Estructura de poder dividida

En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , una estructura de potencia dividida es una forma de introducir elementos con propiedades similares a las que tienen las expresiones de la forma , también cuando no es posible dividir realmente por . ${\displaystyle x^{n}/n!}$ ${\displaystyle n!}$

Definición

Sea A un anillo conmutativo con un ideal I . Una estructura de potencia dividida (o estructura PD , del francés puissances divisées ) sobre I es una colección de aplicaciones para n = 0, 1, 2, ... tales que: ${\displaystyle \gamma _{n}:I\to A}$

1. ${\displaystyle \gamma _{0}(x)=1}$y para , mientras que para n > 0. ${\displaystyle \gamma _{1}(x)=x}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(x)\in I}$
2. ${\displaystyle \gamma _{n}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}\gamma _{n-i}(x)\gamma _{i}(y)}$para . ${\displaystyle x,y\in I}$
3. ${\displaystyle \gamma _{n}(\lambda x)=\lambda ^{n}\gamma _{n}(x)}$para . ${\displaystyle \lambda \in A,x\in I}$
4. ${\displaystyle \gamma _{m}(x)\gamma _{n}(x)=((m,n))\gamma _{m+n}(x)}$para , donde es un entero. ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle ((m,n))={\frac {(m+n)!}{m!n!}}}$
5. ${\displaystyle \gamma _{n}(\gamma _{m}(x))=C_{n,m}\gamma _{mn}(x)}$para y , donde es un entero. ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle C_{n,m}={\frac {(mn)!}{(m!)^{n}n!}}}$

Para facilitar la notación, a menudo se escribe como cuando está claro a qué se refiere la estructura de poder dividida. ${\displaystyle \gamma _{n}(x)}$ ${\displaystyle x^{[n]}}$

El término ideal de poder dividido se refiere a un ideal con una estructura de poder dividida dada, y anillo de poder dividido se refiere a un anillo con un ideal dado con estructura de poder dividida.

Los homomorfismos de álgebras de potencia divididas son homomorfismos de anillo que respetan la estructura de potencia dividida en su fuente y destino.

Ejemplos

• El álgebra de potencia dividida libre sobre un generador: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \langle {x}\rangle :=\mathbb {Z} \left[x,{\tfrac {x^{2}}{2}},\ldots ,{\tfrac {x^{n}}{n!}},\ldots \right]\subset \mathbb {Q} [x].}$

• Si A es un álgebra sobre entonces cada ideal I tiene una estructura de potencia dividida única donde ^[1] De hecho, este es el ejemplo que motiva la definición en primer lugar. ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \gamma _{n}(x)={\tfrac {1}{n!}}\cdot x^{n}.}$

• Si M es un módulo A , denotemos el álgebra simétrica de M sobre A. Entonces su dual tiene una estructura canónica de anillo de potencias divididas. De hecho, es canónicamente isomorfo a una completitud natural de (ver más abajo) si M tiene rango finito. ${\displaystyle S^{\bullet }M}$ ${\displaystyle (S^{\bullet }M)^{\vee }={\text{Hom}}_{A}(S^{\bullet }M,A)}$ ${\displaystyle \Gamma _{A}({\check {M}})}$

Construcciones

Si A es cualquier anillo, existe un anillo de potencia dividido

${\displaystyle A\langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

que consiste en polinomios de potencia divididos en las variables

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$

es decir, sumas de monomios de potencia divididos de la forma

${\displaystyle cx_{1}^{[i_{1}]}x_{2}^{[i_{2}]}\cdots x_{n}^{[i_{n}]}}$

con . Aquí el ideal de potencia dividida es el conjunto de polinomios de potencia dividida con coeficiente constante 0. ${\displaystyle c\in A}$

De manera más general, si M es un módulo A , existe un álgebra A universal , llamada

${\displaystyle \Gamma _{A}(M),}$

con PD ideal

${\displaystyle \Gamma _{+}(M)}$

y un mapa A -lineal

${\displaystyle M\to \Gamma _{+}(M).}$

(El caso de polinomios de potencia dividida es el caso especial en el que M es un módulo libre sobre A de rango finito.)

Si I es cualquier ideal de un anillo A , existe una construcción universal que extiende A con potencias divididas de elementos de I para obtener una envolvente de potencia dividida de I en A .

Aplicaciones

La envolvente de potencia dividida es una herramienta fundamental en la teoría de operadores diferenciales PD y la cohomología cristalina , donde se utiliza para superar las dificultades técnicas que surgen en la característica positiva .

El funtor de potencia dividida se utiliza en la construcción de funtores co-Schur.

Véase también

• Cohomología cristalina

Referencias

1. La unicidad se desprende del hecho fácilmente verificable de que, en general, . ${\displaystyle x^{n}=n!\gamma _{n}(x)}$

• Berthelot, Pierre ; Ogus, Arthur (1978). Notas sobre cohomología cristalina . Anales de estudios matemáticos. Princeton University Press . Zbl  0383.14010.
• Hazewinkel, Michiel (1978). Grupos formales y aplicaciones . Matemáticas puras y aplicadas, una serie de monografías y libros de texto. Vol. 78. Elsevier . pág. 507. ISBN 0123351502.Zbl 0454.14020  .
• Cohomología de De Rham derivada de p-ádica: contiene material excelente sobre anillos polinomiales PD y envolventes PD
• ¿Cuál es el nombre del análogo de las álgebras de potencia divididas para x^i/i? Contiene una equivalencia útil para las álgebras de potencia divididas como álgebras duales