Homología topológica de Hochschild

En matemáticas, la homología de Hochschild topológica es un refinamiento topológico de la homología de Hochschild que corrige algunos problemas técnicos con los cálculos en la característica . Por ejemplo, si consideramos el álgebra de - entonces ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle HH_{k}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )\cong {\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&k{\text{ even}}\\0&k{\text{ odd}}\end{cases}}}$

pero si consideramos la estructura del anillo en

${\displaystyle {\begin{aligned}HH_{*}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )&=\mathbb {F} _{p}\langle u\rangle \\&=\mathbb {F} _{p}[u,u^{2}/2!,u^{3}/3!,\ldots ]\end{aligned}}}$

(como una estructura de álgebra de potencia dividida ) entonces hay un problema técnico significativo: si establecemos , entonces , y así sucesivamente, tenemos de la resolución de como un álgebra sobre , ^[1] es decir ${\displaystyle u\in HH_{2}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u^{2}\in HH_{4}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u^{p}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\otimes ^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle HH_{k}(\mathbb {F} _{p}/\mathbb {Z} )=H_{k}(\mathbb {F} _{p}\otimes _{\mathbb {F} _{p}\otimes ^{\mathbf {L} }\mathbb {F} _{p}}\mathbb {F} _{p})}$

Este cálculo se desarrolla con más detalle en la página de homología de Hochschild , pero el punto clave es el comportamiento patológico de la estructura del anillo en la homología de Hochschild de . Por el contrario, el anillo de homología topológica de Hochschild tiene el isomorfismo ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

${\displaystyle THH_{*}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {F} _{p}[u]}$

dando una teoría menos patológica. Además, este cálculo forma la base de muchos otros cálculos THH, como por ejemplo para álgebras suaves. ${\displaystyle A/\mathbb {F} _{p}}$

Construcción

Recordemos que el espectro de Eilenberg–MacLane puede ser un anillo de objetos incrustados en la categoría derivada de los números enteros en el espectro del anillo sobre el espectro del anillo del grupo de homotopía estable de esferas . Esto hace posible tomar un anillo conmutativo y construir un complejo análogo al complejo de Hochschild usando el producto monoidal en los espectros del anillo, es decir, actúa formalmente como el producto tensorial derivado sobre los números enteros. Definimos el complejo topológico de Hochschild de (que podría ser un álgebra diferencial graduada conmutativa , o simplemente un álgebra conmutativa) como el complejo simplicial, ^{[2] pág. 33-34} llamado complejo de Bar ${\displaystyle D(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \wedge _{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \otimes ^{\mathbf {L} }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \cdots \to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA\wedge _{\mathbb {S} }HA\to HA}$

de espectros (nótese que las flechas son incorrectas debido al formato de Wikipedia...). Debido a que los objetos simples en los espectros tienen una realización como espectro, formamos el espectro

${\displaystyle THH(A)\in {\text{Spectra}}}$

que tiene grupos de homotopía que definen la homología topológica de Hochschild del objeto de anillo . ${\displaystyle \pi _{i}(THH(A))}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

1. Krause, Achim; Nikolaus, Thomas. "Conferencias sobre homología topológica de Hochschild y espectros ciclotómicos".
2. Morrow, Matthew. "Homología topológica de Hochschild en geometría aritmética" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 24 de diciembre de 2020.

• Revisando THH(F_p)
• Homología cíclica topológica de los números enteros