Espectro (topología)

En topología algebraica , una rama de las matemáticas , un espectro es un objeto que representa una teoría de cohomología generalizada . Cada una de estas teorías de cohomología es representable, como se desprende del teorema de representabilidad de Brown . Esto significa que, dada una teoría de cohomología

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{*}:{\text{CW}}^{op}\to {\text{Ab}}}$,

existen espacios tales que evaluar la teoría de la cohomología en grado en un espacio es equivalente a calcular las clases de homotopía de los mapas del espacio , es decir ${\displaystyle E^{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E^{k}}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{k}(X)\cong \left[X,E^{k}\right]}$.

Tenga en cuenta que existen varias categorías diferentes de espectros que generan muchas dificultades técnicas, ^[1] pero todas determinan la misma categoría de homotopía , conocida como categoría de homotopía estable . Este es uno de los puntos clave para introducir espectros porque forman un hogar natural para la teoría de la homotopía estable.

La definición de un espectro.

Hay muchas variaciones de la definición: en general, un espectro es cualquier secuencia de espacios topológicos puntiagudos o conjuntos simpliciales puntiagudos junto con los mapas de estructura , donde está el producto aplastante . El producto aplastante de un espacio puntiagudo con un círculo es homeomorfo a la suspensión reducida de , denotada . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{1}\wedge X_{n}\to X_{n+1}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma X}$

Lo siguiente se debe a Frank Adams (1974): un espectro (o espectro CW) es una secuencia de complejos CW junto con inclusiones de la suspensión como un subcomplejo de . ${\displaystyle E:=\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}}$ ${\displaystyle E_{n+1}}$

Para otras definiciones, consulte espectro simétrico y espectro simplicial .

Grupos de homotopía de un espectro.

Uno de los invariantes más importantes de los espectros son los grupos de homotopía del espectro. Estos grupos reflejan la definición de los grupos de espacios de homotopía estable ya que la estructura de los mapas de suspensión es integral en su definición. Dado un espectro, defina el grupo de homotopía como el colimite. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{n}(E)&=\lim _{\to k}\pi _{n+k}(E_{k})\\&=\lim _{\to }\left(\cdots \to \pi _{n+k}(E_{k})\to \pi _{n+k+1}(E_{k+1})\to \cdots \right)\end{aligned}}}$

donde los mapas se inducen a partir de la composición del mapa (es decir, dada por la funcionalidad de ) y el mapa de estructura . Se dice que un espectro es conectivo si es cero para k negativo . ${\displaystyle \Sigma :\pi _{n+k}(E_{n})\to \pi _{n+k+1}(\Sigma E_{n})}$ ${\displaystyle [S^{n+k},E_{n}]\to [S^{n+k+1},\Sigma E_{n}]}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma E_{n}\to E_{n+1}}$ ${\displaystyle \pi _{k}}$

Ejemplos

Espectro de Eilenberg-Maclane

Considere la cohomología singular con coeficientes en un grupo abeliano . Para un complejo CW , el grupo se puede identificar con el conjunto de clases de mapas de homotopía desde a , el espacio de Eilenberg-MacLane con homotopía concentrada en grado . Escribimos esto como ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{n}(X;A)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle [X,K(A,n)]=H^{n}(X;A)}$

Entonces el espectro correspondiente tiene -ésimo espacio ; se llama espectro de Eilenberg-MacLane . Tenga en cuenta que esta construcción se puede utilizar para incluir cualquier anillo en la categoría de espectros. Esta incrustación forma la base de la geometría espectral, un modelo para la geometría algebraica derivada . Una de las propiedades importantes de esta incrustación son los isomorfismos. ${\displaystyle HA}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K(A,n)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{i}(H(R/I)\wedge _{R}H(R/J))&\cong H_{i}\left(R/I\otimes ^{\mathbf {L} }R/J\right)\\&\cong \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/I,R/J)\end{aligned}}}$

mostrar la categoría de espectros realiza un seguimiento de la información derivada de los anillos conmutativos, donde el producto smash actúa como producto tensorial derivado . Además, los espectros de Eilenberg-Maclane se pueden utilizar para definir teorías como la homología topológica de Hochschild para anillos conmutativos, una teoría más refinada que la homología clásica de Hochschild.

Teoría K del complejo topológico

Como segundo ejemplo importante, consideremos la teoría K topológica . Al menos para X compacto, se define como el grupo de Grothendieck del monoide de haces de vectores complejos en X. Además, es el grupo correspondiente a los haces de vectores en la suspensión de X. La teoría K topológica es una teoría de cohomología generalizada, por lo que proporciona un espectro. El espacio cero es mientras que el primer espacio es . Aquí está el grupo unitario infinito y es su espacio clasificador . Por periodicidad de Bott obtenemos y para todo n , por lo que todos los espacios en el espectro topológico de la teoría K están dados por o . Existe una construcción correspondiente que utiliza haces de vectores reales en lugar de haces de vectores complejos, lo que da un espectro de 8 periodos. ${\displaystyle K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle BU}$ ${\displaystyle K^{2n}(X)\cong K^{0}(X)}$ ${\displaystyle K^{2n+1}(X)\cong K^{1}(X)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \times BU}$ ${\displaystyle U}$

Espectro de esfera

Uno de los ejemplos por excelencia de espectro es el espectro de esfera . Este es un espectro cuyos grupos de homotopía están dados por los grupos de homotopía estable de esferas, por lo que ${\displaystyle \mathbb {S} }$

${\displaystyle \pi _{n}(\mathbb {S} )=\pi _{n}^{\mathbb {S} }}$

Podemos escribir este espectro explícitamente como dónde . Tenga en cuenta que el producto smash proporciona una estructura de producto en este espectro. ${\displaystyle \mathbb {S} _{i}=S^{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{0}=\{0,1\}}$

${\displaystyle S^{n}\wedge S^{m}\simeq S^{n+m}}$

induce una estructura de anillo en . Además, si se considera la categoría de espectros simétricos , este forma el objeto inicial, análogo a la categoría de anillos conmutativos. ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

espectros de Thom

Otro ejemplo canónico de espectros proviene de los espectros de Thom que representan varias teorías del cobordismo. Esto incluye cobordismo real , cobordismo complejo , cobordismo enmarcado, cobordismo de espín , cobordismo de cuerdas , etc. De hecho, para cualquier grupo topológico existe un espectro de Thom . ${\displaystyle MO}$ ${\displaystyle MU}$ ${\displaystyle MSpin}$ ${\displaystyle MString}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle MG}$

Espectro de suspensión

Se puede construir un espectro a partir de un espacio. El espectro de suspensión de un espacio , denotado como un espectro (los mapas de estructura son la identidad). Por ejemplo, el espectro de suspensión de la esfera 0 es el espectro de la esfera discutido anteriormente. Los grupos de homotopía de este espectro son entonces los grupos de homotopía estables de , entonces ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }X}$ ${\displaystyle X_{n}=S^{n}\wedge X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi _{n}(\Sigma ^{\infty }X)=\pi _{n}^{\mathbb {S} }(X)}$

La construcción del espectro de suspensión implica que cada espacio puede considerarse como una teoría de cohomología. De hecho, define un funtor.

${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:h{\text{CW}}\to h{\text{Spectra}}}$

de la categoría de homotopía de complejos CW a la categoría de homotopía de espectros. Los morfismos están dados por

${\displaystyle [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y]={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}[\Sigma ^{n}X,\Sigma ^{n}Y]}$

que según el teorema de suspensión de Freudenthal finalmente se estabiliza. Con esto queremos decir

${\displaystyle \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N+1}X,\Sigma ^{N+1}Y\right]\simeq \cdots }$y ${\displaystyle \left[\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{\infty }Y\right]\simeq \left[\Sigma ^{N}X,\Sigma ^{N}Y\right]}$

para algún número entero finito . Para un complejo CW existe una construcción inversa que toma un espectro y forma un espacio. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }E={\underset {\to n}{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}E_{n}}$

llamado espacio de bucle infinito del espectro. Para un complejo CW ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X={\underset {\to }{\operatorname {colim} {}}}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

y esta construcción viene con una inclusión para cada , por lo tanto, proporciona un mapa ${\displaystyle X\to \Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X\to \Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X}$

que es inyectivo. Desafortunadamente, estas dos estructuras, con la adición del producto smash, conducen a una complejidad significativa en la teoría de los espectros porque no puede existir una sola categoría de espectros que satisfaga una lista de cinco axiomas que relacionan estas estructuras. ^[1] La adición anterior es válida sólo en las categorías de homotopía de espacios y espectros, pero no siempre con una categoría específica de espectros (no la categoría de homotopía).

espectro Ω

Un espectro Ω es un espectro tal que el adjunto del mapa de estructura (es decir, el mapa ) es una equivalencia débil. El espectro de la teoría K de un anillo es un ejemplo de espectro Ω. ${\displaystyle X_{n}\to \Omega X_{n+1}}$

Espectro de anillo

Un espectro de anillo es un espectro X tal que los diagramas que describen los axiomas de anillo en términos de productos de ruptura conmutan "hasta la homotopía" ( corresponde a la identidad). Por ejemplo, el espectro de la teoría K topológica es un espectro de anillo. De manera análoga se puede definir un espectro de módulo . ${\displaystyle S^{0}\to X}$

Para muchos más ejemplos, consulte la lista de teorías de cohomología .

Funciones, mapas y homotopías de espectros.

Hay tres categorías naturales cuyos objetos son espectros, cuyos morfismos son las funciones, mapas o clases de homotopía que se definen a continuación.

Una función entre dos espectros E y F es una secuencia de mapas de E _n a F _n que conmutan con los mapas Σ E _n  →  E _{n +1} y Σ F _n  →  F _{n +1} .

Dado un espectro , un subespectro es una secuencia de subcomplejos que también es un espectro. Como cada i -célula se suspende en una ( i  + 1) -célula en , un subespectro cofinal es un subespectro para el cual cada celda del espectro principal finalmente está contenida en el subespectro después de un número finito de suspensiones. Luego, los espectros se pueden convertir en una categoría definiendo un mapa de espectros como una función desde un subespectro cofinal de hasta , donde dos de esas funciones representan el mismo mapa si coinciden en algún subespectro cofinal. Intuitivamente, un mapa de espectros de este tipo no necesita estar definido en todas partes, simplemente llega a definirse, y se dice que dos mapas que coinciden en un subespectro cofinal son equivalentes. Esto proporciona la categoría de espectros (y mapas), que es una herramienta importante. Hay una integración natural de la categoría de complejos CW puntiagudos en esta categoría: lleva al espectro de suspensión en el que se encuentra el enésimo complejo . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle E_{j}}$ ${\displaystyle E_{j+1}}$ ${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Sigma ^{n}Y}$

El producto aplastante de un espectro y un complejo puntiagudo es un espectro dado por (la asociatividad del producto aplastante produce inmediatamente que se trata de un espectro). Una homotopía de mapas entre espectros corresponde a un mapa , donde se toma como punto base la unión disjunta con . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (E\wedge X)_{n}=E_{n}\wedge X}$ ${\displaystyle (E\wedge I^{+})\to F}$ ${\displaystyle I^{+}}$ ${\displaystyle [0,1]\sqcup \{*\}}$ ${\displaystyle *}$

La categoría de homotopía estable , o categoría de homotopía de espectros (CW), se define como la categoría cuyos objetos son espectros y cuyos morfismos son clases de homotopía de mapas entre espectros. Muchas otras definiciones de espectro, algunas de las cuales parecen muy diferentes, conducen a categorías de homotopía estable equivalentes.

Finalmente, podemos definir la suspensión de un espectro por . Esta suspensión de traducción es invertible, ya que también podemos suspenderla configurando . ${\displaystyle (\Sigma E)_{n}=E_{n+1}}$ ${\displaystyle (\Sigma ^{-1}E)_{n}=E_{n-1}}$

La categoría de espectros de homotopía triangulada.

La categoría de homotopía estable es aditiva: se pueden agregar mapas utilizando una variante de la adición de pistas utilizada para definir grupos de homotopía. Por tanto, las clases de homotopía de un espectro a otro forman un grupo abeliano. Además, la categoría de homotopía estable se triangula (Vogt (1970)), el desplazamiento se da mediante suspensión y los triángulos distinguidos mediante las secuencias de conos de mapeo de espectros.

${\displaystyle X\rightarrow Y\rightarrow Y\cup CX\rightarrow (Y\cup CX)\cup CY\cong \Sigma X}$.

Aplastar productos de espectros.

El producto de ruptura de los espectros extiende el producto de ruptura de los complejos CW. Convierte la categoría de homotopía estable en una categoría monoidal ; en otras palabras, se comporta como el producto tensorial (derivado) de grupos abelianos. Un problema importante con el producto smash es que las formas obvias de definirlo lo hacen asociativo y conmutativo sólo hasta la homotopía. Algunas definiciones más recientes de espectros, como los espectros simétricos , eliminan este problema y dan una estructura monoidal simétrica a nivel de mapas, antes de pasar a las clases de homotopía.

El producto smash es compatible con la estructura de categorías trianguladas. En particular, el producto aplastante de un triángulo distinguido con un espectro es un triángulo distinguido.

Homología generalizada y cohomología de espectros.

Podemos definir los grupos de homotopía (estables) de un espectro como aquellos dados por

${\displaystyle \displaystyle \pi _{n}E=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E]}$,

donde es el espectro de la esfera y es el conjunto de clases de homotopía de mapas desde hasta . Definimos la teoría de homología generalizada de un espectro E por ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle E_{n}X=\pi _{n}(E\wedge X)=[\Sigma ^{n}\mathbb {S} ,E\wedge X]}$

y definir su teoría de cohomología generalizada por

${\displaystyle \displaystyle E^{n}X=[\Sigma ^{-n}X,E].}$

Aquí puede haber un espectro o (usando su espectro de suspensión) un espacio. ${\displaystyle X}$

Complejidades técnicas con los espectros.

Una de las complejidades canónicas al trabajar con espectros y definir una categoría de espectros proviene del hecho de que cada una de estas categorías no puede satisfacer cinco axiomas aparentemente obvios relacionados con el espacio de bucle infinito de un espectro. ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q:{\text{Top}}_{*}\to {\text{Top}}_{*}}$

enviando

${\displaystyle QX=\mathop {\text{colim}} _{\to n}\Omega ^{n}\Sigma ^{n}X}$

un par de funtores adjuntos , el y el producto smash tanto en la categoría de espacios como en la categoría de espectros. Si denotamos la categoría de espacios de Hausdorff débiles, generados de forma compacta y basados, y denotamos una categoría de espectros, los siguientes cinco axiomas nunca podrán ser satisfechos por el modelo específico de espectros: ^[1] ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }:{\text{Top}}_{*}\leftrightarrows {\text{Spectra}}_{*}:\Omega ^{\infty }}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\text{Top}}_{*}}$ ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$

1. ${\displaystyle {\text{Spectra}}_{*}}$es una categoría monoidal simétrica con respecto al producto smash ${\displaystyle \wedge }$
2. El funtor es adjunto a la izquierda de ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }}$ ${\displaystyle \Omega ^{\infty }}$
3. La unidad del producto smash es el espectro de esferas. ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \Sigma ^{\infty }S^{0}=\mathbb {S} }$
4. O hay una transformación natural o una transformación natural que conmuta con el objeto unitario en ambas categorías, y los isomorfismos conmutativos y asociativos en ambas categorías. ${\displaystyle \phi :\left(\Omega ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Omega ^{\infty }E'\right)\to \Omega ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$ ${\displaystyle \gamma :\left(\Sigma ^{\infty }E\right)\wedge \left(\Sigma ^{\infty }E'\right)\to \Sigma ^{\infty }\left(E\wedge E'\right)}$
5. Existe una equivalencia débil natural para la cual existe un diagrama de conmutación: ${\displaystyle \theta :\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\to QX}$ ${\displaystyle X\in \operatorname {Ob} ({\text{Top}}_{*})}$

   ${\displaystyle {\begin{matrix}X&\xrightarrow {\eta } &\Omega ^{\infty }\Sigma ^{\infty }X\\{\mathord {=}}\downarrow &&\downarrow \theta \\X&\xrightarrow {i} &QX\end{matrix}}}$

   ¿Dónde está el mapa unitario en el adjunto? ${\displaystyle \eta }$

Debido a esto, el estudio de los espectros se divide según el modelo que se utiliza. Para obtener una descripción general, consulte el artículo citado anteriormente.

Historia

Una versión del concepto de espectro fue introducida en la tesis doctoral de 1958 de Elon Lages Lima . Su asesor Edwin Spanier escribió más sobre el tema en 1959. Los espectros fueron adoptados por Michael Atiyah y George W. Whitehead en su trabajo sobre teorías de homología generalizada a principios de la década de 1960. La tesis doctoral de 1964 de J. Michael Boardman dio una definición viable de una categoría de espectros y de mapas (no sólo clases de homotopía) entre ellos, tan útil en la teoría de la homotopía estable como lo es la categoría de complejos CW en el caso inestable. (Esta es esencialmente la categoría descrita anteriormente, y todavía se utiliza para muchos propósitos: para otras explicaciones, véanse Adams (1974) o Rainer Vogt (1970).) Sin embargo, desde 1990 se han realizado importantes avances teóricos adicionales, mejorando enormemente la propiedades de los espectros. En consecuencia, gran parte de la literatura reciente utiliza definiciones modificadas de espectro : véase Michael Mandell et al. (2001) para un tratamiento unificado de estos nuevos enfoques.

Ver también

• Espectro de anillo
• Espectro simétrico
• espectro G
• Espectro de mapeo
• Suspensión (topología)
• Secuencia espectral de Adams

Referencias

1. Lewis, L. Gaunce (30 de agosto de 1991). "¿Existe una categoría conveniente de espectros?". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 73 (3): 233–246. doi : 10.1016/0022-4049(91)90030-6 . ISSN  0022-4049.

Introductorio

• Adams, J. Frank (1974). Homotopía estable y homología generalizada. Prensa de la Universidad de Chicago . ISBN 9780226005249.
• Elmendorf, Anthony D.; Kříž, Igor; Mandell, Michael A.; May, J. Peter (1995), "Fundamentos modernos para la teoría de la homotopía estable" (PDF) , en James., Ioan M. (ed.), Manual de topología algebraica , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. CiteSeerX  10.1.1.55.8006 , doi :10.1016/B978-044481779-2/50007-9, ISBN 978-0-444-81779-2, señor  1361891

Artículos modernos que desarrollan la teoría.

• Mandell, Michael A.; Mayo, J. Peter ; Schwede, Stefan; Shipley, Brooke (2001), "Categorías de modelos de espectros de diagramas", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 3, 82 (2): 441–512, CiteSeerX  10.1.1.22.3815 , doi :10.1112/S0024611501012692, MR  1806878, S2CID  551246

Artículos históricamente relevantes

• Atiyah, Michael F. (1961). "Bordismo y cobordismo". Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 57 (2): 200–8. doi :10.1017/s0305004100035064. S2CID  122937421.

• Lima, Elon Lages (1959), "La dualidad Spanier-Whitehead en nuevas categorías de homotopía", Summa Brasil. Matemáticas. , 4 : 91–148, SEÑOR  0116332
• Lima, Elon Lages (1960), "Invariantes estables de Postnikov y sus duales", Summa Brasil. Matemáticas. , 4 : 193–251
• Vogt, Rainer (1970), categoría de homotopía estable de Boardman, Lecture Notes Series, n.º 21, Matematisk Institut, Aarhus Universitet, Aarhus, MR  0275431
• Whitehead, George W. (1962), "Teorías de homología generalizadas", Transactions of the American Mathematical Society , 102 (2): 227–283, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0137117-6

enlaces externos

• Secuencias espectrales - Allen Hatcher - contiene una excelente introducción a los espectros y aplicaciones para la construcción de la secuencia espectral de Adams.
• Un proyecto de libro sin título sobre espectros simétricos.
• "¿Son realmente los espectros lo mismo que las teorías de cohomología?".