb {L} }\mathbb {F} _{p}}$$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})\to \mathbb {F} _{p}}$

fuerzas . Esto da el término de grado cero del complejo. Luego, debido a que tenemos que resolver el núcleo , podemos tomar una copia de desplazado en grado y hacer que se asigne a , con el núcleo en grado. Podemos realizar esto de forma recursiva para obtener el módulo subyacente del álgebra de potencia dividida. ${\displaystyle \varepsilon \mapsto 0}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}={\text{Ker}}({\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\to {\displaystyle \varepsilon \cdot \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}).}$

$${\displaystyle (\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})\langle x\rangle ={\frac {(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p})[x_{1},x_{2},\ldots ]}{x_{i}x_{j}={\binom {i+j}{i}}x_{i+j}}}}$$

${\displaystyle dx_{i}=\varepsilon \cdot x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle 2i}$ ${\displaystyle |x_{i}|=2i}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {Z} }^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$

$${\displaystyle HH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$$

^[3]espectro de la esfera ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$ ${\displaystyle x^{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Homología topológica de Hochschild

La construcción anterior del complejo de Hochschild se puede adaptar a situaciones más generales, concretamente reemplazando la categoría de (complejos de) -módulos por una categoría ∞ (equipada con un producto tensorial) y por un álgebra asociativa en esta categoría. Aplicando esto a la categoría de espectros , y siendo el espectro de Eilenberg-MacLane asociado a un anillo ordinario, se obtiene la homología topológica de Hochschild , denotada . La homología (no topológica) de Hochschild introducida anteriormente se puede reinterpretar en este sentido, tomando como categoría derivada de -módulos (como una categoría ∞). ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\textbf {Spectra}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle THH(R)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=D(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Reemplazar los productos tensoriales sobre el espectro de la esfera por productos tensoriales sobre (o el espectro de Eilenberg-MacLane ) conduce a un mapa de comparación natural . Induce un isomorfismo en grupos de homotopía en grados 0, 1 y 2. Sin embargo, en general son diferentes y tiende a producir grupos más simples que HH. Por ejemplo, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle THH(R)\to HH(R)}$ ${\displaystyle THH}$

${\displaystyle THH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[x],}$

${\displaystyle HH(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}\langle x\rangle }$

es el anillo polinómico (con x en grado 2), comparado con el anillo de potencias divididas en una variable.

Lars Hesselholt  (2016) demostró que la función zeta de Hasse-Weil de una variedad adecuada suave se puede expresar utilizando determinantes regularizados que involucran homología topológica de Hochschild. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Ver también

• Homología cíclica

Referencias

1. Mañana, Mateo. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 24 de diciembre de 2020.
2. Ginzburg, Víctor (29 de junio de 2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas/0506603 .
3. "Sección 23.6 (09PF): Resoluciones de la Tate: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 31 de diciembre de 2020 .

• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica, Princeton Mathematical Series, vol. 19, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-04991-5, señor  0077480
• Govorov, VE; Mikhalev, AV (2001) [1994], "Cohomología de álgebras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Hesselholt, Lars (2016), Homología topológica de Hochschild y función zeta de Hasse-Weil , Matemáticas contemporáneas, vol. 708, págs. 157–180, arXiv : 1602.01980 , doi : 10.1090/conm/708/14264, ISBN 9781470429119, S2CID  119145574
• Hochschild, Gerhard (1945), "Sobre los grupos de cohomología de un álgebra asociativa", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 46 (1): 58–67, doi :10.2307/1969145, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969145, MR  0011076
• Jean-Louis Loday , Homología cíclica , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften vol. 301, Springer (1998) ISBN 3-540-63074-0 
• Richard S. Pierce, Álgebras asociativas , Textos de posgrado en matemáticas (88), Springer, 1982.
• Pirashvili, Teimuraz (2000). "Descomposición de Hodge para homología de Hochschild de orden superior". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (2): 151-179. doi :10.1016/S0012-9593(00)00107-5.

enlaces externos

Artículos introductorios

• Dylan GL Allegretti, Formas diferenciales en espacios no conmutativos. Una introducción elemental a la geometría no conmutativa que utiliza la homología de Hochschild para generalizar formas diferenciales).
• Ginzburg, Víctor (2005). "Conferencias sobre geometría no conmutativa". arXiv : matemáticas/0506603 .
• Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética
• Cohomología de Hochschild en el n Lab

Caso conmutativo

• Antieau, Benjamín; Bhatt, Bhargav; Mateo, Akhil (2019). "Contraejemplos de Hochschild – Kostant – Rosenberg en la característica p ". arXiv : 1909.11437 [matemáticas.AG].

Caso no conmutativo

• Ricardo, Lionel (2004). "Homología y cohomología de Hochschild de algunas álgebras polinómicas no conmutativas clásicas y cuánticas". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 187 (1–3): 255–294. arXiv : matemáticas/0207073 . doi : 10.1016/S0022-4049(03)00146-4 .
• Quddus, Safdar (2020). "Estructuras de Poisson no conmutativas en orbifolds de toro cuántico". arXiv : 2006.00495 [matemáticas.KT].
• Yashinski, Allan (2012). "La conexión Gauss-Manin y los toros no conmutativos". arXiv : 1210.4531 [matemáticas.KT].